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1、第三章 自适应滤波器 1 前面讨论了Wiener滤波和Kalman滤波， Wiener滤波器的参数是固定的，仅适用于平稳随 机信号；Kalman滤波器参数是时变的，适用于非 平稳和平稳随机信号。要设计这两种滤波器，必 须对信号和噪声的统计特性有先验知识。在实际 中，常常无法预先知道这些统计特性，或者它们 是随时间变化的，从而不能用Wiener滤波方法实 现最优滤波。 2 自适应滤波器可以自动调节自身的参数，而在 设计时只需要很少的、或者根本不需要任何关于信 号和噪声的先验统计知识，这种滤波器的实现几乎 像Wiener滤波器那样简单，而性能几乎如Kalman滤 波器一样好。因此在信号和噪声的先验
2、知识不完全 知道的情况下，只有使用自适应滤波器才能得到优 越性能。 3 基于此，自从1967年B.Widrow等人提出自适应 滤波器以来，短短几十年间，自适应滤波器发展很 快，现已广泛应用于系统模型识别、通信信道的自 适应均衡、雷达与声纳的波束形成、心电图中的周 期干扰的减少或消除、噪声中信号的检测、跟踪、 增强及线性预测，电视接收机的自动增益控制、自 动频率微调。 4 原理 的求解 自适应滤波器的两个主要应用：对消和陷波 自适应滤波器的其他应用 本章安排 5 应用举例 自适应滤波器 的组成 自适应横向滤波器 自适应时域滤波 自适应格型滤波器 自适应空域滤波(自适应阵列) 最小二乘自适应滤波
3、可编程滤波器（滤波部分） 自适应算法（控制部分） 6 1.可以根据误差（或其他参数）的大小自动调整； 2.采用MMSE误差准则，最终解是Wiener解； 3.不需要任何关于信号和噪声的先验知识； 4.适用于非平稳随机过程。 自适应滤波器的特点 7 1.更新，权系数的更新公式 2.收敛及收敛速率 自我调节: 校正项； 误差大,调节量大；误差小,调节量小；误差足够小, 停止调节； 3.最佳滤波，收敛后的权向量应等于最佳权向量。 三大要求 8 通信信道的自适应均衡； 雷达与声纳的波束形成； 减少或消除心电图中的周期干扰； 噪声中信号的检测、跟踪、增强及线性预测。 应用 9 3.2 自适应横向滤波器
4、10 基本原理 11 FIR网络：理论上可以绝对收敛到最小； IIR网络：(全局最小点)不止一个；本课程不 涉及。 12 一、自适应线性组合 器和自适应FIR滤波器 13 输入为N个不同的信号源 14 同一信号源延时后的输出 15 1. 矩阵表示式 16 令 17 2. 最小均方误差和 最佳权系数 18 性能函数表面 19 令 20 输入信号自相关矩阵的 特征值及其性质 21 1.R的所有特征值是实的,并且大于等于零； 2.对于不同特征值的特征向量相互正交； 3.特征向量矩阵Q 可以归一化（正交化）， 并满足 22 性能函数是权系数的二次函数，存在极小 值，如果信号是平稳的，并具有不变的统计特
5、 性，则性能函数的形状将保持不变，并且在它 的坐标系中保持固定。自适应过程将从性能表 面的某点出发，向下运动至最小点附近，最后 停在那儿。 23 如果信号是非平稳的，并具有慢变化的统 计特性，可将性能表面视为”模糊的”或起伏的 ，或在其坐标系中移动，这样自适应过程不仅 要向下移动至最小点，而且当性能表面移动时 ，还要跟踪它的最小点。 24 令 基于梯度法使性能函数到达它的最小点。 25 误差信号与输入信号正交，Wiener解。 26 自适应横向滤波器的简化符号: 27 ex: 一个单输入二维权向量的自适应滤波器,输入 信号 和期望信号 分别为: 求自适应滤波器的最佳权向量和 28 其中 ， 2
6、9 30 31 32 代入 33 二性能函数的 表示式及其几何 意义 34 35 令 是实对称矩阵 36 其中 是单位正交矩阵 是由 的特征值所构成的对角阵 37 将式代入式 其中 38 三、最陡下降法 39 40 自适应过程是连续地调节 ，去寻求碗的底部 ：调整步长的常数，它控制系统的稳定性和自 适应的收敛速度。 41 1.递推公式 42 式两边同时减去 令 则 43 将 正交分解 式两边同时乘以 得 44 设初始状态为 ，将式反复迭代 45 2、收敛条件 当迭代次数 时，只有 才能满足收敛 46 47 3、过渡过程 48 权向量的过渡过程 第 i 个方程 令 49 当 取值很小时 50 5
7、1 52 性能函数的过渡过程 53 四、LMS算法 54 1、权值计算 55 用FIR滤波器实现，第j个权系数的计算公式 梯度估计值是无偏的，梯度的估计量在理想梯 度 附近随机变化，权系数也在理想情况下的权 轨迹附近随机变化。 56 2、LMS算法加权向量的过渡过程 点积满足交换律 若认为 与 不相关 , 与 不相关 关联性很小 需要经过若干步 57 58 同理 59 60 横向滤波器， 61 通常取 第i个分量 62 3、LMS算法性能函数的过渡过程 式子加上并减去 63 设 与 不相关， 变化很小， 64 同理， 65 4、稳态误差和失调系数 66 失调系数 : 滤波器的阶数 ：输入信号功
8、率 ：控制步长因子 提高收敛速度，失调系数要增加，因此要求适中 67 书中图：N=5 输入为：信号+白噪声 一条样本学习曲线 150条个别曲线平均 68 六、 LMS自适 应 滤波时域 69 1. Widrow Hoff LMS算法 70 将原型滤波器（长度为N）分解成长度为 的两个子滤波器。自适应算法分别应用于两个子 滤波器，在保证算法收敛的基础上，该算法的步 长因子的范围要比普通的LMS算法大，而BLMS 算法的步长因子的范围比普通的LMS算法小。 2. 并行 LMS算法.BLMS算法. 71 减小步长因子可以减小自适应滤波的稳态失调 噪声。提高算法的收敛精度。然而步长因子的减小 将降低算
9、法的收敛速度和跟踪速度。因此固定步长 的自适应算法在收敛速度，时变系统跟踪速度与收 敛精度方面对算法调整步长因子的要求是相互矛盾 的。为了克服这个矛盾，人们提出了许多变步长自 适应滤波算法。 3. 变步长LMS算法 72 1.步长因子随迭代次数N的增加而逐渐减小。 2.步长因子正比于误差信号 的大小。 3.在初始时间段或未知系统参数发生变化时，步 长应比较大，以便有较快的收敛速度和对时变 系统的跟踪速度；而在算法收敛后，不管主输 入端干扰信号有多大，都应保持很小的调整步 长。以达到很小的稳态失调噪声。 73 变换域的自适应 LMS滤波器 74 思想：将输入向量 这里 具有较小的动态谱范围。 用
10、复域LMS算法递推的修正变换域权向量。 75 为自适应步长。 为 对角阵。其第 个元素等于 的功率 估计 。 为控制自适应步长。功能上等价于将角变换分量的功 率在加权前规范化（归一化）为。这于对输入信号预自化 ，减小特征值分散度具有相同的作用。从而使得权向量更快 的收敛。 76 当输入的自相关矩阵 正定时，矩阵 的逆 存在。 的收敛速度取决于特征值的 分散度。 优点： 通过对输入信号进行某种形式的正交变换， 可以减小输入自相关矩阵特征值的分散度， 从而得到比时域算法 更好的收敛性能。 DFT，DCT域滤波是广泛应用的变换域自适 应滤波方式。 77 小波变换域中的 自适应滤波 78 对于输入信号
11、的时变特征，正弦的加权和(DFT 或 DCT)形式往往不能很好的重现。 这一问题可以通过离散小波变换(DWT)得到解 决。在DWT中，信号通过一个小波的膨胀和平移 的加权和重构，在时域空间同时具有局部化特征， 而且分辨分 析提供了构造 空间的小波正交 基的方法。 79 这些小波基可根据不同的尺度参数归类 于互不相交的子集，以生成合适的正交子空 间。从而能在不同分辨水平上重现信号。 小波变换用于自适应滤波类似于DFT 域的自适应滤波。但却具有所有小波分析优 于Fourier分析的优点。 80 变换域自适应滤波比时域TDL滤波器具 有较快的收敛速率，而DWT域自适应滤波的 收敛性能最好，因此DWT域自适应滤波方法 具有广阔的应用前景，是未来自适应滤波发 展的方向。 81 1.不同形式的小波滤波器的滤波效果的研究。 2.DWT自适应滤波器在时变信号滤波方面的 应用方法研究。 研究课题 82 3.目前大多数DWT域LMS算法都是基于DWT域自 相关矩阵是近似对角的假设，而这一假设一般很 难满足。因此这些算法的性能与基于近似对角化 自相关矩阵的其他变换域LMS算法性能相似。为 了获得更好的收敛性能。必须突破这一添设研究 更具鲁棒性的DWT域自适应滤波算法。 研究课题 83
