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1、第10章差错控制学习要求1.理解差错控制的基本概念及其原理等；2.掌握信道编码的基本原理；3.了解常用检错码的特性；4.掌握线性分组码的一般特性；5.掌握汉明码以及循环码的编译码及其实现原理；6.掌握卷积码的编译码基本原理。10.1差错控制的基本概念及原理1.差错分类10.1.1差错控制的基本概念随机差错：又称独立差错，它是指那些独立地、稀疏地和互不相关地发生的差错。突发差错：是指一串串，甚至成片出现的差错，差错之间有相关性。目的：提高通信系统的可靠性噪声分类：随机噪声和脉冲噪声。误码产生原因：信道不理想造成的符号间干扰；噪声对信号的干扰。2.错误图样E中，“0”表示正确，“1”表示错误随机错
2、误错误图样错误图样突发错误错误图样2.差错控制的基本思路发送端：将被传送的信息码（无规律）按照一定的规则加入监督码元后进行传输，加入的监督码元与信息码元存在某种确定的约束关系。接收端：检验信息码元与监督码元之间的既定的约束关系，如关系被破坏，则传输中有错。差错控制也称纠错编码，信道编码。信息码(k)+监督码(r)=码组(n)信息码元(k)+监督码元(r)=码组(n)3.差错控制方式（1）检错重发（ARQ）优缺点所需的监督码位数少，编码效率比较高；译码设备较简单；接收端检测到差错后，要通过反向信道发回NAK，要求发端重发，所以需要反向信道，实时性差ARQ有3种重发方式，即停发等候重发，返回重发和
3、选择重发。a）停发等候重发b）返回重发c）选择重发（2）前向纠错（FEC）优缺点不需要反向信道，自动纠错，不要求重发，因而实时性好；缺点是所选择的纠错码必须与信道的错码特性密切配合，否则很难达到降低错码率的要求；要纠正较多的错码，译码设备复杂，且要求附加的监督码较多，编码效率低。（3）混合纠错检错（HEC）是ARQ和FEC方式的折衷方案优缺点集合了ARQ和FEC的优点，在保证系统较高的有效性的同时大幅度提高了整个系统的可靠性，但需要反向信道。（4）信息反馈（IRQ）数据信息数据信息（d）信息反馈优缺点优点是不需要纠错、检错，设备简单；缺点是需要和前向信道相同的反向信道，实时性差，且发送端需要一
4、定容量的存储器。10.1.2差错控制的基本原理1.差错控制的原理AABB00001111001101011010准用准用码组码组禁用禁用码组码组无检错能力无检错能力无纠错能力无纠错能力可检测可检测11位错码位错码信息位信息位11无监督位无监督位信息位信息位11监督位监督位1110.1.2差错控制的基本原理（续）1.差错控制的原理（续）AABB000000111111000011010010101000011101110011101110准用准用码组码组禁用禁用码组码组可检测可检测11到到22位错码，或纠位错码，或纠11位错码位错码要想具有检错和纠错能力，必须有禁用码组。禁用码组的获得方法：加监
5、督位。信息位信息位11监督位监督位22码长：码组或码字中编码的总位数为码组的长度。2.汉明距离与检错和纠错能力的关系（1）几个概念码重：码组中非零码元的数目为码组的重量。例如“11010”的码长为5，码重为3。码距：两个等长码组中对应码位上具有不同二进制码的数目称为码距。例如：码组111010码组201101码距：码距：dd00=4=4汉明距离（最小码距）：ddminmin在一种编码中，任意两个许用码组间距离的最小值。000000000011010010101000111011101110111011101110ddminmin=1=1（2）汉明距离和检错和纠错能力的关系a)为了检测e位错码，
6、要求最小码距b)为了纠正t位错码，要求最小码距c)为了纠正t位错码，同时检测e(et)位错码，要求最小码距3.纠错编码的分类(1)按码组的功能分，有检错码和纠错码两类。(2)按码组中监督码元与信息码元之间的关系分，有线性码和非线性码两类。(3)按照信息码元与监督码元的约束关系，可分为分组码和卷积码。(4)按照信息码元在编码前后是否保持原来的形式不变，可分为系统码和非系统码。(5)按纠正差错的类型可分为纠正随机错误的码和纠正突发错误的码。(6)按照每个码元取值来分，可分为二进制码与多进制码。10.2.1奇偶监督码10.2简单的差错控制编码特点：只有一个监督位。偶监督：码组中“1”的个数为偶数。信
7、息位监督位奇监督：码组中“1”的个数为奇数。只能检出奇数位错码。10.2.2水平奇偶监督码思想方法：将信息码序列按行排成方阵，每行后面加一个奇或偶监督码，即每行为一个奇（偶）监督码组，但发送时则按列的顺序传输：11101110011000010101，接收端仍将码元排成与发送端一样的方阵形式，然后按行进行奇偶校验。信息码码元监监督码码元1110011000110100110110000111010001000010110011101110101水平偶监督码可以检出奇数位错误和长度不大于方阵中行数的突发错误。10.2.3二维奇偶监督码（水平垂直奇偶监督码）思想方法：在水平监督基础上对方阵中的每一
8、列再进行奇偶校验。发送时按行或按列的顺序传输，接收端重新将码元排成与发送时的方阵形式，然后每行、每列都进行奇偶校验。二维偶监督码信息码码元监监督码码元1110011000110100110110000111010001000010110011101110101监监督码码元01101100011可以纠1位错码；可以检出某行或某列上的奇数位错码和长度不大于方阵中行数(列数)的突发错码；可以检出一部分偶数位错码；不能检出错码恰好分布在矩阵4个顶点上的偶数位错码。10.3汉明码及线性分组码汉明码特点可以纠正一位错码，且d0=310.3.1汉明码1.码长和监督位的关系：若使用偶监督：只有一位监督位接收端
9、译码时，实际上就是计算：若无错；有错。1位监督位，有1个校正子。只能表示有错和无错，不能指示错码位置。码长和监督位的关系2位监督位，就有2个监督关系式，也有2个校正子。无错指示错码位置（nk）汉明码，监督位r=n-k，可构造出r个监督关系式来指示一位错码的n种可能位置，要求1.（74）汉明码a6a5a4a3：信息码元；a2a1a0：监督码元信息码元与监督码元的关系：表10.3.1（74）汉明码的许用码组P322假设发送端的码字是A15=1111111，传输过程中第4位a3出现了错误，即接收的码字是B=1110111不是许用码组。信息码a6a5a4a3码组Aa6a5a4a3a2a1a0信息码a6
10、a5a4a3码组Aa6a5a4a3a2a1a0000000010010001101000101011001110000000000101100101010011110010011001011010110011011100010001001101010111100110111101111100011110011001010010101100111000011101010111010011111111.（74）汉明码s1s2s3错码错码位置000无错001a0010a1100a2011a3101a4110a5111a6校正子与错码位置的关系有3个校正子例10-1接收端收到某（74）汉明码为1001
11、010，问：此（74）汉明码是否有错？错码位置如何？计算校正子得校正子为110，码组有错。正确码组：11010102）（74）汉明码的产生由监督关系式：移项，解出监督位：解决问题：由信息位计算监督位例10-2已知信息码为1101，求所对应的（74）汉明码。计算监督位汉明码码组：11010103）编码效率（74）汉明码的编码效率：10.3.2线性分组码线性码：监督码元与信息码元之间满足一组线性方程。分组码：监督码元仅对本码组中的码元起监督作用。1.监督矩阵以（74）汉明码为例简写为+线性分组码：既是线性码又是分组码。写成矩阵形式简写为其中：监督位信息位监督位与信息位的关系（矩阵表示）2.生成矩阵
12、用途：由信息位和生成矩阵可得出整个码组。生成矩阵：以（74）汉明码为例如（74）汉明码表中的第3个码组P322信息码a6a5a4a3码组Aa6a5a4a3a2a1a0信息码a6a5a4a3码组Aa6a5a4a3a2a1a000000001001000110100010101100111000000000010110010101001111001001100101101011001101110001000100110101011110011011110111110001111001100101001010110011100001110101011101001111111求整个码组注意：生成矩阵G
13、各行本身就是一个码组。加例题！二元域上只有两种运算：加和乘。运算规则如下：加乘3.监督矩阵和生成矩阵的关系例10-3（课后练习）某（74）线性分组码，监督方程如下，求监督矩阵H和典型的生成矩阵G。如信息码为0010，求整个码组。监督方程改写为得监督矩阵：典型生成矩阵：如信息码为0010，则整个码组为4.线性分组码的主要性质(1)封闭性是指一种线性分组码中的任意两个码组之逐位模2和仍为这种码中的另一个许用码组。(2)码的最小距离等于非零码的最小重量。5.线性分组码的纠错能力10.4循环码循环码是一种线性分组码。10.4.1循环码的循环特性表10.4.1（73）循环码的一种码组P328码组编码组编
14、号信息位监监督位码组编码组编号信息位监监督位a6a5a4a3a2a1a0a6a5a4a3a2a1a01000000051001011200101116101110030101110711001014011100181110010循环码的循环特性是指在循环码中任一许用码组经过循环移位后所得到的码组仍为它的一个许用码组。第2码组右移1位得到第5码组；第5码组右移1位得到第7码组。2.码多项式的表示及运算规则例如，码组为则码多项式为：码多项式的运算：加、减、乘、除运算1）码多项式的加法运算：同幂次相加，系数进行异或运算2）码多项式的减法运算：同加法运算码组为则码多项式为：ABC00001110111
15、03）异或运算（逻辑加和逻辑减）的真值表4）码多项式的乘法运算：服从一般的代数规律5）码多项式的除法运算：服从一般的代数规律6）码多项式的除法运算简化表示例如上式还可表示为10.4.2循环码的生成多项式和生成矩阵1.生成多项式g(x)生成多项式的寻找方法：（nk）循环码的个码组中，有一个码组前k-1位码元均为0，第k位码元为1，最后一位为1，此码组对应的多项式为生成多项式。例10-5求表10.4.1所示的（73）循环码的生成多项式。码组编码组编号信息位监监督位码组编码组编号信息位监监督位a6a5a4a3a2a1a0a6a5a4a3a2a1a010000000510010112001011161
16、011100301011107110010140111001811100102.生成矩阵G典型的生成矩阵通过线性变换可将非典型的生成矩阵转换为典型的生成矩阵单位方阵例10-5（续）求表10-6所示的（73）循环码的典型生成矩阵G。生成矩阵多项式生成矩阵3.生成多项式的另一种求法（nk）循环码的生成多项式是的一个（n-k）次因式。例求（73）循环码的生成多项式。生成多项式有两个：表10.4.1循环码用生成多项式不同，产生出的循环码码组也不同。10.4.3循环码的编码方法信息位对应的码多项式：循环码的码多项式10.4循环码的编码当M=110，所以即所得的码字为A=1100101。10.4.4循环码的解码方法1.检错的实现无差错发送码组接收码组若码组无错若码组有错，则接收码组若码组无错检测到差错解码器的核心：除法器10.4循环码r级线性移位寄存器的初始状态为全零，所有开关均向下连通；在寄存器时钟的控制下进行k次移位，输出M(x)的系数(即信息码组)，同时实现除法电路的功能；编码器工作过程10.4循环码所有开关向下连通，输入下一组信息
