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1、学而思培优学而思培优学而思培优学而思培优奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结吴超超老师吴超超老师吴超超老师吴超超老师 1 1 1 1 第二讲第二讲 奇数与偶数奇数与偶数 一、一、一、一、问题引入问题引入问题引入问题引入 我们可以将所有正整数分成相互对立的两类，比如奇数和偶数，又比如质 数和合数（0 和 1 除外，0 和 1 不是质数也不是合数） 。两种状态之间，既相互 区别，又相互联系，既相互对立，又可以相互转换。运用好对立的关系，可以证 明某些问题的不可能性； 运用好转化关系， 可以充分挖掘某些隐藏的条件。 因此， 当我们面对一个奥数问题无
2、从下手或比较繁琐的时候， 首先可以想到能否运用奇 偶性和质合性，来挖掘条件，简化题目。下面就让我们先来看看奇数和偶数的对 立和转化关系吧。 二、二、二、二、知识总结知识总结知识总结知识总结 1、奇数和偶数的对立性 奇数和偶数之间有着明确的界限：所有奇数除以 2 的余数都为 1；所有的偶 数都能被 2 整除。是奇数就不可能是偶数，是偶数也不可能是奇数。所以我们可 以利用奇数和偶数的对立性来证明某些结论的不可能性。 即某些题目的结论直接 或间接的要求某些数是奇数， 如果我们证明了这些数是偶数，那么题目的结论就 不不可能成立，反之亦然。 这样的题目多数是问“某某结论可能成立吗？为什么” 。从逻辑上来
3、说，如 果我们用奇偶性证明了不成立， 那么题目就算解决了；如果用奇偶性和其它方法 都证明不了不成立， 那么我们只要找出一种能是结论成立的特例，就说明这个结 论可以成立。 2、奇数和偶数的转化性 奇数和偶数之间，或者奇数与奇数、偶数与偶数之间是可以相互转化的。 转 化的规律如下。 加减转化： 两个奇数的和（或差）为偶数。进一步讲，偶数个奇数的和（或差）为偶 数。如 1+3+5+7=16，四个奇数的和为偶数。 学而思培优学而思培优学而思培优学而思培优奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结吴超超老师吴超超老师吴超超老师吴超超老师 2 2 2 2 奇数
4、个奇数的和（或差）为奇数。如 1+3+5=9，三个奇数的和为奇数。 任意多个偶数的和(或差)为偶数。如 2+4+6=12，三个偶数的和为偶数。 一个奇数和一个偶数的和（或差）为奇数。进一步讲，任意个偶数和奇数 个奇数的和为奇数。 也就是说，几个数相加，如果把一个数看成原数，其它的数看成加数，那么 加数为偶数时不改变原数的奇偶性，加数为奇数时改变一次原数的奇偶性。 如 3+4+5+6+7+8= 33 乘法转化： 若干个整数相乘，如果其中有一个数为偶数，积就是偶数；如果所有的乘 数都是奇数，那么积为奇数。如 1235=30,135=15。 如果若干个整数的乘积为偶数，那么乘数中至少有一个乘数是偶数
5、；如果 若干个整数的乘积是奇数，那么所有乘数都是奇数。 知道了以上的转化规律， 我们就可以从题目中给的关系或者算式中发现 未知量的奇偶性， 从而缩小未知量的取值范围， 这就是所谓的挖掘隐藏条件。 这类题目包括数字谜问题、不定方程问题、最值问题等等。 三、三、三、三、例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解 （注意注意注意注意： 例题只是帮助大家理解知识总结中介绍的解题例题只是帮助大家理解知识总结中介绍的解题例题只是帮助大家理解知识总结中介绍的解题例题只是帮助大家理解知识总结中介绍的解题 思路思路思路思路， 希望大家发散开希望大家发散开希望大家发散开希望大家发散开， 不要把这些解题思路仅限于下面几道例题
6、中不要把这些解题思路仅限于下面几道例题中不要把这些解题思路仅限于下面几道例题中不要把这些解题思路仅限于下面几道例题中 介绍的有限的题目类型中）介绍的有限的题目类型中）介绍的有限的题目类型中）介绍的有限的题目类型中） 例例例例 1 1 1 1：奇数和偶数的对立：奇数和偶数的对立：奇数和偶数的对立：奇数和偶数的对立求和问题求和问题求和问题求和问题 小华买了一本 100 页的练习本，依次将它的每面编号（从第 1 面一直编 到第 200 面） 。小华从该练习本上撕下 16 页纸，并将每一面上的编号数 相加，问小华所加得的和可能是 2001 吗？为什么？ 【分析】 原数 3 为 奇数 4 为偶数 不 改
7、 变 奇偶性， 结 果 仍 为奇数 5 为奇数 改 变 奇 偶性， 结 果为 偶数 6 为偶数 不 改 变 奇偶性， 结 果 仍 为偶数 7 为奇数 改 变 奇 偶性， 结 果为 奇数 8 为偶数 不 改 变 奇偶性， 结 果 仍 为奇数 学而思培优学而思培优学而思培优学而思培优奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结吴超超老师吴超超老师吴超超老师吴超超老师 3 3 3 3 任意一页纸上的编号是相邻的两个自然数，必定是一个奇数一个偶数， 它们的和是奇数，撕下 16 页就有 16 个和，也就是 16 个奇数，16 个奇 数相加结果为偶数，因此不可能
8、是 2001。 例例例例 2 2 2 2：奇数与偶数的对立性：奇数与偶数的对立性：奇数与偶数的对立性：奇数与偶数的对立性染色问题染色问题染色问题染色问题 如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的 房间相通.问能否从 1 号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到 1 号房 间? 【分析】 如右图所示，将所有房间间隔染色，把房间分成黑白两类，这样每当从 一个房间进入另一个房间时，房间的颜色就会变化一次，当变化奇数次 时，房间的颜色与 1 不同，当变化偶数次是房间的颜色与 1 相同。从 1 号房间开始，不重复的走遍所有房间回到 1 号房间，共要走 9 次，也就 是房间颜色变化了奇数次，最后进入的应该是白色的房间。所有不可能 进入 1 号房间。 例例例例 3 3 3 3：奇数与偶数的转换性：不定方程：奇数与偶数的转换性：不定方程：奇数与偶数的转换性：不定方程：奇数与偶数的转换性：不定方程 已知 1999A +4B=9991,其中 A, B 是自然数,那么 B=. 【分析】 首先根据奇偶性乘法转换的规律，4B 为偶数，算式最后的结果为 9991 是奇数，那么根据奇偶性加减转换规律，1999A 也一定为奇 数。A 只能是 1、3。 A=1 时，B=1998； A=3 时，B=998.5，不为整数； 所以 A=1，B=1998。 1 1
