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1、1 第五章 分析力学 分析力学主要是以数学的方法解决物理的问题，反映了物体 在运动中能量的变化规律，虚功原理、拉格朗日方程、哈密 顿正则方程、泊松定理是分析力学的重要内容，反映了物体 运动所遵循的不同规律都有内在的联系。 在分析力学中建立起来的广义坐标、广义动量以及哈密顿量 等概念，对于理论物理学的发展具有非常重要的意义，例如 量子力学基本方程的建立仍以这些为基本物理量。 分析力学不注重对力和加速度的分析，而是以能量、坐标、 动量为基本物理量，并建立了广义坐标与广义动量的概念。 分析力学主要是以数学的方法解决物理的问题，反映了物体 在运动中能量的变化规律，虚功原理、拉格朗日方程、哈密 顿正则方
2、程、泊松定理是分析力学的重要内容，反映了物体 运动所遵循的不同规律都有内在的联系。 在分析力学中建立起来的广义坐标、广义动量以及哈密顿量 等概念，对于理论物理学的发展具有非常重要的意义，例如 量子力学基本方程的建立仍以这些为基本物理量。 分析力学不注重对力和加速度的分析，而是以能量、坐标、 动量为基本物理量，并建立了广义坐标与广义动量的概念。 2 第一节 约束与广义坐标第一节 约束与广义坐标 一、约束的概念和分类一、约束的概念和分类 1、力学体系力学体系：质点的集合，且质点间存在相互作用，每一 个质点的运动都和其它质点的位置及运动有关，简称 ：质点的集合，且质点间存在相互作用，每一 个质点的运
3、动都和其它质点的位置及运动有关，简称体系体系。 若有 。 若有 n 个质点，则描述所有质点位置的坐标有个质点，则描述所有质点位置的坐标有 3n 个。个。 2、约束约束：限制质点自由运动的条件叫做的：限制质点自由运动的条件叫做的约束约束。 约束一般可表示成质点位置、速度和时间的方程。如： 。 约束一般可表示成质点位置、速度和时间的方程。如： ) 1 . 1 . 5(0),(=zyxf 就是将某质点的运动限制在一曲面上。 若体系有 就是将某质点的运动限制在一曲面上。 若体系有 n 个质点，有个质点，有 k 个限制位置的约束，则体系独立坐 标的数目就只有 个限制位置的约束，则体系独立坐 标的数目就只
4、有 3n-k 个。个。 3 稳定约束稳定约束：若限制体系位置的约束不显含时间：若限制体系位置的约束不显含时间 t，则称为稳 定约束。 ，则称为稳 定约束。 不稳定约束不稳定约束：约束是时间的函数，如方程：约束是时间的函数，如方程 )2 . 1 . 5(0),(=tzyxf 就是不稳定约束。就是不稳定约束。 例如例如：质点和杆相连，杆的另一端固定，则为稳定约束，若 设固定点为原点，则约束方程为 ：质点和杆相连，杆的另一端固定，则为稳定约束，若 设固定点为原点，则约束方程为 2222 lzyx=+ 若杆的另一端点可沿直线以速度若杆的另一端点可沿直线以速度 v 匀速运动，则为不稳定约 束，可设直线的
5、某点为原点，则约束方程为 匀速运动，则为不稳定约 束，可设直线的某点为原点，则约束方程为 2222 )(lzyvtx=+ 4 不可解约束不可解约束：质点始终不能脱离的约束。如质点始终被曲面 约束，即存在约束方程 ：质点始终不能脱离的约束。如质点始终被曲面 约束，即存在约束方程 )3 . 1 . 5(0),(0),(=tzyxfzyxf或或 可解约束可解约束：质点在一定条件下能脱离的约束。如质点仍被曲 面约束，但在某一方向或脱离约束，则约束方程 ：质点在一定条件下能脱离的约束。如质点仍被曲 面约束，但在某一方向或脱离约束，则约束方程 )4 . 1 . 5(),(czyxf 容易看出，不可解约束以
6、等式表示，可解约束则同时以等式 和不等式来表示。 容易看出，不可解约束以等式表示，可解约束则同时以等式 和不等式来表示。 例如例如：被软绳约束的质点为可解约束，约束方程可表示为：被软绳约束的质点为可解约束，约束方程可表示为 2222 lzyx+ 而刚性杆的约束为不可解约束。约束方程为而刚性杆的约束为不可解约束。约束方程为 2222 lzyx=+ 5 约束又可分为约束又可分为几何约束和运动约束几何约束和运动约束。 几何约束几何约束又叫做又叫做完整约束完整约束，它只限制质点在空间的位置，因 而表现为质点坐标的函数，如 ，它只限制质点在空间的位置，因 而表现为质点坐标的函数，如 )3 . 1 . 5
7、(0),(0),(=tzyxfzyxf或或 运动约束运动约束除限制质点坐标外，还限制质点的速度的投影，如除限制质点坐标外，还限制质点的速度的投影，如 )6 . 1 . 5(0),(=tzyxzyxf, 2121 都不是的函数，且因也是相互独立的，所以利 用 都不是的函数，且因也是相互独立的，所以利 用 (5.3.9) 得得 s qqqq,;,( 2121 tqqqppp ss LL= 因也是时间的函数，所以因也是时间的函数，所以 tqp , )2 . 6 . 5()( 1 = + + = s p p q qtdt d ,;,( );,;,( 22121 12121 = = Ctqqqppp C
8、tqqqppp ss ss LL LL 是正则方程的两个积分，则如是正则方程的两个积分，则如 (5.6.6) ， 也必满足， 也必满足 )16. 6 . 5(0,=+ H t 用用 H 代替泊松恒等式代替泊松恒等式 (5.6.13) 中的，则由中的，则由 (5.6.6)、 (5.6.9)、 (5.6.16) 诸式，有诸式，有 63 )17. 6 . 5(0, ,= + tt H 再利用再利用 (5.6.9)、 (5.6.12)及及 (5.6.3) 等关系式，便得到等关系式，便得到 )18. 6 . 5(0,=+ dt d H t 所以有所以有 )19. 6 . 5(, 3 常数常数=C 这也是
9、正则方程的一个积分，这个关系叫做泊松定理。 利用泊松定理，只要知道了正则方程的两积分，一般可以求 出积分的线性组合或都恒等式，不能提供新的积分，所以求 正则方程的积分时，不能完全依靠泊松定理。 若 这也是正则方程的一个积分，这个关系叫做泊松定理。 利用泊松定理，只要知道了正则方程的两积分，一般可以求 出积分的线性组合或都恒等式，不能提供新的积分，所以求 正则方程的积分时，不能完全依靠泊松定理。 若 H 不显含时间，不显含时间，H=h 是正则方程的一个积分，如果知道了 正则方程的另一积分 是正则方程的一个积分，如果知道了 正则方程的另一积分 64 12121 );,;,(Ctqqqppp ss
10、=LL 那么根据泊松定理，也是正则方程的积分，那么根据泊松定理，也是正则方程的积分， CH=, 但但 C t H= = , 所以所以 2 C t = 也是正则方程的积分。依次类推，等等都 是正则方程的积分。 也是正则方程的积分。依次类推，等等都 是正则方程的积分。 4 3 3 3 2 2 ,C t C t = = 但若不显含时间 ，则，而变成恒等式， 不能提供任何新的积分。 但若不显含时间 ，则，而变成恒等式， 不能提供任何新的积分。 0,0= H t t 65 泊松括号和量子力学密切关系，方程式泊松括号和量子力学密切关系，方程式 (5.6.14) 是和量子条件 相符合的，正则方程用泊松括号表
11、出的形式，即式 是和量子条件 相符合的，正则方程用泊松括号表出的形式，即式 (5.6.5)在 量子力学中也常用到。 在 量子力学中也常用到。 例例：一组质点只在保守内力作用下运动，如方向的两分量 角动量为常数，则 ：一组质点只在保守内力作用下运动，如方向的两分量 角动量为常数，则 z 方向的角动量也必定是一个常数，试用泊 松定理加以证明。 方向的角动量也必定是一个常数，试用泊 松定理加以证明。 yx, 解解：据第二章公式知：据第二章公式知 ) 1 ( )()( )()( )()( 11 11 11 = = = = = = n i ixiiyi n i iiiiix n i iziixi n i
12、 iiiiiy n i iyiizi n i iiiiix pypxxyyxmJ pxpzzxxzmJ pzpyyzzymJ & & & 66 根据已知条件根据已知条件)2(, 21 CJCJ yx = 所以由泊松定理所以由泊松定理)3(, 3 常数常数= CJJ yx 面将式面将式 (1) 代入泊松括号得代入泊松括号得, yx JJ )( )()(, 1 i y iz x iz y i x n i i y iy x iy y i x i y ix x ix y i x yx z J p J p J z J y J p J p J y J x J p J p J x J JJ + + = = )4()(00 1 z n i ixiiyi Jpypx=+= = 结合结合 (3,)、(4) 两式可见两式可见)5( 3 常数常数= CJz
