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1、第六章 二次量子化理论 研究由全同粒子构成的相互作用多粒子体系, 二次量子化方法是一种有效的方法 1. 波函数的二次量子化表象 考虑系统由N个相互作用的全同粒子组成 相互作用能动能 含时Schrodinger方程 引入单粒子力学量完全集 的共同本征函数 满足正交归一化和完备性条件 各种不同单粒子函数的乘积 构成 粒子态的完全集, 任意一个 粒子态 可以展开成 全同粒子波函数具有对称性 对称波函数(玻色子体系) 反对称波函数(费米子体系) 表示任意交换二个粒子坐标时, 波函数必须是 对称的, 或是反对称的. 由波函数的对称性要求给出: 展开系数自身 在交换相应量子数时, 也必须是对称或反对称的
2、(一) 玻色子 波函数是对称的, 引入对称化函数乘积 为对处于不同量子态的粒子置换 可以证明任意的对称波函数可写成 的线性组合 函数 的性质: 它对下标 的任意一个置换是对称的; 可以用一组整数 来标记它, 其中 表示在 中遇到量子态 1的次数; 表示 量子态2的次数; 表示 量子态f 的次数; 这组数 称为状态占据数， 函数 完全被这组占据数确定 记函数 为： 占据数 可取任意正整数 但应满足一个条件: ( 为总粒子数) 函数组 对不同的占据数组是 彼此正交的. 归一化后, 得到一组正交归一化对称函数系 对称波函数可以按它们展开 这就是二次量子化表象, 以占据数为自变量的 函数 是二次量子化
3、表象中的波函数. 存在关系式: 波函数的归一化: 可以把 看作是系统处于某一特定单粒子态 占据数分布状态的几率 (二) 费米子 波函数是反对称的, 引入反对称化的函数乘积 其中 为偶置换 为奇置换 这个函数可以表示成大家熟悉的行列式形式 函数 中有任意两个函数相同, 则反对称函数乘积恒等于0, 因此下标 中没有二个是相同的. 通过置换可使下标按从小到大排列 任意一个反对称波函数 可以表示为 用占据数组 来表示 表示 量子态在 中出现的次数 由于 各不相同, 所以 即在费米统计情况下: 并且 每一个可能的占据数分布与函数 一一对应 记 对于不同的占据数组 函数 是正交的 归一化后, 得到一组正交
4、归一化函数基: 它们构成反对称波函数空间的完备基 任意反对称波函数可展开为 这是费米子系统的二次量子化表象, 展开系数 就是二次量子化表象中的波函数 同样有: 表示某一单粒子态分布出现的几率 既然 , 则 , 所以有 与玻色统计中的关系式完全相似 2. 二次量子化表象中的Schrodinger方程 （一）玻色子系统的二次量子化 引入与时间无关的态矢量 表示在量子态 上有 个粒子，在 有 个 粒子，等等 要求这组基矢是完备的和正交归一化的，即 引入与时间无关的产生算符和消灭算符 （玻色子对易关系） 这正是谐振子的产生和消灭算符的对易规则， 它具有性质： 是粒子数算符 的本征态，本征值为 （ 为真
5、空态） 推广到无穷多个所有量子态的情况 既占据数表象中基矢 是某个量子态 粒子数本征态的直接乘积 下面考虑态矢量的满足的Schrodinger方程，令 写在x表象中 即 其中 即为前面讨论过的对称归一化基矢 满足的方程 方程对时间的依赖关系都包含在系数 中 通过求出 所满足的方程，最终可以 得到Schrodinger方程的二次量子化形式 是占据数表象中的算符，它与产生算符和消灭 算符有关，即是哈密顿量的二次量子化形式 其中矩阵元 是普通的c 数 其它任意力学量都可以在占据数表象中表示成 算符形式 例如，坐标表象中， 单体算符 二体算符 表示为二次量子化形式： 引入所谓“量子化的波函数” 其实是
6、Schrodinger场算符，则有 用 来表示力学量 哈密顿算符 哈氏量的上述形式指出了二次量子化这个名称的 来由用几率波描述粒子运动时，我们考虑了粒 子的波粒二象性，进行过一次量子化，现在将 当作场，又把它看成算符，相当于又进行了一次 量子化所以称为二次量子化 （二）费米子系统的二次量子化 波函数反对称 类似于玻色子， 引入抽象的占据数空间 则 这里 ，反映费米子统计性质 采用Jordan和Wigner方法，引入满足反对易规则 的产生和消灭算符 （费米子对易关系） 这里 性质： ，因此 ，制止两个 粒子占据同一状态 ，因此 粒子数算符 具有本征值或 直接可证 使得集合 可以同时对角化，使占据
7、数态 矢量的定义成为可能 反对易规则给出升降算符的性质 定义 消灭算符 作用于这个态的效果 其中 而 与玻色子系统类似,可以将Schrodinger方程用 二次量子化表示为： 注意哈密顿函数的最后两个消灭算符的次序 同样可以引入费米子系统的场算符 则 哈氏量可表示为 注意势能中最后二个场算符的次序，它保证了 是厄密的 二次量子化应用举例 （一）简并电子气体 将讨论一个简单的模型，它提供金属或等离子体 的一个粗略近似考虑的系统是处于均匀正电背 景中的相互作用电子气体正电背景保证整个系 统是电中性的 系统总的哈密顿量 其中 是正电背景的粒子密度， 为收敛因子 最终取 对于均匀正电背景 ，容易求出
8、由于库仑长程相互作用， 在 时发散 利用平移不变性, 也可以计算出 因此，总哈密顿量为 下面讨论如何按二次量子化改写哈氏量 选单粒子波函数为平面波 自旋波函数 箱归一化 ，周期性边界条件 动能项矩阵元 动能算符 可解释为每个量子态的动能乘以相应的粒子数算符 对于势能项，需要计算矩阵元 最后一个Kronecker 表示均匀系统中的动量守恒 可改写为 动量求和限制了对 的求和，只有三个独立 变量而不是四个作变量代换 保证 且 是两粒子相互作用中的动量转移 方程最后一项为 将它分成 和 的两项 式中第一个求和号旁的一撇代表除去 的项， 第二个求和项等于 处理粒子数 固定的系统，算符 可以用它的本 征
9、值 代替该项贡献为 第一项与 中第一项抵消，而第二项在热力学 极限下可以忽略 最终得到二次量子化哈密顿量 这里已取 极限，且假设 引入无量纲变量 先用每个粒子的体积来定义一个长度 实质是粒子间距另有Bohr半径 这两个量之比是无量纲的 表征系统密度 可以证明在高密度极限下（ ），势能成为一个 微扰，因此相互作用能可以用微扰论来计算 将哈密顿量分成两部分： 是无微扰哈密顿量，表示没有相互作用的 费米系统， 是微扰项 相应基态能量 是自由Fermi气体的基态能量 是一级微扰能量 由Pauli不相容原理，在每个动量本征态上只 容许占据一个自旋向上，一个自旋向下电子 的基态 是一个动量空间 的一个Fe
10、rmi球 Fermi动量 , 由系统总粒子数确定 的期待值 在自由Fermi气体中，每个粒子的平均基态能量 是Fermi能 的 倍 计算能量一级修正 矩阵元不为0, 要求消灭算符与产生算符配成对, 这只有二种可能性: or 第一种配对是不允许的，因为在求和中排除了 项，于是矩阵元为 给出 作变量代换 化为对称形式 对积分有贡献，要求 和 都小于 ， 即 和 都在Fermi球内 积分区域如图所示 阴影部分体积 在高密度极限下，每个粒子基态能量近似为 方程中第一项是Fermi电子气体的动能,在高密度极限下 ( )成为主要项. 第二项通常称为交换能,并且是 负的, 它来源于波函数的反对称性. 微扰展
11、开可以计算到更高级的项 其中 , 及更高级系数的 计算相当困难, 需用Green函数和费曼图方法 现在仅考虑前两项, 作为 的函数 能量曲线有负的极小值, 因此系统处于束缚态 实验室条件下, 金属Na: 当考虑低密度极限( )时, Wigner证明: 电子 将构成点阵结构, 称为”Wigner晶体”. 这是由于与 电子定域化相联系的零点动能远小于构成点阵的 电子静电能. Wigner证明这种固体中每个粒子的能量为 (Wigner晶体) (二) 超导BCS理论 超导现象是Kamerlingh Onnes 在1911年发现的 (1) 超导现象 Lead (Pb) Lanthanum(L a) Ta
12、ntalum (Ta) Mercury (Hg) Tin (Sn) Indium (In) 7.196 K 4.88 K 4.47 K 4.15 K 3.72 K 3.41 K 3.3 K Tc Meissner effect （）模型哈密顿量 Bardeen-Cooper-Schrieff 提出超导体中电子系统 哈密顿量为 其中矩阵元 若 其它情况 即假设动能在费米面两侧 范围内, 并且具有相反 动量和自旋的一队电子之间存在弱吸引力 把矩阵元记为 , 则 上式称为BCS约化哈密顿量 （）BCS基态及变分法 由于吸引相互作用，费米海是不稳定的，形成 Cooper束缚对，基态由动量和自旋相反的电
13、子 构成对 式中 表示一对状态 被占据的几率为 , 没有占据的几率为 系数 和 可用变分法确定 考虑巨正则系综,基态自由能 自由能极小 记 , 即取动能的零点为 类似,相互作用项 可直接计算证明此式. 注意到相互作用项是从 的状态散射到 的状态过程, 这就要求初态 状态被占据, 态 空缺, 末态恰好相反. 这样的初态的几率振幅为 , 末态则为 , 相乘得到上面的结果. 因此 取 和 为实数, 满足约束条件 假设 则可写成 给出 因此 定义 则 故 准粒子激发能谱 能隙参数 代入 的定义式得到自恰条件 显然 是一个平凡解. 当 为负时, 方程具有 一个能量较低的非平凡解, 即当 有非平凡解 代入自恰方程，得到 化为积分 为费米面附近的态密度 由于超导体中电子之间弱吸引作用来自电声耦合， 能量范围 由德拜频率决定 （ ） 由于 ， 为离子质量，故有 （同位素效应） 算出 后，可直接计算系数 和 由 得
