《高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.3 三角函数的图象与性质知识导航学案 新人教B版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.3 三角函数的图象与性质知识导航学案 新人教B版必修4（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3三角函数的图象与性质知识梳理1.正弦函数的图象和性质(1)图象：如图1-3-1所示.图1-3-1(2)性质 定义域：R. 值域：-1，1. 当x=2k+(kZ)时，y取最大值1；当x=2k-(kZ)时，y取最小值-1. 周期性：周期函数，周期为2. 奇偶性：奇函数. 单调性：单调递增区间是2k-,2k+；单调递减区间是2k+,2k+(kZ).2.周期函数 一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，总有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的
2、正数，就称它为最小正周期.规定：在没有特殊说明的情况下，三角函数的周期均是指它的最小正周期.3.四种变换画图方法(1)振幅变换：对于函数y=Asinx(A0,A1)的图象，可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A1时)或缩短(当0A1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.(2)周期变换：对于函数y=sinx(0,1)的图象，可以看作是把y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短(当1时)或伸长(当01时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的.(3)相位变换：对于函数y=sin(x+),(0)的图象，可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当0时)或向右(当0时)平行移动|个单位
3、得到的.(4)平移变换：对于函数y=sinx+b的图象，可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向上(当b0时)或向下(当b0时)平行移动|b|个单位得到的.4.正弦型函数y=Asin(x+)+b(A0,0)的图象和性质(1)有关概念：在正弦型函数y=Asin(x+)中，A叫振幅，T=叫周期，f=叫频率，x+叫相位，叫初相.(2)正弦型函数的图象常见画法：五点法和变换法. 五点法步骤：列表(x+通常取0,2这五个值)；描点；连线. 变换法：(常用的变换步骤)(相位变换)先把y=sinx的图象上所有的点向左(当0时)或向右(当0时)平行移动|个单位，得函数y=sin(x+)的图象；(周期变换)再
4、把函数y=sin(x+)的图象上所有点的横坐标缩短(当1时)或伸长(当01时)到原来的倍(纵坐标不变)，得函数y=sin(x+)的图象；(振幅变换)再把函数y=sin(x+)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A1时)或缩短(当0A1时)到原来的A倍(横坐标不变)，得函数y=Asin(x+)的图象；(上下平移变换)再把函数y=Asin(x+)的图象上所有点向上(当b0时)或向下(当b0时)平行移动|b|个单位，得函数y=Asin(x+)+b的图象.(3)性质： 定义域：R. 值域：-A,A. 当x=(kZ)时，y取最大值A+b；当x=(kZ)时，y取最小值-A+b. 周期性：周期函数，周期为. 奇偶
5、性：当且仅当=k(kZ)且b=0时，函数y=Asin(x+)+b是奇函数，否则不是奇函数；当且仅当=k+(kZ)时，函数y=sin(x+)+b是偶函数. 单调性：单调递增区间是,(kZ)； 单调递减区间是,(kZ)5.余弦函数、正切函数的图象和性质y=cosxy=tanx图象定义域Rx|xk+,kZ值域-1,1当x=2k(kZ)时，y最大值为1R(无最大值，无最小值)当x=2k+(kZ)时，y最小值为-1周期性2奇偶性偶函数奇函数单调性在(2k-1),2k上是增函数；在2k,(2k+1)上是减函数(kZ)在(-+k,+k)上是增函数(kZ)6.用arccsinx,arccosx,arctanx
6、表示角 当sin=x，x-1,1,-,时，=arcsinx； 当cos=x，x-1,1,0,时，=arccosx； 当tan=x，xR,(-,)时，=arctanx.知识导学 学好本节有必要复习三角函数的定义和三角函数线，这是讨论三角函数性质、画三角函数图象的基础.在学习中，重视应用化归的数学思想，自觉地运用数形结合解决三角问题.疑难突破1.如何理解arcsinx、arccosx、arctanx？剖析:疑点是这三个符号到底是表达了什么，arcsinx=(arc)(sinx)吗？其突破方法是明确这三个符号是如何规定的.(1)根据正弦函数的图象及性质，为了使符合条件sinx=a(-1a1)的角x有
7、且只有一个，选择区间-,作为基本范围，在这个闭区间上符合条件sinx=a(-1a1)的角x，叫做实数a的反正弦，记作x=arcsina.因此arcsina,x-1,1表示在-,上正弦值为a的角，即arcsina-,，且sin(arcsina)=a,a-1,1.例如：arcsin表示在-,上正弦值为的一个角，由于在-,上正弦值为的角仅有，则arcsin=.(2)根据余弦函数的图象及性质，为了使符合条件cosx=a(-1a1)的角x有且只有一个，选择区间0,作为基本范围，在这个闭区间上符合条件cosx=a(-1a1)的角x，叫做实数a的反余弦，记作x=arccosa,即arccosa=x,a-1,
8、1，表示在0,上余弦值为a的角，即arccosa0,，且cos(arccosa)=a,a-1,1.例如：arccos(-)表示在0,上余弦值为-的一个角，由于在0,上余弦值为-的角仅有，则有arccos(-)=.(3)根据正切函数图象及性质，为了使符合条件tanx=a(aR)的角x有且只有一个，选择区间(-,)作为基本范围，在这个区间内，符合条件tanx=a(aR)的角x，叫做实数a的反正切，记作x=arctana，即arctanaR，表示在(-,)上，正切值为a的唯一角，即arctana(-,)，且tan(arctana)=a,aR.例如：arctan(-1)表示在(-,)上正切值为-1的一
9、个角，由于在(-,)上正切值为-1的角仅有-，则有arctan(-1)=-. 由此可见：arcsinx、arccosx、arctanx都是角；并且这些角都分别在特定范围内；它们的同名三角函数值等于x.arcsinx不能写成(arc)(sinx)，arccosx不能写成(arc)(cosx)，arctanx不能写成(arc)(tanx)，也就是这三个符号是一个整体，如果拆开，就没有什么意义了.2.由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到函数y=sin(x+)(0)的图象？剖析:由y=sinx的图象变换出y=sin(x+)的图象一般有两个途径. 途径一：先相位变换，再周期变换 先将y=sinx的
10、图象向左(0)或向右(0)平移个单位；再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得y=sin(x+)的图象. 途径二：先周期变换，再相位变换 先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)；再将得到的图象沿x轴向左(0)或向右(0)平移个单位，便得y=sin(x+)的图象. 疑点是这两种途径在平移变换中，为什么沿x轴平移的单位长度不同.其突破口是化归到由函数y=f(x)的图象经过怎样的变换得到函数y=f(x+)的图象.只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换. 若按途径一有：先将y=f(x)的图象向左(0)或向右(0)平移个单位，得函数y=f(x+)的图象；再将
11、函数y=f(x+)的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得y=f(x+)的图象. 若按途径二有：先将y=f(x)的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得函数y=f(x)的图象；再将函数y=f(x+)的图象上各点沿x轴向左(0)或向右(0)平移个单位，得y=f(x+)的图象. 若将y=f(x)的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍(0)，得函数y=f(x)的图象；再将函数y=f(x)的图象上各点沿x轴向左(0)或向右(0)平移|个单位，得到y=f(x+)的图象，即函数y=f(x+)的图象，而不是函数y=f(x+)的图象. 例如：由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到函数y=s
12、in(2x+)的图象？ 方法一：(先相位变换，再周期变换)先将y=sinx的图象向左平移个单位得函数y=sin(x+)；再将函数y=sin(x+)图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得y=sin(2x+)的图象. 方法二：(先周期变换，再相位变换)先将f(x)=sinx的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得函数f(2x)=sin2x的图象；再将函数f(2x)=sin2x的图象上各点沿x轴向左平移个单位，得f2(x+)=sin2(x+)的图象，即函数y=sin(2x+)的图象. 在方法二中，得到函数f(2x)=sin2x的图象后，如果把f(2x)=sin2x图象沿x轴向左平移个单
13、位，得f2(x+)=sin2(x+)的图象，即函数y=sin(2x+)的图象，而不是函数y=sin(2x+)的图象. 由以上可见，利用变换法作y=Asin(x+)的图象时，通常先进行相位变换，后进行周期变换，这样可避免出错.由于容易出错，因此是高考题和模拟题的热点之一.任务型阅读在江苏高考英语试题中占有较大比重,考题形式以表格形和树状形为主,文章体裁以议论文、说明文为主,文章篇幅往往较长,阅读量大,但结构清晰。该题型综合性很强,思维含量较高,答案既要忠实于原文,又要不局限于原文,原词填空题和词性、词形变换题在逐渐减少,通过归纳总结得出答案的题逐渐增多,另外还有推断作者意图和态度的考题,这必将增加该题型的难度,所以得分一直偏低5
