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1、分类号： 密级： 02 9I ，g z 单位代码：1 0 4 2 2 学号：2 口p 2 汐7 1 f ； 厶茹力孳 博士学位论文 S h a n d o n gU n i v e r s i t y D o c t o r a lD i s s e r t a t i o n 论文题目： 作 专 导 合作 囱谤? 幻彳哆季孑b 首唛：红揭问勉自弓 数孽和数值劈析 者 业 张冉 导师 妒，7 年歹月万日 零i藩 ；7 r 弋1 fr l l l llr lrr l lrr l l l l l l l r r l l r l l l f 原创性声明 Y 19 3 9 3 9 9 本人郑重声明：所
2、呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方 式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：丝盘日期：丝! ! ：! ：鱼 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文和汇编本学位论文。 (
3、 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：毯盘导师签名：E l 期：丝! ! ：竺乡 酊 - 1111 中文摘要 英文摘要 第一章 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 第二章 法 2 1 2 2 2 3 第三章 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 第四章 4 1 目录 稳态S t o k e s 流与D a r c y 流耦合问题的一致稳定混合元方法 引言 D a r c y - S t o k c s 模型一 弱形式 有限元离散 收敛性分析。 数值算例 非稳态S t o k e s 流与D a r c y 流耦合问题的一致稳定混合元方 2 1 引言2 1 半离散有限元格
4、式及误差分析2 2 全离散有限元格式及误差分析2 5 耦合自由流和多孔介质流的传质过程的数学分析 2 9 引言2 9 问题的模型2 9 弱形式3 2 弱解的存在性3 6 3 4 1 水流方程弱解的存在性3 6 3 4 2 浓度方程弱解的存在性4 0 3 4 3 耦合方程的弱解4 3 唯一性定理4 5 耦合自由流和多孔介质流的传质过程的数值分析4 9 引言4 9 一 虹 1 l 2 3 5 n M r- 山东大学博士学位论文 4 2 4 3 4 4 4 5 弱形式 数值格式 误差估计 4 4 1 日1 模误差估计 4 4 2 三2 模误差估计 数值算例 参考文献 致谢 攻读博士学位期间完成论文情
5、况 ，1一 O 3 7 8 4 9 5 1 3 的骼w 弘斛 臀 缸 9 8 插图目录 1 1 左图是第一种区域结构右图是第二种，其中Q 8 = Q 1U Q 3 ，Q d = Q 2UQ 4 ，F z = F 1UF 2Ur 3UF 4 1 5 1 2 左右两图分别为在一致剖分网格上对算例2 计算的速度解和 压力解1 7 1 3 左右两图分别为在随机扰动网格上对算例4 计算的速度解和 压力解1 8 r h t 山东大学博士学位论文 1，_一 1 1 1 2 1 3 1 4 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 表格目录 算例1 和2 中的解析解 算例3 和4 中的解析解 在一致剖分网格上算
6、例1 _ 4 的收敛率 在随机扰动网格上算例1 - 4 的收敛率 算例1 的空间误差及收敛率 算例2 在T = 0 0 0 1 时刻取A t = 1 0 - 4 时的空间误差及收敛率 算例2 在h = 1 3 2 ，T = 1 时的时间误差及收敛率 算例3 在T = 0 0 1 时刻取A t = 1 0 _ 3 时的空间误差及收敛率 算例3 在h = 1 3 2 ，T = 0 5 时的时间误差及收敛率 V 5 6 8 9 1 2 2 3 3 l 1 1 1 7 7 7 7 7 广夕 山东大学博士学位论文 1 夕 摘要 本文围绕着耦合的自由流和多孔介质流问题的数学和数值分析而展开 我们首先分析了
7、一种基本情形：S t o k e s 流与D a r c y 流耦合问题此耦合问题 的模型是由自由流体区域的S t o k e s 方程、多孔介质区域的D a r c y 定律和某 些合适的交界面条件构成这里的交界面条件我们采用流量连续条件、力的 平衡条件和B e a v e r s - J o s e p h S a f f m a n 条件这个问题在实际中也有着广泛 的应用，如在水力学、环境科学和生物流体力学等方面；同时在数学和数值 分析方面也很具有挑战性：两区域内方程的解具有不同的正则性，交界面上 流体的切向速度不连续，变分形式中积分项在交界面上要比在区域内部少一 维，要保证小降低解的正
8、则性和逼近误差阶都难度不小 对这个问题的研究可以追溯到上世纪9 0 年代【3 2 ，5 5 】的工作，当时还 仅限于对问题进行数值计算，并且两篇文章在两区域交界面上都选择使用 B e a v e r s - J o s e p h 条件B e a v e r s - J o s e p h 条件是由B e a v e r s 和J o s e p hf 7 1 利用 实验得出的自由流体在多孔介质界面附近切向流速规律；在此之前，人们普 遍认为在多孔介质界面上流速满足粘滞条件后来由J o n e sf 3 9 1 将B e a v e r s - J o s e p h 条件推广到多维情形，由S
9、a f f m a n 【5 4 】通过理论推导得出B e a v e r s - J o s e p h 条件的近似形式( B e a v e r s - J o s e p h - S a f f m a n 条件) 利用B e a v e r s - J o s e p h S a f f m a n 条件，2 0 0 2 年和2 0 0 3 年的两篇独立的 文章f 2 2 1 和| 4 3 1 分别从两个不同的角度论证了耦合问题弱解的存在唯一性： 2 2 1 中均采用原始变量，即对S t o k e s 方程采用混合形式而对D a r c y 方程采 用椭圆方程变分形式；【4 3 】则
10、是对两个方程都采用混合形式，同时两篇文章 也都提出了各自的数值算法此后关于此耦合问题的数值求解方法的文章大 量涌现，基本上都是基于 2 2 】和【4 3 】提出的变分形式而基于对两个方程 都用混合形式的数值算法又可分为两类：一类是在不同区域用不同的有限元 离散；另一种是在两区域使用相同的有限元离散使用同一有限元的优势在 于不论是在理论分析还是在程序实现中处理交界面条件更加方便，同时也使 得编写程序代码时可以较少考虑单元所在区域，从而编写效率更高我们也 用同一元的思想对S t o k e s 流与D a r c y 流耦合问题提出了一种稳定化混合元 方法在整个S t o k e s 和D a r
11、 c y 区域对流场压力和速度分别采用分片常数和 C r o u z e i x R a v i a r t 有限元空间来逼近，并且通过使用一个罚项加罚速度在单 山东大学博士学位论文 元边界的跳量来满足格式的稳定性这里使用口R 元是冈为它具有与分片 常数压力组合易于满足i n f - s u p 条件、能保持分片单元质量守恒、二维和三 维情形都容易实现等好处详细的分析请见第一章和第二章 然而实际应用中人们关心的不仅仅是流体的流速和压力，更多的是流体 中质量和热量的传递过程于是我们接下来考虑的是在耦合的自由流体和多 孔介质区域内流体中的溶解盐或污染物的运动规律的数学模型这样的模型 在实际中有着很
12、多令人感兴趣的应用：它可以预测河流中污染物对地下水的 污染程度；可以模拟在拥有大洞穴的地层中的混溶驱动过程；还可以描述与 过滤有关的多种工业生产过程这个耦合问题实际含有两层耦合含义：一是 两区域间的耦合，在不同的区域上有不同的流动形式、不同的传质系数和不 同的源汇项，只在交界面上进行物理量的传递；二是流动方程和传质方程之 间的耦合，通过流速和浓度彼此相互影响因此这双重耦合会导致整个系统 异常复杂单独区域内( 特别是渗流区) 的耦合流动和传质问题的工作已有 很多8 ，5 6 ，4 l ，2 7 ，1 6 ，2 3 ，2 4 ，5 3 】，但是耦合区域内耦合的流动和传质问题 的研究还较少文章f 6
13、 1 1 中虽然讨论了这样的问题，但是基于流体粘度系数 和溶质浓度无关的假设，这样的假设其实已经将水流方程和浓度方程分离开 来 我们接下来研究的是带传质方程的N a v i c r - S t o k c s D a r c y 全耦合系统， 其中流体粘度是依赖于溶质浓度的首先我们提出了问题的数学模型以及与 之等价的弱形式由于整个系统是由流速和浓度耦合在一起的非线性系统， 我们采用的办法是构造一种迭代格式来对整个系统解耦然后，对于解耦后 的问题，弱解就是相应时间离散问题的一个极限解，这类似于T c m a m 【5 8 】中 处理N a v i c r - S t o k c s 方程的方法这样我们能就可以得到一组解序列，再利 用解序列的有界性和收敛性来证明解序列的极限就是弱形式的一个解，从而 确定了解的存在性结论同时我们也针对半经典解的情形证明了解的唯一性 结论然后为了设计数值计算格式，我们对模型中的参数做了稍稍限定，提出 了另一种容易导出数值格式的弱形式在数值离散时，由于问题是与时间有 关的，因此我们充分利用时间外插技术
