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1、数学思想方法 华中师范大学数学与统计学学院 胡典顺 E-mail：hdshsd 湘南学院，2014，08，12 思考一个小数数学试题中的问题：请用一 句话说明“”的含义。 的含义是圆周率。 （） 标准答案是：是一个在数学及物理学领域 普遍存在的数学常数。 一项调查 魔鬼，难打败的憎恨者； 数学是杀死脑细胞的工具； 数学是学不会的科目，很难，很难，难上加难； 脑细胞的灭绝师太； 满清十大酷刑； 看似简单，学起来难；听课容易，做题难；平时测验有高 分，大型考试高分难；抽象难以变详细； 数学是一门伟大而神奇的学科，对于一些人而言，它是天 堂，对于我而言，它是地狱！ 数学就像老奶奶的拐杖，没有它，老奶
2、奶仍然可以行走， 但是不安全，不方便，拥有它，则更加便利； “买菜时最广泛的语言” ； 数学是150分，没定义，为了高考，为了父母的期望，为了 上个好大学，要不然，打死我，我也不学。 小时候，数学是生活中的必须品，我离不 开它，它也离不开我。后来啊，数学变成 生活中的小包袱，我背着它，它压制我。 现在，数学成了生活中的绳索，它捆绑我 ，我一心只想逃离，因为要高考。也 许，它还是暴风雨，将我对学习的热情， 扼杀在摇篮里。 数学，你是个坏蛋，你害我脑细胞不知死 了多少。我美好的青春年华就毁在你的手 上，你很能耐呀！你总是打破别人的梦， 你为什么要做个人见人恨，人做人更恨的 家伙呢？如果没有你，我将
3、笑得多灿烂呀 ！如果你离开我，我绝不责怪你无情，只 要你理解我的心，我就知足了。 数学课应该怎样上 不照本宣科，不拼命做题，有诗意，有笑声，不 会让我们常觉得：你必须这样做，而是明白：为 什么要这样做。 告诉我们如何能有正确的思路，而不是你要这样 想。 把数学放在历史发展的角度进行发人深省的启迪 。 互动，有激情，以学生为主体。 将数学与生活结合起来，讲有关数学的趣事。 从游戏到数学 游戏1：拿15点游戏 桌子上有9张扑克牌，从1点到9点，甲 、乙两人轮流来取，哪个人先取得3张 牌，使3张牌的点数加起来是15，他便 胜了。 游戏2：有69块糖，甲乙两人轮流拿，每 人每次可取不多于10的任意数（
4、但不能不 拿），谁取完糖使对方无糖可取为胜。如 果让甲先取，问谁能获胜，怎样才能获胜 ？ 形形色色的加法 1.在实数系里，有理数系里，整数系里， 1+1=2。 2.电灯的拉线开关，拉一下，灯亮了，又 拉一下，灯又灭了，拉两下等于不拉，这 叫1+1=0。 3.操场上的口令：立正，向右转，向后转 ，向左转。向右转+向左转=立正，向左转 +向后转=向右转。 +0123 00123 11230 22301 33012 记立正=0，向右转=1，向后转=2，向左转=3。 叫“模4同余类的加法” 把“+”当成乘法来做，所得的积再除以7， 余数就叫做和。 +123456 1123456 2246135 336
5、2514 4415263 5531642 6654321 共同特征 1.每一个系统与一个基本集合有关。(1)实数集， 有理数集，整数集；(2)两个动作“拉”与“不拉”； (3)4个口令；（4）1，2，3，4，5，6。 2.给定集合中的两个元素，可以唯一地确定集合 中的某元素，这叫在集合上规定了一种运算，用 “+”或其他符号表示。 3.结合律(a+b)+c=a+(b+c)，交换律a+b=b+a。 4.零元素“0”，x+0=0+x=x。(1)中0，(2)中不拉动 ，(3)中立正；（4）1。 5.负元素，x+X=X+x=0。 加以抽象可得到交换群的定义。 第一节 数学思想方法的内涵 所谓数学思想是指
6、从具体的数学内容中提 炼出来的对数学知识的本质认识，它在数 学认识活动中被普遍使用，是建立数学理 论和解决数学问题的指导思想。比如，化 归思想、极限思想、公理化思想等。 所谓数学方法是指研究数学问题过程中所 采用的手段、途径、方式等。比如变量代 换方法、解析法等。 数学思想和数学方法是紧密联系的，两者 虽层次不同但它们之间并没有绝对的界限 ，因此常统称为数学思想方法。 一般说来，强调指导思想时称数学思想， 强调操作过程时称数学方法。 中小学数学中用到的各种解题方法，都是体现着 一定的数学思想的。同时，有的解题方法和思想 可以说是等同的，只是在不同的情况下或侧重于 不同的方面，才有“方法”与“思
7、想”提法之别，例如 ：“公理化方法”与“公理化思想”。当然，中小学数 学中由于解题方法的层次性，有的方法通常不宜 简单直接冠以“思想”的雅号。 例如，“配方法”倘若冠以“配方思想”就与我们所定 义的思想不那么相称。鉴于中小学数学中的解题 方法与数学思想的这种特殊关系，以及从数学方 法论的角度来考虑既同一又有差异，或没有明确 界限的数学思想和数学方法中，我们在中小学数 学教学中一般仍笼统使用“数学思想方法”一词。 第二节 数学思想方法的教学途径渗透 一般来说，数学思想方法的教学要采取“渗 透”的方式进行。 所谓“渗透”，就是有机地结合数学内容 的教学，采用“教者有意、学者无心”的 形式，反反复复
8、地向学生介绍数学思想方 法，日积月累，期待学生的认识飞跃。 第一，从数学知识内容与数学思想方法的关系来 看，思想方法隐含在知识内容中，体现在揭示、 应用知识的过程中，它不象知识那样可以具体地 编排在某一教材，它几乎渗透在所有的教学内容 之中。 第二，从学生的认识规律来看，学生掌握数学思 想方法要经历较长时间从模糊到清晰的过程，也 就是说学生对思想方法的认识不可能一次完成。 第三，从学生的个体差异来看，不同的学生掌握 数学思想方法比理解知识和形成技能更加参差不 齐，更加不同步。 数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是以 数学内容为载体的对数学内容的一种本质认识， 因此是一种隐形的知识内容，要通
9、过反复体验才 能领悟和运用。 数学方法是处理、解决问题的一种方式、途径、 手段，是对变换数学形式的认识，同样要通过数 学内容才能反映出来，并且要在解决问题的不断 实践中才能理解和掌握。 因此在数学课本中即使是直接指出“思想”、“ 方法”也不一定能起到应有的作用。于是沟通课本 与学生的认识，使学生领悟、理解、掌握、运用 数学思想方法就需要通过精心的教学设计和课堂 上的教学活动过程，在教师的主导、学生的参与 下去完成。 具体地说，设计数学思想方法的教学过程 应包括“多次孕育、初步形成、应用发展” 三个阶段。 渗透思想方法，重在细水长流 。 第三节 渗透数学思想方法的教学意义 数学思想方法作为数学知
10、识内容的精髓，是铭记在 人们头脑中起永恒作用的数学的精神与态度、数学 的观点与文化。 日本数学教育家米山国藏认为，“学生们在初中或高 中所学到的数学知识，在进入社会之后，几乎没有 什么机会应用。因而这种作为知识的数学，通常在 出校门不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什 么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学 思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着 作用” 数学的精神、思想与方法 数学思想方法是处理数学问题的推导思想和基本 策略，是数学的灵魂。因此，引导学生领悟和掌 握以数学知识为载体的数学思想方法，是使学生 提高思维水平，真正懂得数学的价值，建立科学 的数学观念，从而发展数学，运
11、用数学的重要保 证。 从宏观意义上来说，数学思想方法是数学发现、 发明的关键和动力。 从微观意义上来说，在我们的数学教学和数学学 习中，只有从知识和思想方法两层面上去教和学 ，使他们从整体上，从内部规律上掌握系统化的 知识，以至蕴含于知识中以知识为载体的思想方 法，才能形成良好的认知结构，也才能有助于学 生的主动建构，最终达到提高学生洞察事物，寻 求关系，解决问题的思维品质和各种能力，培养 现代社会需要的智能型人才。 几个例子从烧水到三次方程的求解 匈牙利著名数学家路莎彼得（Rozsa Peter ）在她的名著无穷的玩艺一书中曾对“ 化归方法”作过生动而有趣的描述： “如上所述的推理过程，对于
12、数学家的思维 过程来说是很典型的，他们往往不对问题 进行正面的攻击，而是不断地将它变形， 直至把它转化为已经能够解决的问题。当 然，从陈旧的实用观点来看，以下的一个 比拟也许是十分可笑的，但这一比拟在数 学家中却是广为流传的： 现有煤气灶、水龙头、水壶和火柴摆在你面前， 当你要烧水时，你应当怎样去做呢？往水壶里注 满水，点燃煤气，然后把水壶放在煤气灶上你对 问题的回答是正确的。现把所说的问题稍作修改 ，即假使水壶里已经装满了水，而所说问题中的 其他情况都不变，试问，此时你应该怎样去做？ 此时被问者一定会大声而颇有把握地说：点燃煤 气，再把水壶放上去。他确信这样的回答是正确 的，但是更完善的回答
13、应该是这样的：只有物理 学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却 会回答：只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为 前面所说的问题了。 从这段话可以看出，化归方法已经成为了数学家 们最典型的思维模式了”。 笛卡尔的“万能方法”（一般模式）： 第一，把任何问题化归为数学问题；第二 ，把任何数学问题化归为代数问题；第三 ，把任何代数问题化归为方程式的求解。 由于求解方程问题是已经解决或较为容易 解决的，因此，在笛卡尔看来，就可利用 上述方法解决任何类型的问题，故称其为“ 万能方法”。 不容置疑，他所阐述的上述化归原则事实 上已成为他赖以创立解析几何的思想方法 基础。 解一元三次方程：x3+px+q=0
14、。 第四节 数学思想方法的教学内容 对应思想方法 对应是人们对两个集合元素之间的联系的 一种思想方法，中小学数学一般是一一对 应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如 直线上的点（数轴）与表示具体的数是一 一对应。 符号化思想方法 用符号化的语言（包括字母、数字、图形 和各种特定的符号）来描述数学内容，这 就是符号思想。如数学中各种数量关系， 量的变化及量与量之间进行推导和演算， 都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩 形式表达大量的信息。如定律、公式等。 类比思想方法 类比思想是指依据两类数学对象的相似性 ，有可能将已知的一类数学对象的性质迁 移到另一类数学对象上去的思想。如加法 交换律和乘法交换
15、律、长方形的面积公式 、平行四边形面积公式和三角形面积公式 。类比思想不仅使数学知识容易理解，而 且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简 洁。 转化思想方法 转化思想是由一种形式变换成另一种形式 的思想方法，而其本身的大小是不变的。 如几何的等积变换、解方程的同解变换、 公式的变形等 。 分类思想方法 分类思想方法不是数学独有的方法，数学 的分类思想方法体现对数学对象的分类及 其分类的标准。 如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数 和偶数。不同的分类标准就会有不同的分 类结果，从而产生新的概念。对数学对象 的正确、合理分类取决于分类标准的正确 、合理性，数学知识的分类有助于学生对 知识的梳理和建
16、构。 集合思想方法 集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言 、运算、图形等来解决数学问题或非纯数 学问题的思想方法。小学采用直观手段， 利用图形和实物渗透集合思想。在讲述公 约数和公倍数时采用了交集的思想方法。 数形结合思想方法 数和形是数学研究的两个主要对象，数离 不开形，形离不开数，一方面抽象的数学 概念，复杂的数量关系，借助图形使之直 观化、形象化、简单化。另一方面复杂的 形体可以用简单的数量关系表示。在解应 用题中常常借助线段图的直观帮助分析数 量关系。 化归思维方法 把有可能解决的或未解决的问题，通过转 化过程，归结为一类以便解决可较易解决 的问题，以求得解决，这就是“化归”。而数 学知识联系紧密，新知识往往是旧知识的 引申和
