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1、乘法公式 整式的乘除与因式分解 活动1 知识复习 多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式 相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 每一项，再把所得的积相加. (1) (x+1)(x1)； (2) (a+2)(a2)； (3) (3x)(3+x) ； (4) (2x+1)(2x1). (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn. 活动2 计算下列各题，你能发现什么规律？ 平方差公式: (a+b)(a b)= a2 b2. 即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差. ( m+n) ( m n) = m2 n2. (a+b)(a b)= a2 b2 .a2 ab+ab b2= 请从这个正
2、方形纸板上 ，剪下一个边长为b的小正 方形，如图1，拼成如图2的 长方形，你能根据图中的面 积说明平方差公式吗？ (a+b)(ab)=a2b2. 图1 图2 例1 运用平方差公式计算： (1) (3x2 )( 3x2 ) ； (2) (b+2a)(2ab); (3) (-x+2y)(-x-2y). 解：（1）(3x2)(3x2) =(3x)222 =9x24； （2）(b+2a)(2ab) =(2a+b)(2ab) =(2a)2b2 =4a2b2. (3) (-x+2y)(-x-2y) =(-x)2(2y)2 = x24y2 活动3 例2 计算 (1) 10298 (2) (y+2) (y -
3、2) - (y -1) (y+5) 2.利用平方差公式计算： （1）(a+3b)(a - 3b)= （2）(3+2a)(3+2a)= （3）(2x2y)(2x2+y)= （4）5149= （5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)= (a)2(3b)2 =4 a29； =4x4y2. 活动4 练习 1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当 怎样改正？ (1)(x+2)(x2)=x22； (2)(3a2)(3a2)=9a24. (2a+3)(2a-3) =a29b2 ； =(2a)232 (-2x2 )2y2 (50+1)(50-1) =50212 =2500-1 =2499 (9
4、x216) - (6x2+5x -6) =3x25x+10 活动5 科学探究 给出下列算式: 3212=8 =81； 5232=16=82； 7252=24=83； 9272=32=84. （1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？ （2）用含n的式子表示出来 （n为正整数）. （3）计算 2005220032= 此时n = . 连续两个奇数的平方差是8的倍数. （2n+1)2 (2n1)2=8n 80161002 提示:根据2005=2n+1或2003=2n-1求n 1.通过本节课的学习我有哪些收获？ 2.通过本节课的学习我有哪些疑惑？ 3.通过本节课的学习我有哪些感受？ 作业：第156页
5、 习题 15.2 第1题 练习练习 1 1. .下面各式的计算对不对？如果不对，应当下面各式的计算对不对？如果不对，应当 怎样改正怎样改正？ (1)(1)(x x+2)(+2)(x x2)=2)=x x 2 2 2 2； (2)(2)(3 3a a2)(32)(3a a2)=92)=9a a 2 2 4. 4. 2. 2.根据公式根据公式( (a+ba+b)( )(a ab)b)= = a a 2 2 b b 2 2 计算计算. . (1)(1)(x+yx+y)( )(x xy y) )； (2)(2)(a+a+5)(55)(5a a) )； (3)(3)(xy+zxy+z) () (xyxy
6、z z) )； (4)(4)(c ca a) () (a+ca+c) )； (5)(5)(x x3) (3) (3 3x x). ). 利用平方差公式计算： (1)(5+6x)(56x); (2)(x2y)(x+2y); (3)(m+n)(mn). 活动5 知识应用，加深对平方差公式的理解 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ): （1）(x+1)(1+x)； （2）(a+b)(ba) ； （3）(a+b)(ab)； （4）(x2y)(x+y2)； （5）(ab)(ab)；（6）(c2d2)(d2+c2). 乘法公式 平方差公式 整式的乘除与因式分解 你能用简单方法计算下列问题吗？ (
7、1)、1002998 =(1000+2)(1000-2) =10002+21000-21000-22 = 10002-22 =999996 (2)、 200004199996 观观察下列多项项式，并进进行计计算，你 能发现发现 什么规规律？ (x+1)(x-1) =x2-x+x-1 =x2-1 (m+2)(m-2) =m2-2m+2m-22 =m2-22 =m2-4 (2x+1)(2x-1) =(2x) 2-2x+2x-1 =(2x) 2-1 =4x 2-1 (a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和与这两 个数的差的积等于这两 个数的平方差。 从边长为a的大正方形底板上挖去一个边 长为b的
8、小正方形（如图甲），然后将其 裁成两个矩形（如图乙），通过计算阴 影的面积可以验证公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 a a a-b b a-b b a b a-b 快乐乐学习习1： 运用平方差公式计算 ( 3x+2 )( 3x-2) =(3x)2-22 =9x2-4 (b+2a)(2a-b) =(2a)2-b2 =4a2-b2 ( -x+2y )(-x-2y) =(-x)2-(2y)2 =x2-4y2 下列各式计算对不对？若不对应怎样改正？ (1)(x+2)(x-2)= x2-2 (2)(-3a-2)(3a-2)= 9a2-4 4-9a2 x2-4 快乐乐学习习2： 计 算 10298
9、=(100+2)(100-2) =1002-22 =9996 (y+2 )( y-2)-(y- 1)(y+5) = y2-22-(y2+5y-y-5) = y2-4-y2-4y+5 = -4y+1 试试一试试 ： ( a+b)(-b+a) (3a+2b)(3a-2b) (a5-b2)(a5+b2) (a+b)(a-b)(a2+b2) a2-b2 9a2-4b2 a10-b4 a4-b4 算一算： （x+y )( x-y)+(2x+y )( 2x-y） x(x-3)-(x+7)(x-7) 填一填: （_+_）（_-_）= - 9 （a+2b+2c）（a+2b-2c）写成平方差公 式形式：_ 5x
10、2-2y2 -3x+49 3 3 (a+2b)2-(2c)2 200004199996 =（200000+4）（200000-4） = 2000002 - 42 = 40000000000 - 16 = 39999999984 uu(a+b)(a-b)=a(a+b)(a-b)=a 2 2 -b-b 2 2 两个数的和与两个数的和与这这这这两个数的差的两个数的差的积积积积等于等于 这这这这两个数的平方差。两个数的平方差。 uu平方差公式中字母平方差公式中字母 a a、b b可代表一个数、一可代表一个数、一 个单项式或多项式。个单项式或多项式。 谢 谢! 人教版人教版 数学数学 八年级八年级( (
11、上上) ) 乘法乘法公式公式 完全平方公式完全平方公式 请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子每 当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们 来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩 子，老人就给每个孩子两块塘，（1）第一天有a个 男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这 些孩子多少块糖？（3）第三天这（a+b）个孩子一起 去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这 些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果 总数哪个多？多多少？为什么？ (1)a2 (2)b2 (3)(a+b)2 (4)(a+b)2-(a2+b2)
12、 在上面问题中遇到了两个数和的平方的运算，如何进 行这样的运算呢？ 我们知道a2=aa，所以(a+b)2=(a+b)(a+b)，这样就 转化成多项式与多项式的乘积了 能不能将(a+b)2转化为我们学过的知识去解决呢？ 像研究平方差公式一样，我们探究一下(a+b)2的运算 结果有什么规律 计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）(p+1)2=(p+1)(p+1)=_； （2）(m+2)2=_； （3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=_； （4）(m-2)2=_； （5）(a+b)2=_； （6）(a-b)2=_ (1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1=p2+2p+1 (2
13、)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+2m+m2+22=m2+4m+4 （3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2+p(-1)+(-1)p+(-1)(-1) =p2-2p+1 （4）(m-2)2=(m-2)(m-2) =m2+m(-2)+(-2)m+(-2)(-2)=m2-4m+4 （5）(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 （6）(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？ 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加（或减）它们的积的2倍 用符
14、号怎么表述呢？ (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式 你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公 式吗？ 先看图（1），可以看出大正方 形的边长是a+b还可以看出大 正方形是由两个小正方形和两个 矩形组成，所以大正方形的面 积等于这四个图形的面积之和 阴影部分的正方形边长是a，所 以它的面积是a2； 另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另 外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面 积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是(a+b)2 于是就可以得出：(a+b)2=a2+2ab+b2这正好符合
15、 完全平方公式 如图（2）中，大正方形的边长 是a，它的面积是a2；矩形 DCGE与矩形BCHF是全等图形 ，长都是a，宽都是b，所以它 们的面积都是ab；正方形 HCGM的边长是b，其面积就是 b2； 正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是(a- b)2从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形 ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再 加上正方形HCGM的面积也就是：(a-b)2=a2- 2ab+b2这也正好符合完全平方公式 数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步 理解完全平方公式的结构特征现在，大家可以轻松 解开课时提出的老人用糖招待孩子的问题了 (a+b)2-(a2+b2) =a2+2ab+b2-a2-b2=2ab于是得孩 子们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果 总数多2ab块 例3 运用完全平方公
