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1、第二章 有心运动和两体运动 2-1有心力和有心运动 （一）基本特性 定义：作用线永远通过一定点的力有心力 定点：力心 斥力 引力 1 基本特性 1。 3。有心力为保守力，机械能守恒。 2。质点始终在垂直于 的平面内运动 （1） （2） （3） 动量矩守恒定律（3） （二）运动微分方程 2 （二）轨道微分方程比耐公式 令： 已知力 由公式得 轨道方程 已知轨道方程 由公式得 力 例 质点受有心力作用而作的圆运动， 为圆半径，求F =？ 3 2-2 平方反比引力下的质点运动 反向与 （一）轨道 若万有引力:若静电场力: 轨道方程 A 和o 为积分常数，由初始条件定：t = 0 =o 4 圆锥曲线的
2、标准方程 补数学 定点为焦点 动点的轨迹 为圆锥曲线 r p p半正焦弦长 e 偏心率 5 （1） 椭圆 近点B： 6 （2） 抛物线 近点B： 7 （3） 双曲线 近点B： 8 得： 与比较 具体形状？ 力学上与初始条件有关 数学上由e来决定 9 （二）轨道特性 势能 近点B 代入E的表达式 可得： -(1) *要用 结果表明e(E，h) 10 代入（1）式 代入（1）式 代入（1）式 代入（1）式 （1） 椭圆 e1 （4） 圆 e=0 11 * E一定，椭圆的半长轴也确定 h（角动量）越大 ，e（偏心率）越 大 e(E,h),h不同，则e不同。 12 例1结合宇宙速度看航天器随初始能量不
3、同具有的不同轨道 第一种情况 圆轨道 e=0 Ev vI椭圆 能量越大，椭圆越扁，半长轴越长 E=0 e=1 轨道为抛物线 v=vII 第二宇宙速度：vII 使航天器能脱离地球引力场所需的最小发射速度 v越大，椭圆越扁. 第二种情况 第三种情况 14 E0 e1 轨道为双曲线 vvII 第三宇宙速度：vIII 使航天器不仅能脱离地球引力而且要脱离太阳引力所需 的最小发射速度 Rs=1.4941011m Ms=1.9891030kg太阳质量 不同轨道 地球绕太阳公转的轨道半径 第四种情况 15 例 2 证明开普勒第二定律常数，等价为动量矩守恒 开普勒第一定律： 开普勒第二定律： 开普勒第三定律：
4、 16 例3改变轨道的卫星 一个用火箭运载的卫星,按半径为ro的圆轨道运 行.火箭发动机突然在它的运动方向增加了8% 的火箭速度,求新轨道上远地点离地心的距离. 17 *利用引力加速,实 现到外星的航行 18 例4 P52，例2 19 2-3 圆轨道的稳定性 在有心力势场中：设势能V（r） 令： 有效势能 满足：为稳定平衡 等效为质点在矢径方向作一维的运动， 圆轨道稳定条件： 若：则 二维的圆运动，化为一维的静平衡. 20 2-4与平方反比的斥力作用粒子的散射 粒子散射实验 q Q 粒子带两个正电荷的氦离子 21 原子的“葡萄干”模型 22 粒子的散射 23 原子的“有核模型“ 24 25 粒
5、子电量：q=+2e 某原子核序数为z，电量Q=+ze 令 得： 与平方反比引力比较 相差“-” 用“-k2”代替“k2” （一）散射轨道 散射角 26 引力轨道方程 斥力轨道方程 仍令 * 为双曲线的另一支方程 27 极轴 斥力引力 28 选极轴反向：令 极轴 则有： 习惯： 29 求粒子受到原子核斥力作用远离原子核后的角度散射角 设粒子从无穷远处以 射向原子核 为瞄准距离，并 30 看一束粒子的散射角 瞄准距离在和 +d 之间的 粒子散射后必向 着 和 +d 之间的角度散出。 （二）散射截面 卢瑟福散射公式 （1）式 31 环面积散射截面 由（1）式得： ，再微分找出 的关系， 卢瑟福公式
6、32 2-5 两体问题 仅以一对内力 和 相互作用的两个 质点 构成的质点系的动力学问题。 33 （一）二体的相对运动 折合质量 在惯性系 相对于 的运动微分方程 看成不动变成折合质量才能用微分方程 同理 令 折合质量 34 （二）行星与太阳运动问题的修正 行星相对于太 阳的微分方程 与前：太阳看 成不动的方程 比较有相同的形式 结论：（）行星相对于太阳仍为椭圆运动 35 （）系统的质心作惯性运动 （）行星相对于质心的轨迹， 是以质心为焦点的椭圆，同理 可得太阳相对于质心的轨迹也 是椭圆 行星相对于质 心的微分方程 地球 c 太阳 36 例由轻弹簧和滑块组成的二体问题 刚性系数为k的轻弹簧的两
7、端分别系着 和 的两个滑块，它们静止于光滑的水面上，今使 第一个滑块沿两滑块联线方向获得速度，求 这一体系的质心速度和体系的振动周期 x m2m1 37 2-任意幂有心力问题的计算 （一）与距离成任意幂的引力 运动微分方程： 可用计算机求解，语言或语言 引力： 直角坐标： 38 （二）微小扰动对轨道的影响 水星 太阳 金星地球火星 木星 土星天王星海王星冥王星 扰动力 很小 39 扰动力的几种情况 （1）宇宙尘的作用 由建立模型法得： 宇宙尘的密度 扰动力： m质点的质量 40 （2）广义相对论的效应 考虑到广义相对论对 万的引力的修正： 将 代入上式 得出的结果与实际 更相符，如：水星 的进动： 41 （三）相轨迹和庞加莱面 二维运动，相空间： 四维空间 若有约束，维数要减 少。如：有心力 相当于两个约束方程 相轨迹为二维曲面 用极坐标来表示： 或用极坐标表示： 四维空间 42 取x=0时，oy,py平面 ，环面与这个平面相 交的面庞加莱面 当有两个根 可证明：这 个曲面为中 空环面 43 44 45 相当于双曲线 相当于椭圆 相当于抛物线 相当于圆运动 设: 46
