函数的单调性精品

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1、函数的单调性 北京市苹果园中学 毕烨 点此播放讲课视频 目目 录录 学生情况分析 2 教学目标分析 3 教学重难点分析 4 教学内容分析 1 教学方法分析 5 教学过程设计 6 目目 录录 学生情况分析 2 教学目标分析 3 教学重难点分析 4 教学内容分析 1 教学方法分析 5 教学过程设计 6 一、教学内容分析一、教学内容分析 1.教材内容（教材位置，课时设置） 数学必修一B版 第二章第一节 共2课时，本节课为第1课时 点此播放讲课视频 一、教学内容分析一、教学内容分析 2.教材的地位和作用 单调性本身 初中初步感性认识认识 高一 单调单调性严严格定义义 高三 导导数与单调单调性 单调性

2、一、教学内容分析一、教学内容分析 2.教材的地位和作用 本章节教学 对函数概念的 延续和扩展 为研究其他性质 起示范作用 后续研究函数 的基础 一、教学内容分析一、教学内容分析 函数知识网络 对初中深化，从感性到理性 承上 为后续学习打下基础 启下 2.教材的地位和作用 一、教学内容分析一、教学内容分析 2.教材的地位和作用 高中数学学习 数形结合思想 研究函数性质的有力工具 点此播放讲课视频 目目 录录 学生情况分析 2 教学目标分析 3 教学重难点分析 4 教学内容分析 1 教学方法分析 5 教学过程设计 6 二、学生情况分析二、学生情况分析 简单函数、函数概念表示、函数图象、增减性 知识

3、结构 能力结构 学习心理 本班特点 观察事物能力，抽象归纳的能力和语言转换能力 渴望进一步学习的积极心态 理科实验班，数学素养较好 目目 录录 学生情况分析 2 教学目标分析 3 教学重难点分析 4 教学内容分析 1 教学方法分析 5 教学过程设计 6 三、教学目标分析三、教学目标分析 （1）从形与数两方面理解单调单调 性的概念 （2）绝绝大多数学生初步学会利用函数图图象 和单调单调 性定义义判断、证证明函数单调单调 性的方法 1、知识与技能： 三、教学目标分析三、教学目标分析 （1）通过对过对 函数单调单调 性定义义的探究，提 高观观察、归纳归纳 、抽象的能力和语语言表达能力； 通过对过对

4、函数单调单调 性的证证明，提高推理论证论证 能 力 （2）通过对过对 函数单调单调 性定义义的探究，体 验验数形结结合思想 （3）经历观经历观 察发现发现 、抽象概括，自主建 构单调单调 性概念的过过程，体会从具体到抽象，从 特殊到一般，从感性到理性的认认知过过程 2、过程与方法： 三、教学目标分析三、教学目标分析 通过过知识识的探究过过程培养细细心观观察、认认真分 析、严谨论证严谨论证 的良好思维习惯维习惯 ；感受用辩辩 证证的观观点思考问题问题 3、情感态度价值观： 目目 录录 学生情况分析 2 教学目标分析 3 教学重难点分析 4 教学内容分析 1 教学方法分析 5 教学过程设计 6 四

5、、教学重难点分析四、教学重难点分析 教学重点： 函数单调性的概念形成和初步运用 教学难点： 函数单调性的概念形成 目目 录录 学生情况分析 2 教学目标分析 3 教学重难点分析 4 教学内容分析 1 教学方法分析 5 教学过程设计 6 五、教学方法分析五、教学方法分析 普通高中数学课程标准(实验)指出：“高中数学课程应倡 导自主探索等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学 习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的再创造 过程。” 教学方法： 启发式教学法和学生探究式教学法 目目 录录 学生情况分析 2 教学目标分析 3 教学重难点分析 4 教学内容分析 1 教学方法分析 5 教学过程设

6、计 6 创设情境 引入新课 初步探索 概念形成 概念深化 延伸拓展 证法探究 应用定义 小结评价 作业创新 六、教学过程设计六、教学过程设计 创设情境 引入新课 六、教学过程设计六、教学过程设计 数学课程标准中提出“ 通过已学过的函数特别 是二次函数理解函数的 单调性” x y y=2x O 1 1 2 -12 -1 -2 -2 y y= -2x O 1 1 2 -12 -1 -2 -2 x x y y=x2+1 O1 1 问题1：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图 象，并且观察函数变化规律？ 六、教学过程设计六、教学过程设计 增函数、减函数单调性是局部性质 ？ ？ 问题2 创

7、设情境 引入新课 初步探索 概念形成 六、教学过程设计六、教学过程设计 点此播放说课视频 六、教学过程设计六、教学过程设计 x y y=x2+1 O1 1 函数的单调性 问题三： 以y=x2+1在 (0，+)上单调性为例 ，如何用精确的数学语 言来描述函数的单调性 ？ 六、教学过程设计六、教学过程设计 x y y=x2+1 O1 1 函数的单调性 实现实现图形语言文字语言符号语言 随着？ 增大？ 任取？ 六、教学过程设计六、教学过程设计 x y y=x2+1 O1 1 函数的单调性 1、函数单调性定义 定义内容 六、教学过程设计六、教学过程设计 进一步提问： 如何判断 f(x1)f(x2) 得

8、到求差法后提出 记记:x= x2-x1 y= f(x2)-f(x1)= y2-y1 六、教学过程设计六、教学过程设计 创设情境 引入新课 初步探索 概念形成 概念深化 延伸拓展 点此播放讲课视频 六、教学过程设计六、教学过程设计 问题四：能否说f(x)= 在它的定义域上是减函数？ 学生提出反例，得到结论 进进一步提问问： 函数在定义义域内的两个区间间 A,B上都是增（减）函数， 何时时函数在AB上也是增 （减）函数 六、教学过程设计六、教学过程设计 o x y O x y O o 拓展探究：已知函数 是（-，+）上的增函数， 求a的取值值范围围 何时满时满足任意性 回归归定义义 六、教学过程设

9、计六、教学过程设计 创设情境 引入新课 初步探索 概念形成 概念深化 延伸拓展 证法探究 应用定义 六、教学过程设计六、教学过程设计 例1：证明函数 在（0，+ ）上是增函数 证明：任取 且 函数 在（0，+ ）上是增函数 六、教学过程设计六、教学过程设计 x y y=x2+1 O1 1 函数的单调性 1、函数单调性定义 定义义内容 2、函数单调性证明 例1： 证证 明 过过 程 断号 设元 变形 作差 定论 六、教学过程设计六、教学过程设计 例2：判断函数 在（0，+）上的单调性 进进一步提问问： 如果把（0，+）条件去掉，如何解这这道题题？ （作业业） 课标中指出“形式化是数学的基本特征之

10、一，但不 能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真” 因此本题不再从证明角度，而是让学生再次从定义 出发，寻求方法，并体会转化思想。 六、教学过程设计六、教学过程设计 创设情境 引入新课 初步探索 概念形成 概念深化 延伸拓展 证法探究 应用定义 小结评价 作业创新 六、教学过程设计六、教学过程设计 从知识、方法两个方面引导学生进行总结 回顾函数单调性定义的探究过程；证明 、判断函数单调性的方法步骤；数学思 想方法 六、教学过程设计六、教学过程设计 作业（1、2、4必做，3选做） 1、证明：函数 在区间0，+)上 是增函数。 2、课上思考题 3、求函数 的单调区间 4、思考P46 探索与研究

11、 结束语结束语 通过本节课的学习预计学生能够理解单调性 的含义，绝大多数学生能按照单调性的证明步骤 进行证明，能判断函数的单调性。 本节课最后设计了课堂反馈并结合教师评价 和学生自评来评价本节课的学习效果。 结束语结束语 x y y=x2+1 O1 1 函数的单调性 1、函数单调性定义 定义义内容 2、函数单调性证明 例1： 证证 明 过过 程 断号 设元 变形 作差 定论 在情境设置中，严格按照课标要求，以二次函数y=x2+1为 例，经历画图、描述图象、找单调区间、形成单调性定义 、证明其单调性的过程，将学生对单调性的认识从感性上 升到理性，并将定义进行应用。 一、函数的单调性 ooaba

12、b 从导数的几何意义考察函数的单调性： 3. 函数的升降、凸性与极值 Th. Th. 1 1 （导数的正负与函数升降的关系） 证明：由极限保号性、中值定理可证. CorollaryCorollary（严格单调的充分条件严格单调的充分条件）若f (x)在a,b连 续，在(a,b)可导，且 不变号，则 注1. Th.1 表明，讨论可导函数的单调性，只须判别 其导数的符号即可，其步骤是: 确定 的定义域； 求 ，令 求出分界点； 用分界点将定义域分成若干个开区间； 判别 在每个开区间内的符号，即可 确定 的严格单调性（严格单调区间）. 例1. 讨论 的上升、下降情况. 解：该函数的定义域是 R. 由

13、 它们将 R 分成三个区间： x y+ + y 例2. 解：定义域是 R. 由 现列表讨论如下： x y+ + y Th. 2 （不等式定理不等式定理）若 f (x) 与 g(x) 满足条件： (1) 在a,b上可导; 注2. 利用函数的升降性及其导数之间的关系来证明不等式 y x M oax b Th. 2 若F(x)满足 证明： 例3. 证明 证明： 从而得证. 例4. 证明： 例5. 证明方程 证明： 二、函数的极大值与极小值 1. DefDef（局部极值） o a b x y 注3. 函数的极值的局部性. 定义中可以有 结论 o x y y=2x y=x Th.3 （极值的必要条件）

14、由此求出可能使 f (x) 取极值的点之后，如何判定 它是取极大值还是极小值呢？ 图示可见, 由导数符号可判定极大极小值点. x y o y x o Th. 4 （极值判别法之一） x 取局部极小值值 取局部极大值值 不取局部极值值 不取局部极值值 证明：由函数的升降性及极值定义得到. 列表如下： 注4. Th.5 （极值判别法之二） 证明：由二阶导数定义及极限保号性、Th4得证. Th. 5 (1 ) (2) 定理5是定理5的特殊情形. 证明：根据Taylor公式, 有 例6. 解： 现列表讨论如下： x 0 y+不存在 0 + y 例7. 解： 例8. 解： 三、函数的最大值和最小值 如何

15、求出函数在某区间上的最大值和最小值？ y x aO b 注1： 函数在某一区间上的最大值和最小值, 也叫全局极值. 可导函数在a,b上的最大、最小值的求解步骤： 注2： 例9. 解： 所以函数的最大值是0, 最小值是2. 例10. 某生产队要建造一个体积为 50 立方米 的有盖圆柱形氨水池. 问这个氨水池的高和底 半径取多大时，用料最省？ 解：用料最省就是要求氨水池的表面积最小. 设氨水池的底半径是 r, 高是 h, 它 的表面积 h r O 用V50立方米代入，得到 答：当圆柱形氨水池的高和直径相等时，用料最省。 四、函数的凸性 是描述函数性状的一个更深入的概念. 例如： y x o 上凸上凸下凸下凸 几何角度：几何角度： x y o x y o 1. Def（函数的凸性） 注：函数的凹凸性，下凸即是上凹. 2. 函数的凸性与其导数的关系 Th. 6 证明： 由Lagrange公式，得： In fact, 其中， 由得 上凸，故 下凸. DefDef: 若曲线 在其上一点 的 一侧为上凸，另一侧为下凸，则称此点为曲线 的拐点. x y o y =f (x) 注： y xo 求 ； 令 ，求解，并划分f (x)的定义域为若干 个开区间. 判别 在每个开区间的符号. 设 , 列表讨论如下： 3. 讨论 f (x) 的凸性及拐点的步骤 x