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1、 1函数的单调性概念 但在(,0)(0,)不是减函数了 若函数y(x)对给定区间(a,b)内任意的 x1x2都有(x1)(x2)(或f(x1)f(x2)成立 则称函数y(x)在区间(a,b)内是递增(或递 注：(x)是递增(或减)函数必须指明区间, 例如y 在(，0),(0,)都是减函数 减)函数 a,b上一定是单调函数,单调相同增,单调想反减 在复合函数yg(x)中,若ug(x)在区 间a,b上是单调递增(或减)函数,y(u)在 区间g(a),g(b)上(或g(b),g(a)是单调递 增(或减)函数,那么复合函数yg(x)在区 2.判定定理 3.性质定理 (3)单调函数必存在反函数,且反函数
2、的单 调性与原函数相同,反之:有反函数的函数不一 定是单调函数, 例如y (1)单调函数(x)与a(x)c当,a0相反 单调函数(x)与af(x),当a0相反,a0相同 (2)两增函数的和、积仍是增函数。 例1已知函数yf(u)在R内是增函数 若ug(x)在(a，b)内是增函数，求证:函 数yfg(x)在(a，b)内也是增函数 【思路分析】讨论或证明函数的增减性须严 格按照增减函数的定义来进行，对于复合函 数还需要分清内外层函数 【证明】任取x1、x2(a，b)，且设x1x2， ug(x)在(a，b)内是增函数， u1g(x1)u2g(x2) 又yf(u)在R内是增函数， f(u1)f(u2)
3、即fg(x1)fg(x2) 根据定义yfg(x)在(a,b)内是增函数 例2已知函数f(x)对任意x，yR，总有 f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0. 求证：函数f(x)在R上是减函数. 【思路分析】首先赋于特殊值，判断函数 的奇偶性，然后用定义证明其单调性. 【证明】令xy0,则f(0)f(0)f(0)f(0)0. 令yx，则f(x)f(x)0，f(x)f(x). 函数f(x)是奇函数. 设x1x2，则f(x1)f(x2) f(x1)f(x2) f(x1x2). x1x20， f(x1x2)0,即f(x1)f(x2)0,f(x1)f(x2). 函数f(x)在R上是减函数. 例
4、3已知函数f(x)x3bx2cx是奇函数 函数g(x)x2cx3在区间(,3)内为减函数 在(3,)内为增函数， (1)求实数b、c的值 (2)证明函数f(x)在区间( ,)内是增函数 【思路分析】由已知f(x)是R上的奇函数， 所以有:f(x) f(x)运用方程的思想可求得 b，g(x)是二次函数其单调区间由图象的顶点 横坐标区分由此可求得c. 【解】(1)f(x)为奇函数，. x3bx2cxx3bx2cx, 比较系数得:b0. g(x)x2cx3在(，3)内为减函数 在(3,)内为增函数c23， c6 对一切xR都有f(x)f(x)成立 (2)【证明】任取x1、x2( ,)且x1x2， f
5、(x)x36x， f(x1)f(x2)(x136x1)(x236x2) (x1x2)(x12x1x2x226). x1 ,x2 ,x122 ,x222,x1x22， x12x1x2x226,x12x1x2x2260. 又x1x20，f(x1)f(x2)0，f(x1) f(x2) 函数f(x)在区间( ,)内是增函数 【点评】对于奇偶函数所满足的等式f(x) f(x)或f(x)f(x)是对定义域内的一切实数 成立的，也就是说这两个等式在定义域内是 恒等式利用这一性质可求解函数式中未确 定的系数 1yf(x)在(，0)内是减函数，又f(x)是偶函数， 则f(3)与f(2.5)的大小关系是( ) (
6、A)f(3)f(2.5)(B)f(3)f(2.5) (C)f(3)f(2.5)(D)无法确定 2定义在区间(，)的奇函数f(x)为增函数， 偶函数g(x)在区间0，的图象与f(x)的图象重合 设ab0给出下列不等式1)f(b)f(a)g(a)g(b) f(b)f(a)g(a)g(b);f (a)f(b)g(b)g( a);f(a)f(b)g(b)g(a)其中成立的是 (A) (B) (C) (D) A C 3已知f(x)是定义在R上的奇函数， 且对任意xR，均有 f(x4)f(x)f(2)成立，则f(14)_. 4奇函数f(x)的定义域为xx0,xR且在 (，0)上 为增函数若f(1)=0，则
7、不等式f(x)0的解集为_ 5若函数f(x)x2bxc对任意实数t，都有f(3t) f(3t)，则f(0)，f(3)，f(4)的大小关系是_ 6判断函数f(x) 0 xx1或0x1 f(0)f(4)f(3) 6解：当x0时，x0 所以，f(x)(x)2 2(x) 3 x22x3f(x)(x0)，当x0时， x0所以，f(x)(x)22(x)3x22x3 f(x)(x0)，当x0时，f(x)0， 函数f(x) 为奇函数 7f(x)是定义在R上的偶函数，且(，0) 是它的增区间,设f(2a24a3)f(3a212a14), 求实数a的取值范围 解: 因为2a24a32(a1)210， 3a212a143(a2)220 f(x)为偶函数且在(， 0)上是增函数， f(x)在(0， )上是减函数 由f(2a24a3)f(3a212a14)得 2a24a33a212a14，即a216a110 解得:8 a8 8已知f(x)是R上的偶函数，且在(0，)内 单调递增，并且f(x)0对一切xR 成立试判断在(，0)上的单调性 并证明你的结论
