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3、2 0 3 ) ，3 p 3 0 3 且3f ( P 一1 ) ) ；3 3 p ( p 3 且 3 十一1 ) ) ；P q 2 ( g 3 ) ；助9 2 ( g 2 ) ； 3 p 2 3 ) ，3 p 3 ( p 3a n d3 十p 一1 ) ) ；3 3 p ( p 3a n d3t0 1 ) ) ；p q 2 ( 2 q 2 ) ； 2 3 p 2 ( p 3 ) ；2 p q 2 ( 2 3 ) ，3 p 3 ( p 3 且3f0 1 ) ) ；3 a p ( p 3 且 3 十( p 一1 ) ) ；P q 2 ( g 3 ) ；2 p q 2 ( g 3 ) 的有限群，则当
4、p 兰l ( m o d4 ) 时，G 有以下G ( 1 ) 一G ( 1 6 ) 十六种类型，当p 三一1 ( r o o d4 ) 时，G 有以下G ( 1 ) ，G ( 2 ) ，G ( 4 ) ， G ( 5 ) ，G ( 6 ) ，G ( 7 ) ，G ( 8 ) ，G ( 9 ) ，G ( 1 0 ) ，G ( 1 1 ) ，G ( 1 3 ) ，G ( 1 4 ) 十二种类型。 G ( 1 ) G ( 2 ) G ( 3 ) G ( 4 ) G ( 5 ) G ( 6 ) G ( 7 ) G ( 8 ) G ( 9 ) G ( 1 0 ) C 3 ( n ) G ( 1 2 )
5、G ( 1 3 ) ( nl l ( Q ，b ( 口，b ( 口，b ， ( 口，b ， ( n ，b ， c ) i l 妇。= 1 ) ； t P 2 = 6 4 = 1 ，o , b = o 一1 ) i， o p 2 = 6 4 = 1 ，n 6 = 矿且7 - 2 三一l ( m o dp 2 ) ) j cI 扩= 6 2 = c 2 = 1 ，n 6 = n ，o c = n ，6 c = 6 ) j cI 扩2 = 6 2 = c 2 = 1 ，口6 = n ，n c = 0 , - 1 ，b c = 6 ) ； c ，9l a p = b 1 , = c 229 2 = 1
6、 ，r L 6 = 口，a 。= n ，b 。= b ，口9 = 口，矽= b ，c g o ，b ，c ，9l 口p = 6 p = c 2 = 9 2 = 1 ，0 6 = o ，n c = n ，泸= b ，驴= 口，b g = b ，c g = c ) ； ( 口，b ，c ，9a p = b r , = c 2 = 9 2 = 1 ，O , b = 0 1 , ，O , e = 口，b 。= b ，0 , 9 = b ，护 c ) ； ( n ，b ，c ，9a p = 6 p = c 2 = 9 2 = 1 ，Q , b = Q ，口。= o ，b c = b ，扩 o ，矽= c
7、 ) ； = ( n ，b ，c = ( n 扣，C = ( 口，b ，c = ( 0 ，b ，c 矿= 垆= c 4 = 0 p = 6 p = c 4 = 0 p = 6 p = C 4 = n p = 6 p = c 4 = 1 矿 1 扩 1 口6 1 - n 6 口，Q e = 口，6 c = 6 ) j 1 7 , ，口。= n ，b C = b - a ) ； 1 7 1 , ，n c = 口，6 c = 6 r ，7 2 兰 口，Q , e = b ，b c = a ) ； 口c g2 b b g = 一l ( m o dp ) ) ； 9 1 0 山西师范大学学位论文 G (
8、 x 4 ) = ( 1 2 ，b ，ca p = 护= c 4 = 1 ，0 6 = a ，o 。= b - l , b 。= n ) j G ( 1 5 ) = ( n ，b ，Ca p = 6 p = C 4 = l ；O b = f t ，口。= ( a b ) 7 ，b 。= ( a - l b ) ，( 2 r + 1 ) 2 兰 一1 ( r o o dp ) ) i G ( 1 8 ) = ( o ，b ，c ，9j0 p = 6 p = C 4 = 1 ，口6 = 口，o 。= ( 0 6 ) ，b 。= ( a b 一1 ) 7 ，( 2 ， + 1 ) 2 三 一l (
9、m o dp ) ) j 引理2 1 6 【2 8 】设G 为阶为3 3 p ( p 为奇素数，且P 3 ，3 十P 一1 ) 的有限群，J i l l ，G 有 以下五种类型t G ( 1 ) = ( oln 3 3 p = 1 ) ； G ( 2 ) = ( a ，b ，C0 3 = b 9 = 矿= 1 ，0 6 = o 。= 6 c = 1 ) j G ( 3 ) = ( a ，bI 口3 。p = b 3 = 1 ，0 6 = a 3 p + I ) ； G ( 4 ) = ( a ，b ，c ，dl0 3 = b 3 = c 3 = 扩= 1 ，a 6 = Q ，Q 。= a ，b
10、 。= b ，n d = o ，d C = d ，6 d = 6 ) j G ( 5 ) = ( o ，b ，c ，9I 口3 = b 3 = c p = 9 3 = 1 ，a 6 = n ，o c = o ，b 。= 6 ，a 9 = b ，b 9 ： n 2 6 2 ，c g = c ) j 引理2 1 7 【1 7 设G 为阶为3 p 3 为奇素数，且p 3 ，3f P 一1 ) 的有限群，则，G 有 以下七种类型。 G ( 1 ) = ( no 矽= 1 ) i G ( 2 ) = ( n ，6 ，cI 扩= 护= c 3 = 1 ，( o ，6 ) = ( c ，o ) = ( c
11、，6 ) = 1 ) j G ( 3 ) = ( n ，b ，C ，da p = 垆= c p = d 3 = 1 ，( a ，b ) = ( c ，a ) = ( c ，b ) = ( a ，d ) = ( c ，d ) = ( d ，b ) = 1 ) i G ( 4 ) = ( n ，b ，c ，dIa p = 6 p = 矽= d a = 1 ，( n ，6 ) = ( c ，Q ) = ( n ，d ) = 1 ，( b ，c ) = o ，6 d = b - a c ，c d = b - 1 ) ； G ( 5 ) = ( 口，b ，c ，dI 扩= 6 p = c 3 = 1 ，
12、c ，Q ) = ( c ，b ) = 1 ，0 6 = 0 1 + p ，) i G ( 6 ) = n ，b ，c ，d 0 p = 6 p = c p = d 3 = 1 ，( o ，6 ) = ( c ，o ) = ( o ，d ) = ( c ，d ) = ( d ，6 ) = 1 ，( b ，c ) = o ) i G ( 7 ) = ( Q ，b ，c ，dn p = 6 P = c p = d 3 = 1 ，( 口 6 ) = ( c ，口) = ( c ，b ) = ( n ，d ) = 1 ，b d = b - X c ，c d = b - 1 ) j 引理2 1 8 【2
13、 5 ，设G 为阶为p 3 0 为奇素数且p 3 ) 非交换群，则G 是下列群之一； G ( 1 ) = ( o ，6l 扩= 1 ，6 P = 1 ，驴= 0 1 + p ) ； 预备知识 G ( 2 ) = ( a ，b ，cla p = b p = 护= 1 ，( a ，b ) = c ，( a ，c ) = ( b ，c ) = 1 ) ； 且 I A u t G 0 ) I = p 3 p 1 ) ； I A u t G ( 2 ) l = p 3 ( p 一1 ) 0 2 1 ) ； 引理2 1 9 ( 【2 2 】，1 8 页) 设G 1 ，G 。是有限群G 的正规子群，且G =
14、 ( G 1 ，G 。) 若对任意的i J ，( I G , I ，l G j l ) = 1 ，则 ( 1 ) G = G 1 G 。； ( 2 ) A u t ( G ) = A u t ( G 1 ) A u t ( G 。) ； 引理2 2 0 1 1 若G 是舭阶亚循环群，( m ，n ) = 1 ，且z ( c ) = 1 ，则I A u t ( G ) l = m ( m 一1 ) 1 1 1 2 一坐亘堕堇盔堂堂笪笙塞 3 某些可解群的外自同构群的阶 定理3 1 设G ( t ) ( i = 1 ，2 ，5 ) 是引理2 9 中的群，则：l O u t ( G ) l P (
15、P 1 ) 证明下面我们一一验证引理2 9 中的群 对于群G ( 1 ) 与于群G ( 2 ) ，由于它们都是交换群，故I Z ( G O I = I z ( G 2 ) I = 2 矿；从 而l O u t ( G 0 ) ) l = 世晋型= p 一1 ) ； I O u t ( G ( 2 ) ) l = p 一1 ) 一1 ) ； 对于群G ( 3 ) ，设V a 护z ( G ( 3 ) ) ，0 i 矿一1 ，J = 0 ，1 由n 口。护= n ，得J = o ；由 6 0 t 护：b ，得i ：0 故I z ( G ( 3 ) ) 1 ：1 从而I O u t ( G ( 3
16、) ) 1 = 坠坐苇掣= 出三笋出； 对于群G ( 4 ) ，设V 护c 七z ( G ( 4 ) ) ，0Si ，歹P 一1 ，0 k 1 由c 矿护矿= c ， 得i = 歹= o ；由口口l = a ，得k = 0 故l z ( G ( 4 ) ) I = 1 从而I O u t ( G ( 4 ) ) I = 燮铲= p ( y 2 - 1 2 ) ( p - 1 ) ， 对于群G ( 5 ) ，由于a z ( v 5 ) 而D ( o ) = P ，则l z ( G ( 5 ) ) l P ，又因为中心不能是极大 子群且G ( 5 ) 非交换，故I Z ( G ( 5 ) ) I = p 从而I O u t ( G ( 5 ) ) I = 坐坐谁掣= p ( p 一1 ) 2
