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1、 3.三角函数的有关计算 沈阳南昌中学九年级 九年级数学(下)第一章 直角三角形的边角关系 CA B RtABC中除直角之外的五要素: 三条边:AB,AC,BC;两个锐角:A ,B （2）两锐角之间的关系AB90 （3）边角之间的关系 （1）三边之间的关系 （勾股定理） A Ba b c C 特殊角的三角函数值表 三角函数 锐角 正弦 sin 余弦 cos 正切 tan 300 450 600 由锐角的三角函数值反求锐角 AAA 1 . 如图，在RtABC中，C 90， 求B. A BC 解：在RtABC中， tanB= B=30 30 2.如图,身高1.7m的小明用一 个两锐角分别是30和6
2、0 的三角尺测量一棵树的高度. 已知他与树之间的距离 为5m,那么这棵树大约 有多高?（精确0.1m） 解:在RtACD中，CAD30 tan30 CDADtan30 CE1.7+ 4.6(m) 棵树大约4.6m. 3 .如图，ABC中，B=45，C=30， AB=2，求AC的长. 解：过A作ADBC于D， 在Rt ABD中,B=45,AB=2， D 4530 2 AD=ABsinB sinB = 在RtACD中，C=30 =2sin45= AC=2AD = 解：在RtACD中,BDA45 CD=AD AD2 +2 知识的运用 怎样做？ w体会这两个图形的“模型”作用.将 会助你登上希望的峰顶
3、. 4.如图,D90,B=30,ACD=45, BC=4cm,求AD. A B C 4530 4D BD= AD 在RtABD中，B30 tan30= BDCD=BC, 即 ADAD4 x x x 建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角为60,观察底部B的仰角为 45,求旗杆的高度(精确到0.1m) B A C D 40 (课本17页) 5.为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现 状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌 （如图）已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测 得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60和 45求路况显示牌BC的高度 2010年长沙
4、 解：在RtADB中， BDA45，AB3 DA3 CA= 在RtADC中，CDA60 tan60= BC=CABA=( 3)米 答：路况显显示牌BC的高度是( 3)米 6.一个人先爬了一段45o的山坡300m后，又爬 了一段60o的山坡200m，恰好到达山顶。你能 计算出山的高度吗？ A B C D 300m 200m F E 解：过B作BECD于E， BFAD于F. 在RtABF中，A45 BFABsin45=150 在RtABF中,CBE60 CEBCsin60=100 山高(150 100 )m 7.热气球的探测器显示,从 热气球看一栋高楼顶部的 仰角为30,看这栋高楼底 部的俯角为6
5、0,热气球与 高楼的水平距离为120m, 这栋高楼有多高? =30 =60 120 A B C D 解；在RtABD中，BAD30 BDADtan30=40 在RtACD中,CAD60 CDADtan60=60 山高100 m BCBD+CD100 8.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗 礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小 岛A在北偏东60方向上，航行12海里到达D点， 这时测得小岛A在北偏东30方向上，如果渔船 不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险 ？ B A DF 60 12 30 解：过A作AFBD于F.设AFx海里 在RtABF中,BAF60 x=6 8 在RtAD
6、F中，DAF30 DF=AFtan30= x BFDF=BD ，即 没有触礁的危险 BF=AFtan60 x x C A BD A B CE 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如 在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角 三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题， 常通过作辅助线构造直角三角形来解. 温馨提示 D 在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 1.解直角三角形 (1)三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）； 2.解直角三角形的依据 (2)两锐角之间的关系: A B 90； (3)边角之间的关系: a b c (必有一边
7、) 感悟：利用解直角三角形的知识解决实际问题 的一般步骤: 1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案. (有“弦”用“弦”; 无“弦”用“切”) 已知斜边求直边， 已知直边求直边， 已知两边求一边， 已知两边求一角， 已知直边求斜边， 计算方法要选择， 正弦余弦很方便； 运用正切理当然； 函数关系要选好； 勾股定理最方便； 用除还需正余弦； 能用乘法不用除. 优选关系式 CA B a b c 9.如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B 在观察站A北
8、偏西450的方向，灯塔C在B正东方向 ，且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10 海 里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？ 12 北 A B C10 10 F 如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏 西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察 站A相距10 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？ 解：过点C作CD AB,垂足为D 北 A B C D 10 5 10 F 灯塔B在观察站A北偏西45的方向 B=45 sinB = CD=BCsinB=10sin45=10 = 在RtDAC中， sin DAC= DAC=30 CAF=BAF -DAC
9、=45-30=15 45 45 灯塔C处在观察站A的北偏西15的方向 如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏 西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察 站A相距10 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？ 北 A B C 解：过点A作AEBC，垂足为E, E 10 10 设CE=x 在RtBAE中，BAE=45 AE=BE=10+x 在RtCAE中，AE2+CE2=AC2 x2+(10+x)2=(10 )2 即：x2+10x-50=0 (舍去) 灯塔C处在观察站A的北偏西15 的方向 sin CAE= CAE15 45 1.在Rt ABC中，C90
10、，已知a， A的值，则c的值为 A. atanA B. asinA C. D. （ ） 2.在Rt ABC中，C90，已知 ，BC6， 则AC ，AB . 3.在RtABC中，C90，根据下列条件解直角三角形； (1) A45, a= 3; (2) c=8,b=4; 思考：解直角三角形时，必须已知几个元素，才能求得其余元 素呢？ D 810 一个直角三角形中，若 已知五个元素中的两个 元素（其中必须有一个 元素是边），则这样的 直角三角形可解. 在山脚C处测得山顶A的仰角为45问题如下: 沿 着水平地面向前300米到达D点在D点测得山顶A 的仰角为600 , 求山高AB. D A B C 45
11、60 2009沈阳中考 16如图，市政府准备修建一座高AB6m的过街天 桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角ACB的正 弦值为 ，则坡面AC的长度为 m 2008沈阳中考 14如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD， BCAD，迎水坡AB长13米，且tanBAE ，则 河堤的高BE为 米 BC D E A 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的 顶端,梯子与地面所成的角一般要满足50 75.现有一个长6m的梯子.问: (1)使用这个梯子最高可以安全 攀上多高的平房?(精确到0.1m) 这个问题归结为: 在RtABC中,已知A= 75,斜 边AB=6,求BC的长 角越大,攀上的高度就越高. A
12、 C B 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子 的顶端,梯子与地面所成的角一般要满足 50 75.现有一个长6m的梯子.问: (2)当梯子底端距离墙面2.4m时 ,梯子与地面所成的角等于多 少(精确到1)?这时人能否安全 使用这个梯子? 这个问题归结为: 在RtABC中 ,已知AC=2.4m,斜边AB=6, ,求锐 角的度数? A C B角是否在50 75内 例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电 线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测 得电线杆顶端B的仰角a22， 求电线杆AB的高（精确到0.1米） 1.20 22.7 仰角和俯角 铅 直 线 水平线 视线 视线 仰角 俯角
13、 在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电 线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测 得电线杆顶端B的仰角a22， 求电线杆AB的高（精确到0.1米） 1.20 22.7 22 E 例2:热气球的探测器 显示,从热气球看一栋 高楼顶部的仰角为 30,看这栋高楼底部 的俯角为60,热气球 与高楼的水平距离为 120m,这栋高楼有多 高? =30 =60 120 A B C D 建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角为50,观察底部B的仰角为 45,求旗
14、杆的高度(精确到0.1m) B A C D 40 (课本93页) 例3. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离 灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到 达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处，这时，海轮所 在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里） 65 34 P B C A 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角. 如图：点A在O的北偏东30 点B在点O的南偏西45（西南方向） 30 45 B O A 东西 北 南 方位角 例3. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距 离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处，这时，海轮 所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里） 65 34 P B C A 80 1.在解直角三角形及应用时经常接触到 的一些概念(仰角,俯角;方位角等) 2.实际问题向数学模型的转化 (解直角三角形) 1.在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三 角形的五个元素. 图中A，B，a，b，c即为直角三角形 的五个元素. 2.解直角三角形: 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解 直角三角形 A B a b c C
