8自旋波理论

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1、 分子场理论成功描述了强磁性物质的自发磁化行为，但在 低温和居里点附近的温度关系却明显偏离了实验结果。仔细考 虑就可知道，出现这个问题并不奇怪，因为根据海森伯模型， 交换作用是一种很强的近距离作用，磁矩之间存在着很强的关 联，而分子场理论却借用了处理无相互作用粒子体系的朗之万 理论，显然不能解释铁磁体的相关行为。自旋波理论计入了自 旋之间的长程关联行为，从体系整体激发的概念出发，成功解 释了自发磁化在低温下的行为。 自旋波理论采用了和海森伯理论相同的模型：原子磁矩 来源于未满的、局域在 3d 轨道上的电子自旋，但和海森伯理 论不同，它关注的不是形成自旋磁矩平行排列的机制，而是磁 矩平行排列后的

2、行为。 一. 自旋波的物理图像 二. 自旋波的半经典理论 三. 自旋波的量子力学处理 四. 低温下自发磁化强度随温度变化 T3/2 定律的推导 五. 自旋波的实验研究 六. 自旋波理论的发展 参考 戴道生铁磁学第4章 姜书 3.8 节p159-167。 3.3 自旋波理论 （Bloch 1930） 自旋波（Spin Wave）的概念是1930年布洛赫基于海森伯 模型首先提出的。 设有 N 个格点组成的自旋体系，每个格点的自旋为 S， 假设相邻自旋间的交换作用均相同，且A 0，在只考虑最近 邻格点交换作用的前提下，体系的交换作用能可以表示为： 在绝对零度（T = 0K） ，由于A 0，热力学第三

3、定律要求系 统中每个格点的自旋呈完全平行状态，每个格点的自旋量子 数取最大值 S，体系的总磁矩为 。这时系统 总能量最低，处于基态。 F.Bloch. Z.Physik, 61,206(1930) 他实际上假定了每个格点的自旋为1/2。 一. 自旋波的物理图像 当温度稍微升高，热能使体系中任一自旋发生翻转时， 它相邻的格点上的自旋由于交换作用也趋向翻转；另一方面 ，同样由于交换相互作用近邻格点的自旋也会力图使翻转的 自旋重新翻转回来。因此自旋翻转不会停留在一个格点上， 而是要一个传一个，以波的形式向周围传播，直至弥散到整 个系统，我们把这种自旋翻转在系统中的传播称为自旋波。 自旋波是以波矢量

4、k 来区分的。 这种情形就像晶格振动以格波方式在晶体中传播一样。 处理晶格振动的方法可以借用来处理自旋波问题，“磁(振)子 (magnon ) 就是量子化的自旋波”，或说是自旋波的能量量子 。和声子一样，它也代表一种集体运动，是固体中一种重要 的元激发，是由局域自旋之间存在交换作用而引起的。 0 K时，在简单铁磁体中（图a）， 全部自旋是平行的，如假定 N个自 旋排成一线，按照海森伯模型，其 能量是： 若把 S当做经典矢量处理，则在基 态： 系统的交换能是： 第一激发态的能量是多大？ 图b 是其中一个自旋翻转的情况 ，它可以使能量增加 8AS2, 注：一个翻转引起2个近邻交换能变正，2个变号，

5、相当于求和少4个 ，所以： Kittel 一书的叙述 但如果让所有的自旋分担这一反向，如图 c 所示，就可以构 成一个能量低得多的激发态，这种低能量的激发态就是自旋 波，（自旋矢量在在圆锥面上进动，每一个自旋的相位比前 一个自旋都超前一个相同的角度。）自旋系统的这种元激发 具有与波相似的形式，它们与晶格振动波类似，自旋波是晶 格中自旋的相对取向的振动，晶格振动是晶格原子的相对位 置的振动。 从俯视图上可以明显看出波的含义。但波的传播方向 并不一定垂直于磁场方向。这种画法只是为了方便。 黄昆书 p417的简要说明： 根据局域电子模型，铁磁体的基态是所有自旋沿同一 方向排列，在低温下，除处于基态以

6、外，还有一定几率处 于低激发态，容易想到一个自旋翻转可以得到最低的激发 态，但是，由于每个自旋都与它近邻的自旋相耦合，所以 一个自旋的翻转不是简正模式，所有自旋的运动将耦合在 一起，从量子力学的观点看，由于翻转的自旋可以处在不 同的格点上，因而它们是能量简并的 N个量子态，相互作 用的微扰有可能使它们组合成能量更低的量子态。 （见Kittel书8版p228-230），黄昆书p417-421 如同晶格振动情形，我们先讨论原子数为 N,间距为 a, 每个原子自旋为 S 的一维原子链的运动。只考虑最近邻情 况，作用在第 p 个自旋上的作用能为： 如果把 p 点的磁矩写成： 则作用能可表示成： 中括弧

7、里的项可以理解为作用在 p 自旋上的一个有效磁场。 根据力学定理，角动量的变化速率等于作用在自旋上的力 矩： 于是给出运动方程： 二. 自旋波的半经典理论 写成分量形式： 该方程组是非线性的，如果激发幅度很小，取 并略去 S 的平方项，就得到一个线性方程组： 和晶格振动情形一样，设解为： 式中 u 和v是常数，a 是晶格常数，p 为标志格点位置的整数 代入分量运动方程后，有: 方程组对 u，v 有解的条件是： 这就是一维单原子链自旋波的色散关系。 于是解得： 代回方程可以证明：v = - i u这 相应于自旋绕 z 轴做进动。 这种进动在晶格中的传播就是 自旋波。相邻格点间的位相变 化由在简约

8、布里渊区内取值的 波数矢量 k 确定。右图是色散 关系的示意图。在长波区域， 相同极限下，声子k 自旋波的等效质量：(见戴书p237) 式中 k 取值是量子化的，N个原子的一维原子链，周期 性边界条件给出： 即 ka 的取值范围是 ，即相应于在倒格子的 第一布里渊区内取值。 见戴道生铁磁性p257-264，姜书p159-164 我们也可从交换作用的哈密顿量出发，求解薛定谔方程 的本征解，从而给出自旋波的色散关系。主要结果如下： 1. 能量本征态 表征了体系中一个确定的状态，在这一状 态中，每个格点自旋翻转的几率都相等，由此可见，自旋 翻转不是局域在某一个格点上，而是以同样的概率弥散在 晶体的每

9、一个格点上。 2. 在状态 中，不同格点自旋的翻转态之间相差一个相位因 子： 因此态 显示了波动的特性。( a 是格点间距) 1. 3. 与基态相比，一个自旋波带来的能量增量为： 其中，z 为最近邻数。 ri 是近邻距离 三. 自旋波的量子力学处理 4. 一维原子链，近邻 z = 2 经典结果中取S=1/2 ， 和这里是一致的。 长波极限下： 简单立方情形：6个最近邻：(a,0,0) (0,a, 0) (0,0,a,) 因此有： 利用展开式，长波极限下为： 与上面一致 可以证明面心立方晶格和体心立方晶格在长波近似下 也有同样结果。（习题3.3） 但这个结果不能推广到任意晶格的情况下使用。 5.

10、 近独立近似下自旋波的总能量： 如果体系中存在着 N 个互不干涉、相互独立的自旋 波，那末体系自旋波的总能量等于所有自旋波能量的简 单叠加： 是波矢为 k 的自旋波个数。在近饱和近似下，自 旋波服从Bose 统计规律： 在温度很低的情况下，体系中自旋翻转的数目很少，被 激发到高能态自旋波的概率很低，自旋波相互散射的几率也 极小，因而近独立近似，近饱和近似，以及长波近似都能被 满足，上面给出的公式是可以适用的。 体系中自旋波翻转数等于自旋波的个数： 6. 自旋波的能量是量子化的，激发一个磁子，相当于一个 自旋的翻转。 长波近似下 l 个自旋波的总能量： 关于自旋波服从Bose 统计的说明： 对于

11、实际体系，格点数目 N 虽然很大，但总是有限的， 在这个体系中，自旋能够翻转的总数不能超过 NS 。所以对处 于每个态的自旋波数目自然也就有了限制。但在远离居里点 的低温下，自旋波被激发的数目是很少的，不必要顾及上述 的限制，因此可以近似地把自旋波看作是玻色子。 理论和实验均表明：铁磁物质在 0.5Tc时 显然在0.5Tc以下，自旋波的玻色性是很好满足的。 这里，我们看到一个有趣的事实，尽管组成物质的粒子 （电子、质子、中子）是费米子，但由它们组成的元激发（ 声子、磁子、激子）却可以看成是玻色子。 考虑由 N 个格点组成的自旋体系，体积为 V。在低温 下 （例如T 0.5K），如果在温度 T

12、时体系自旋翻转总数 的统计平均值为 。那么体系在该温度下的自发磁化强 度应表示为：（注意，一个自旋波相当于一个自旋的翻转，磁矩 减少 2 s(=1/2)=） 或者用自发磁化强度的变化表示： M(T)的计算可以归结为在温度T下对自旋的个数求平均。 如何理解本式？各 书都未明确说明 。习题中可进行 讨论。 四. 低温下自发磁化强度随温度T变化 其中系数 Q 随结构而异，对于简单立方、体心立方和 面心立方，Q 值分别等于1, 2, 4 , V=Na3/ Q。 (x)是黎曼函数,(3/2)=2.612 其中 a 与材料的性质和结构有关，对于立方晶格有 通过复杂计算可得到：（习题3.4） 这就是 Blo

13、ch 最初得到的结果，被后人称作Bloch 定律。 它描写了铁磁体在低温下自发磁化强度同温度之间所普遍遵守 的规律，在很低的温度下，它与实验结果符合的很好。 Ni 的约化磁化强度对约化温度关系 见奥书 p96 求和： k 的取值可以近似当作连续的。求和变积分。 用和晶格振动相同的方法，可以给出自旋波的态密度： （长波近似下） 代入求解： 习题提示： 查积分表得知： 考虑到单位体积的原子数： 简立方、面心立方、体心立方 Q 值分别为：1，2，4。 所以有： 以上参见Kittel书8版p231；黄昆书p420-421 这虽是一个各书共同的结论，但推导方法却各有所不 同，（例如姜书p165） ，请在

14、习题中论证其是否合理？或 提出你认为更加合理的办法。 3.1 指出，按照分子场理论，在低温下： 右图实验结果表明在低温下 随温度变化要快得多。 实验给出：（T = 0.1 Tc） 表明其变化的主项是： A 的实验值： 和自旋波理论的结果是一致的。 见Kittel书8版p226 铁磁体在低温下的比热： 在温度 T 下热力学平衡时，体系中自旋波对内能的贡 献为： 可以证明，低温下自旋波对定容热容的贡献为： 此式表明，热容同样遵从 定律，和晶格热容是不同的。 铁磁体的自旋波在50年后期由中子非弹性散射实验直接 观察到，并测出了其色散关系，证实了上述理论的正确性。 除去中子非弹性散射外，铁磁共振，布里

15、渊散射等都可用来 观测自旋波。 前面给出长波近似下： 其系数可以由铁磁薄膜的中子散射和自旋波共振准确测定。 例如Shirane 测定：Fe, Co, Ni （在T=295K） D = 281； 500； 360 meV 见Kittel书8版p230 见戴书4.9节p304 五. 自旋波的实验研究 自旋波非弹性散射原理： 入射波 入 射 波 散 射 波 散 射 波 吸收或激发一个磁子 见Kittel 8版 p232 见戴书p289 见戴书p315 中子非弹性散射测量 获得Ni在不同温度下 自旋波色散关系 上面理论是在三个近似（近独立、近饱和，长波）下给出 的，只适用于极低温的情况。因为既没有考虑

16、两个自旋波同时 出现在一个原子上的情况，也忽视了两个自旋翻转出现在相邻 原子上的情况，而温度较高时，它们都不能忽视。为此后人对 自旋波理论做了很多的补充和完善，1956年Dyson正确地解决 了自旋波之间的相互散射问题，证明在略高一点的低温范围， 自发磁化强度的温度关系修正项为： 4.2290 K温度范围内，纯 Ni 单晶的测量证实了此结果。 见姜书p166 六. 自旋波理论的发展 当温度很低时，只有 k 值很小的自旋波才能够被激发， 因此只需取能量展开式的第一项。随着温度升高，就应当考 虑高次项的影响。 在 1 K 到 4.5 K 温度范围内,对 CrBr3自发磁化强 度的测量得到前三项符合的非常好，测得的系数 a = (2.5440.067) 10-3 K-3/2 b = (3.031.04) 10-5 K-5/2 见戴书p1