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1、上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回1第七章参数估计7.3正态总体参数的区间估计上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回2N(01)求参数的置信度为1-的置信区间.二、置信区间的求法解：寻找一个待估参数和估计量的函数，要求其分布为已知.有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率.例1设X1Xn是取自的样本，选的点估计为明确问题是求什么参数的置信区间置信水平是多少？寻找未知参数的一个良好估计.上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回3对给定的置信水平查正态分布表得对于给定的置信水平(大概率)根据U的分布，确定一个区间使得U取值于该区间的概率为置信水平.使为
2、什么这样取？上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回4对给定的置信水平查正态分布表得使从中解得上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回5也可简记为于是所求的置信区间为上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回6从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下:1.明确问题是求什么参数的置信区间置信水平1-是多少2.寻找参数的一个良好的点估计3.寻找一个待估参数和估计量T的样本函数S(T)且其分布为已知.T(X1X2Xn)上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回74.对于给定的置信水平1-，根据S(T)的分布，确定常数ab，使得P(aS(T)b)
3、=5.对“aS(T)b”作等价变形得到如下形式:则就是的100(1-)的置信区间.上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回8可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个待估参数和估计量T的样本函数S(T)且S(T)的分布为已知不依赖于任何未知参数(这样我们才能确定一个大概率区间).而这与总体分布有关所以至关重要是总体分布的形式是否已知，是怎样的类型。上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回9这里，我们主要讨论总体分布为正态的情形.若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计.上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目
4、录结束返回10教材上讨论了以下几种情形：单个正态总体均值和方差的区间估计.两个正态总体均值差下面我们举几个例子和方差比的区间估计.上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回11(1)、正态总体XN(2)，方差2已知：给定可查表得u2，使P(|U|u2)=1-一、单个正态总体参数的区间估计1、正态总体均值的区间估计上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回12置信区间为：上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回例2已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115120131115109115115105110cm解13上一页下一页
5、概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回14不能用“(1)”中的方法，但(2)、正态总体XN(2)，方差2未知：为上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回15置信区间为：上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回解经计算得查表可得从而所以的置信度为0.99置信区间是例3设有一批配料粉，每袋净重X(单位：克)服从正态分布.从中任取袋，测得净重分别为：13.111.912.412.311.912.112.412.1.试求的置信度为0.99的置信区间.16上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回例4用仪器测量温度，重复测量7次，测得温度分别为:11512013111
6、5109115115C设温度解17上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回1822、正态总体方差、正态总体方差2的区间估计的区间估计(1)、正态总体XN(2)，均值已知：为上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回19置信区间为：上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回20特别取：上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回21(2)、正态总体XN(2)，均值未知：为上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回22置信区间为：特别取：上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回解由题意得查表得算得所求置信区间为(0.0380.506)上
7、一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回例6设某机床加工的零件长度今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下：12.1512.1212.0112.0812.0912.1612.0312.0112.0612.1312.0712.1112.0812.0112.0312.06在置信度为95%时，试求总体方差的置信区间.解上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回25例7已知某地区新生婴儿的体重X随机抽查100个婴儿得100个体重数据X1X2X100的区间估计求和（置信水平为1-）.上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回26解：这是单个正态总体均值和方差的估计先求均
8、值的区间估计.因方差未知，取样本函数对给定的置信度1-确定分位数使即已知上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回27即为均值的置信水平为1-的区间估计.从中解得上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回28取枢轴量从中解得对给定的置信度1-确定分位数使再求方差2的置信水平为1-的区间估计.上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回29于是即为所求.上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回30需要指出的是，给定样本，给定置信水平，置信区间也不是唯一的.对同一个参数，我们可以构造许多置信区间.上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回31N(0
9、1)取枢轴量由标准正态分布表，对任意a、b，我们可以求得例如，设X1Xn是取自的样本，求均值的置信水平为1-的置信区间.P(aUb).上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回32N(01)例如，由P(-1.96U1.96)=0.95可得均值的置信水平为1-的置信区间为上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回33由P(-1.75U2.33)=0.95这个区间比前面一个要长一些.可得均值的置信水平为1-的置信区间为上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回34我们总是希望置信区间尽可能短.类似地，我们可得到若干个不同的置信区间.任意两个数a和b，只要它们的纵标包含
10、f(u)下95%的面积，就确定一个95%的置信区间.上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回35在概率密度为单峰且对称的情形，当a=-b时求得的置信区间的长度为最短.a=-b上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回36即使在概率密度不对称的情形，如2分布，F分布，习惯上仍取对称的百分位点来计算未知参数的置信区间.上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回37也就是说，要想得到的区间估计可靠度高，区间长度就长，估计的精度就差.这是一对矛盾.实用中应在保证足够可靠的前提下，尽量使得区间的长度短一些.我们可以得到未知参数的的任何置信水平小于1的置信区间，并且置信水平
11、越高，相应的置信区间平均长度越长.上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回38二、两个正态总体均值之差与方差比的区间估计1、两个正态总体均值差的区间估计(1)、两个正态总体上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回解已知求得(-0.82862.029)(Ah)故的置信度0.95的置信区间为上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回41(2)、两个正态总体，方差未知，上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回42上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回解已知求得(-1.772.97)(Ah)故的置信度0.95的置信区间为上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回452、两个正态总体方差比的区间估计上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回46上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回47上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回解已知求得查表得计算得(0.336.56).上一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）目录结束返回50同学们可通过练习，这一节，我们介绍了区间估计.掌握各种求未知参数的置信区间的具体方法.
