几何图形的计数.

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1、 在数学竞赛试题和中考中，经常出现一些几何计数问题，所谓几何计数是指 计算满足一定条件的图形的个数它的内容比较新颖有趣，为了准确计数， 必须要有一套计数的方法，否则越数头绪越杂乱，很难得出准确的结果 本讲将较系统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法 学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法，更重要的是使我们 感受到数学中的一些重要思想的运用，如数形结合思想、分类讨论思想和转 化的思想，分类讨论思想在这里尤其突出，我们所使用的所有计数方法都离 不开分类 下面让我们通过例题研究和熟悉几何计数的方法吧！ AB、 例1 数线段时，可以线段的左端点进行分类，逐类分别数出线段条数后相加 AC、AD

2、、AE、AF 共5条 BC、BD、BE、BF共4条 CD、CE、CF共3条 DE、DF共2条 EF共1条 合计有5+4+3+2+1=15（条） （一）数 线 段 基础训练 1 共有6(6+1)2=21（条） 注意：这里涉及到数学中很重要的思想方法 分类的思想方法。在几何计数中怎样分 类？本例所介绍的是方法（1）：按照包含 同一图形进行分类；（2）先划分出基本图 形，再按照包含基本图形的数目分类 你是怎样数的？ 如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么 这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+2+1= . AB 、BC 、 CD 、 DE 、

3、EF; AC 、 BD 、 CE 、 DF；AD 、 BE 、 CF；AE 、 BF；AF共16条 （二）数 角 例2 B A C D E O 数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边 以OA为一条边的角有： AOBAOCAODAOE共4个 同样还有： BOC，BOD，BOE共3个 COD ，COE共2个 DOE共1个 合计有4+3+2+1=10（个） （三）数三角形可用数线段的方法数如图所示的三角形（对应法） 因为DE上有15条线段，每条线段的两端点 与点A相连，可构成一个三角形，共有15个 三角形，同样一边在BC上的三角形也有15 个，所以图中共有30个三角形。 上面我们采用的方

4、法是分类法 这里采用的方法是“对应法”，这也是计数中常 用的方法，这种方法实际上是数学的另一思想 转化思想的运用 使用对应法时，总是在原图形中（有时需添加 辅助线）找出它的某一部分作对应图形 本题的解决，既有分类法又有对应法 B A C D E O A1 B1 C1 D1 E1 4(4+1)2 =10 4个基本角的和=90；两个相邻基本角组成的3个角的和 =90+45=135； 三个相邻基本角组成的2个角的和=135；4个相邻基本 角组成的1个角=90，所以所有角的和 =90+135+135+90=450 B A C D E O 顶点为O，且 一边在AB上的三角形有342=6（个）； 一边在B

5、C上的三角形有452=10（个）； 一边在AC上的三角形有 342=6（个）， 再加ABC，所以共有23个三角形 基础训练5 下图中共有 个三角形 A BC O （四）数长方形、平行四边形和正方形 AM与EB对应着长方形EPNB, AM与GB对应着长方形GQNB. 就是说AM与AB边的6条线段都分别对应着一个长方形，共6个长方形 AD边上共有3条线段，其余两条线段AD和MD也都分别对应着6个长方形， 所以共有36=18个长方形 A BC D EF G H Q P M N 图中共有-个长方形 一般的，类似于这样的长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段， 纵边上共有m条线段，则图中共有长方形

6、（平行四边形）mn个 线段AM与AE对应着长方形AMPE， AM与AG对应着长方形AMQG， AM与AB对应着长方形AMNB， AM与EG对应着长方形EPQG, 例4 横边上有8(8+1)2=36条线段，纵边上有7(7+1)2=28条线段， 所以共有3628=1008个平行四边形 例6 （雨露招生试题）如图，图中平行四边形的个数为 思考：能否像例4那样数平行四边形？ 可以将图形分割成几部分，使每一部分都像例4那样的图形 但分割的块数越少越好 思考：原图中平行四边形的个数是否等于60？ 假设分为如下图所示的两块，那么每块中的 平行四边形的个数都是 思考：如最右侧的图形中也有30个平行四边形， 那

7、么原图中平行四边形的个数是否是330=90？ 不是90，还应减去如下图所示的两个“田字格”中的各9个平行四边形，因为这18个 平行四边形已经包含在前60个之中 所以，原图形中平行四边形的个数是9018=72 注意：在使用分类计数法时，一定要注意是否有遗漏或重复计数的！ 例5 如左、中、右三图，各包含多少个正方形？ 为便于叙述，我们设一个小正方形的边长为1，那么 左图中边长为1的正方形的个数是 32=6 边长为2的正方形的个数是21=2 所以左图中共有正方形 32+21=8（个） 中图中边长为1的正方形的个数是43=12 边长为2的正方形的个数是32=6 边长为3的正方形的个数是21=2 所以中

8、图中共有正方形 43+32+21=20（个） 右图中边长为1的正方形的个数是64=24 边长为2的正方形的个数是53=15 边长为3的正方形的个数是42=8 边长为4的正方形的个数是31=3 所以中图中共有正方形 64+54+42+31=50（个） 如果一横行有m个小正方形，一竖行有n个（假设mn）小正方形， 那么图中正方形的个数是mn+(m1)(n1)+(mn+1)(nn+1) 这里所采用的方法是分类 法中的另一种，是： （3）按照图形的大小分类 例7 A B C K D E F G H L 第1类：与三角形ABE形状有某些相似的三角形有个 你打算怎样数图中的三角形？ 5 第2类：与三角形A

9、BF形状有某些相似的三角形有个 5 第3类：与三角形ABG形状有某些相似的三角形有个 10 第4类：与三角形ACD形状有某些相似的三角形有个 5 第5类：与三角形AFL形状有某些相似的三角形有个 5 5 第6类：与三角形AGD形状有某些相似的三角形有个 所以图中的三角形共有35个 这里所采用的方法是分类法中的另一种，是： （4）按照图形的形状分类 也可以说是 （5）按照图形所处的位置分类 例8（华罗庚金杯竞赛题）下图中有 个正方形，有 个三角形 能否将图中的正方形分类，按照不同类型分别数 出其中的正方形个数？ 66+55+44+33+22+11=91 除上一类为，还有 个正方形 4 共有95个

10、正方形 这里所使用的方法是分类法中的（4）按照图形的形状分类 662=72个直角边长为1的三角形有 1-2行 2-3行3-4行4-5行 5-6行 直角边长为2的三角形 8个,6个, 2个, 8个, 6个,共30个 4个, 2个直角边长为3的三角形 1-2行3-5行4-6行 4个,共10个 思考：还有漏数的三角形吗？ 各4个,共12个 3个 1个 斜边长为2的三角形1-3行第4行 第5行第6行 4个，共计20个 1-6列依次3+3+3+2+3+3=17（个） 思考：还有漏数的三角形吗？ 思考：还有漏数的三角形吗？斜边长为4的三角形 直角边长为4的三角形 3-6行2个 所以图中的三角形共计72+3

11、0+10+2+20+17+4=155（个） 这里用了分类法中的（3）按照图形的大小分类（之后又按图形所处位置分类） 1-4行1个 ,2-5行2个， 4-5行1个，共4个 分为两类，一类是有一组对边在水平方向的正 方形，如左图 这类正方形的个数是 课后反思总结 计数方法： 1分类计数法 （1）按照包含同一图形分类； （2）按照图形所包含的“基本图形”的个数分类。 （3）按照图形的大小分类； （4）按照图形的形状分类； （5）按照图形所处的位置分类 2对应计数法 几个计算公式： 1线段、角的计数公式： 2长方形、平行四边形的计数公式：横边上共有n条线段， 纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行

12、四边形）mn个 3正方形的计数公式：如果一横行有m个小正方形，一竖行有n个（假 设mn）小正方形，那么图中正方形的个数是 mn+(m1)(n1)+(mn+1)(nn+1) = mn+(m1)(n1)+(mn+1)1 问题解答在 成就测试答案 13+2+1=6，A1OA4 26+5+4+3+2+1=21 441+32+23+14=20 5 BC D EF A 经过AB到F的有种爬法3 经过AE到F的有种爬法 3 经过AD到F的有种爬法 所以共9种爬法 3 6如图，图中的长方体和正方体共有多少个？ 说出你是怎样数的 B C DE FG A 与数长方形和正方形的方法类似 长方体有个 (3+2+1)(

13、2+1)(2+1)=54 正方体有个322+211=14 7如图，图中的三角形共有多少个？请把它们都用记号表示出来 M BC D E F G N A (1)一边在AB上的三角形有 ABC, ABE,ABN,ABF, ADM,ADC,BDG,BDC (2)一边在BC上而另一边 不在AB上的三角形有 BCA, BCD,BCF,BCG, BEA,BEN,ECA,ECM (3)一边在CA上而另一边既 不在AB上也不在BC上的三角形有 CAB, CAD, CAE,CAM, CFB , CFG, AFB, AFN (4)三边不在AB、BC、CA上的有MNG 所以图中的三角形共有8+5+3+1=17个 共计

14、8+5+3=16个吗？ 3(4+3+2+1)（4+3+3+1）=100 图中共有直线6条，设为a, b,c,d,e,f, 每3条一组，列表如下 abc abd abe abf acd ace acf ade adf aef 计10组 b f c e d abcd bce bcf bde bdf bef 计6组 cde cdf cef计3组 def 计1组 这里采用的是对应法，但是也要注意计数中是否有遗漏或重复 def 计1组 ，合计10+6+3+1=20组 但是经过同一点的三条直线不能围成三角形， 所以图中的三角形共有203=17（个） 提高训练3图中共有多少个三角形？ 显然三角形可分为尖向上

15、与尖向下两大类，两类中三 角形的个数相等尖向上的三角形又可分为6类（1 ）最大的三角形1个(即ABC)， （2）第二大的三角形有 1+2=3（个） （3）第三大的三角形有 1+2+3=6（个） （4）第四大的三角形有 1+2+3+4=10（个） （5）第五大的三角形有 1+2+3+4+5=15（个） （6）最小的三角形有1+2+3+4+5+6+3=24（个）最后加的3个是哪3个？ 所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（个） 图中共有三角形259=118（个） 提高训练4 在88的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如 图），一共有多少种不同的方法？ 注意：数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法 第1步：找对应图形 每一种取法，有一个点与之对应，这 就是图中的A点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在 棋盘边上。 第2步：明确对应关系 从下图可以看出，棋盘内的每一 个点对应着4个不同的取法（“L”形的“角”在22正方形的 不同“角”上）。 第4步：按照对应关系，给出答案故不同的取法共有494=196（种）。 第3步：计算对应