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1、a bx y o 1. 曲边梯形的面积 3.2.1 定积分的概念 3.2.1.1 定积分问题举例 3.2 函数的定积分 a bx y o a bx y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积 （四个小矩形）（九个小矩形） (1) 分割 (2) 作近似 把这n个小矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值，即 曲边梯形面积为 (3) 求和 (4) 取极限 2. 变速直线运动的路程 分析：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值 (1) 分割 部分路
2、程值某时刻的速度 (3) 求和 (4) 取极限 路程的精确值 (2) 作近似 3.2.1.2 定积分的定义 定义4.1 被积函数 被积表达式 积分变量 记为 积分上限 积分下限 积分和 利用定积分的定义，前面所讨论的两个实际问题可以分别表 述如下： 曲线y =f ( x )( f ( x )x轴及两条直线x = a 、x = b 所 围成的曲边梯形的面积A等于函数f ( x )在 区间 a ,b上的定 积分。即： 物体以变速v = v( t )( v( t)作直线运动，从时刻t = 到时刻t = ,这物体经过的路程s 等于函数v( t )在区间 上的定积分，即： (2) 在定积分的定义中，假设
3、ab，为了计算方 便，补充规定： 关于定积分的定义有如下几点说明： （3）函数f(x)在区间a,b上可积的充分条件是 函数f(x) 在a,b上连续或只有有限个第一类间 断点 。 3.2.2 定积分的几何意义 曲边梯形面积的代数和 3.2.3 定积分的性质 性质1 函数代数和的定积分等于它们各自定积分的代数和 （此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况） 性质2 被积函数的常数因子可提到积分号外，即 在下面的讨论中假设被积函数都可积。 性质3 不论a,b,c的相对位置如何，总有 （定积分对于积分区间具有可加性） 性质4 如果在区间a,b上f(x)= k，则 特别地当k = 1时，有 （此性质可用于估计积分值的大致范围） 性质6 性质5 特别地，在区间 上 则 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 则在积分区间,ba上至少存在一个点 x， 性质7（定积分中值定理） 积分中值公式 在区间,ba上至少存在一个点x， 使 即 积分中值公式的几何解释： 解（1）因为x0，1时， 所以由性质5 (2) 因为 时， ； 时， ， 所以由性质5 解 因为 时， ， 所以由性质6
