微分方程模型2教材

《微分方程模型2教材》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分方程模型2教材（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化 率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微分 方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关 系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。 求解微分方程有三种方法： 1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性 理论方法。 建立微分方程模型的方法 （1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或 经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。 （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系 式，与第一种方法不同的是对微元而不是直 接对函数及其导数应用规律。 （3）模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象 的规律性不

2、很清楚，即使有所了解也是极其复 杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现 象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从 数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再 去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模 拟某些实际现象。 观众厅地面设计 1 问题的提出 在影视厅或报告厅，经常会为前边观众遮挡住自 己的视线而苦恼。显然，场内的观众都在朝台上 看，如果场内地面不做成前低后高的坡度模式， 那么前边观众必然会遮挡后面观众的视线。试建 立数学模型设计良好的报告厅地面坡度曲线。 建立坐标系 o o处在台上的设计视点 b b第一排观众的眼睛到x 轴的垂 直距离 x y add a第一排观众与设计视 点的水平距离

3、 d相邻两排的排距 视线升高标准 x表示任一排与设计视 点的水平距离 求任一排x与设计视点o的竖直距离函数 使此曲线满足视线的无遮挡要求。 问题 2 问题的假设 1) 观众厅地面的纵剖面图一致，只需求中轴线 上地面的起伏曲线即可。 2) 同一排的座位在同一等高线上。 3) 每个坐在座位上的观众的眼睛与地面的距离 相等。 4) 每个坐在座位上的观众的头与地面的距离也 相等。 5) 所求曲线只要使观众的视线从紧邻的前一个 座位的人的头顶擦过即可。 3 建模 设眼睛升起曲线应满足微分方程 初始条件 o b x y add 1）从第一排起，观众眼 睛与o点的连线的斜率随 排数的增加而增加，而 眼睛升起

4、曲线显然与这 些直线皆相交，故此升 起曲线是凹的。 2）选择某排和相邻排 o y x-dC(x,0 ) C2(x+d,0 ) M M2 M1 x N1A B N 相似于 D 再计算 相似于 4 模型求解 微分不等式（比较定理） 设函数定义在某个区域上，且满足 1）在D上满足存在唯一性定理的条件； 2）在D上有不等式 则初值问题与 的解在它们共同存在区间上满足 所求曲线的近似曲线方程（折衷法） 折衷法 5 总结与讨论 有时只需求近似解。 方法利用微分不等式建模； 模型讨论 o b x y add 1）视点移动时升起 曲线如何求得？ 2）怎样减少地面的坡度？调整参数、相邻排错位。 3）衡量经济的指

5、标？ 座位尽量多、升起曲线占据的空间尽量少等。 一 古尸年代鉴定问题 在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古 代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它 带到实验室，作碳14年代测定，分析表明， 与 的比例仅仅是活组织内的6.24%，能 否判断此人生活在多少年前？ 年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性 同位素 ，这种放射性碳是由于宇宙射线在高层 大气中的撞击引起的，经过一系列交换过程进入活 组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，这意味着 在活体中， 的数量与稳定的 的数量成定比， 生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以 每年八千分之一的速度减少。 背景 设 t 为死后年数， 年代测定的修订： 1

6、966年，耶鲁实验室的Minze Stuiver和加利福尼亚 大学圣地亚哥分校的HansE.Suess在一份报告中指出：在 2500到10000年前这段时间中测得的结果有差异，其根本 原因在于那个年代，宇宙射线的放射性强度减弱了，偏差的 峰值发生在大约6000年以前。他们提出了一个很成功的误 差公式，用来校正根据碳测定出的2300年到6000年前这期 间的年代： 真正的年代 二 范. 梅格伦（Van Meegren） 伪造名画案 第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜 捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren 曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批

7、名贵油画盗卖 给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。 Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所 有的油画都是自己伪造的，为了证实这一切，在狱中开始 伪造Vermeer的画耶稣在学者中间。当他的工作快完成 时，又获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化， 以免留下罪证。 为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理 学家、艺术史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最 先进的科学方法，动用了X-光线透视等，对颜料成份进行 分析，终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝 的痕迹。 这样，伪造罪成立， Vanmeegren被判一年徒刑。 1947年11月30日他在狱中

8、心脏病发作而死去。 但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为 ， Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差，所找理由 都不能使怀疑者满意。直到20年后，1967年，卡内基梅 隆大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。 原理 著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出： 物质的放射性正比于现存物质的原子数。 设 时刻的原子数为 ，则有 为物质的衰变常数。 初始条件 半衰期 碳-14 铀-238 镭-226 铅-210 能测出或算出，只要知道 就可算出 这正是问题的难处，下面是间接确定 的方法。 断代。 油画中的放射性物质 白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应 用已有200

9、0余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和 更少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而 铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅 从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时， Pb210 的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到 Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210 的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。 铀238镭226铅210 钋210 铅206 （放射性） （无放射性） 假设 （1）镭的半衰期为1600年，我们只对17 世纪 的油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭至少 还有原量的90%以上，所以每克白铅中每分钟 镭的衰变数可视为常数，用 表示。 （2）钋的半衰期为138

10、天容易测定，铅210的半 衰期为22年，对要鉴别的300多年的颜料来说， 每克白铅中每分钟钋的衰变数与铅210的衰变数 可视为相等。 建模 设 时刻每克白铅中含铅210的数量为 ， 为制造时刻 每克白铅中含铅210的数量。 为铅210的衰变常数。则油画中铅210含量 求解 均可测出。 可算出白铅中铅的衰变率 ，再于当时的矿物 比较，以鉴别真伪。 矿石中铀的最大含量可能 23%，若白铅中铅210 每分钟衰变超过3 万个原子，则矿石中含铀量超 过 4%。 测定结果与分析 画名钋钋210衰变变原子数镭镭226衰变变原子数 Emmaus的信徒们 8.50.82 洗足 12.60.26 读乐谱 的妇人 10.30.3 弹曼陀林的妇人 8.20.17 做花边的人 1.51.4 欢笑的女孩 5.26.0 若第一幅画是真品， 铅210每分钟每克衰变不合理，为赝品。 同理可检验第2，3，4幅画亦为赝品， 而后两幅画为真品。