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1、2.6 矩阵对策的求解 矩阵求解的四种方法： 1、线性方程组法 2、线性规划方法 3、迭代法 4、图解法 一、线性方程组方法 又根据定理2.4.3，如果甲和乙的最优策略 中所有分量都大于0，那么上面的不等式组 可化成下面两个线性方程组。 注：如果上述两个方程组的分别存在非负解 x*,y*，则求得了 的一个解(x*,y*)和对策值 ； 如果x*,y*中有负的分量，则将方程组 (2.6.1),(2.6.2)中的某些等式改为不等式试算 。 例2.6.1 求解矩阵对策-田忌赛马问题。 解：已知田忌赛马问题中的支付矩阵 对策 没有鞍点。为了使A中元素尽可能多的变为 0，故令A中每个元素减1再乘以，得到
2、现在讨论 为支付矩阵的对策 的解。为此先 解方程组 和 例2.6.2 上述不等式组无解，根据计算下面两个不 等式组 二、线性规划方法 例2.6.3 用线性规划方法求解例2.6.2 解：先将A的每个元素加3，得到每个元素都是整 数的支付矩阵 转而讨论以A1为支付矩阵的矩阵对策 ，为此求 解两个互为对偶的线性规划问题 三、迭代法 迭代法是求矩阵对策的一种近似方法。 基本思想： 假设两个局中人反复进行对策多次，在每 一局中各局中人都从自己的策略集中选取 一个使对方获得最不利结果的策略，即第t 局对策纯策略的选择欲使对手在前t-1局中 累计所得（或累计所失）最少（或最多） 具体做法： 在第1局中，从两
3、个局中人中任选一个，如局中人 ，让他先采取任意一个策略，如i 。然后，局中 人随之采取策略 j ，使采取i的局中人的所得 最少。在第2局中，局中人还认为局中人采取 策略 j ，故采取某策略i使局中人的所失最多， 局中人又采取策略，使采取局中人在这两局中 累计赢得最少。在第3局中，局中人又采取某策 略使局中人在前两局的累计所失最多，然后局中 人又采取某策略， 局中人在这三局中累计赢得最少。以后各局均照此方 式对策下去，直到迭代的结果达到一定的满意程度为止 。 近似解： 若设在N局对策中局中人出1,2, ,m的次数 为k1,k2, ,km ,局中人出 1, 2, , n的次数 为l 1, l 2, , l n ，xN=(k1 /N ,k2 /N, ,km /N), yN=(l1/N ,l2/N, ,lm /N)， 则（xN， yN ）就是所求近似解。 令： 则VN是对策值VG的近似值。 xN的每一个收敛子列收敛于局中人的最优策略， yN的每一个收敛 子列收敛于局中人的最优策略。VN收敛于VG 。 j=1 n aijlj max 1 im VN =() N i=1 m aijki min 1 jn VN =() N VN=(VNVN+) 2 迭代算法的终止准则： 1、给定迭代次k 2、给定允许误差 ，当迭代次数k满足 时，迭代结束。 例2.6.4 用迭代法求解例2.6.2,允许误差
