《发光中心的对称性_群论的应用_续_》由会员分享，可在线阅读，更多相关《发光中心的对称性_群论的应用_续_（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、固体中发光中心 的能级是复杂的 。 我们注意到 , “组合能级” 对于激光是很有趣的 。 上 面 曾经提到过 “有效发射截面” , “组合能级, 会使有效发射截面大于平均发射截面?激光 闭值降低? , 会使贮能大大增加 。 例如把 ! 令 离子放到适当的晶场中 , 以致 # 能级处在亚 稳能级 % 的上方不远处 , 这样就形成了一个宽能级? # ?和一个窄能级?亚稳的 % ?的组 合 , 共同作为上能级 ?激发 的粒子主要 分布在 % 上 , 只有很 小部分热激发到 ? 。 这时荧 光发射主要集中在 , 3 , ?3 = 4 。 4 ) 9.78.!8 7 。 5 。 99 7, 4 (: 。
2、 :; 。 , ? , 13 0 = 。 1 。 。 9 79 97.8, :; 。 轴和轴 分别平行于立方体的三条梭 。 原点9和立方体的重 心重合 。 ( 6构成一 正四面体 。 在上节例中 , (点 为 一 离子 、 、 、 点为 卜 离子 , 7 离子空 位在原点 9 。 7 空位具有对称 元素 , 轴 ( , 对 称 操作 # 6。 , 6性 。 对称面 。 、 。, 、 。分别 产 生 对 称操作勺 。 、 、 , 、 吃 。 还有一个恒 等 操 作% 。 他 们组成6 1 。 群 。 、勺才 才 必必必 丫丫 图? 一 吐? 6, 对称操作表示绕( 。轴把正四面体顺铸针转动 粤
3、, 其辣果等价于。 , , , 啤倾轴 了 、 互 绕( 9 轴反时针转动 声 粤 2。 若转动前的座标记为 # 、 ; 、 载动后的坐标记为 、 ; 、 # 、 、 则 , 二 ; ; , 、 、恤耳 4 夕 ; 了 、, , 通 , 心,了! 若 用矩阵形式表示 , 则 , 、 二 # ” ? 类 似地 , 6竺 操作可表示为 # ,、 / ; 产 8, 操作的效果可描述为 # 30 03 00 电、 3 4 4/ 4 ! ; 月 王 0 、 4 , 亨卫且 了; 扭 产 了4 犷,、 , 4 4、 、 / /产、 3 3 3 0 八 ” 0 00 内 33 人 0 了 口通妞3、 一一
4、、 龟44 4 4 声 ? , ; , , 8。 操作的座标变换为 # 、 、 , , 户 产 ; 了 了 3 43 4、 ,4 4 , 4 3 7 3 0 7 , 3一 0 0 才 了, 百4 3、 、 一一 、 、 44了 , 产 了 矛 夕 矛夕 召 ; 了 了, 月 4 4、 _ 操作的结果为 # 、3 3 万 ;. .、 、 、 ? ?口 于,嘴 ! 八#一 ! % , 轴和6 平行 , ;轴和( 相交 , 座标厚点。仍和 正四面体( 的熏心 重合 。 4 对称 操作表示为 # . . 、 匹 , , 3 . 7。 # 8 7 汀一 7。 9 0#叮 # ? 、才 : %; 月 ?
5、一 ! 一 。为# 、 4 4 4 4 , 夕 ; , 4 4 4 3、 、 、 3 4 4 4 4 刀 声 30 30 30 ! 声, 4 4 、 一一 、 、4 4 刀 万 了 333 ; 4 , 4 4 瓜 、 。8 为 # 、月 3 3 4 硬断4 3 3 + 一 , ; , , 侧 万 侧畜 3 0 8。为# 电、, 4 4 了 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ; 了件4 皿4 4 4 4 4 4 4 4 里, 4、 ! 4 44 4 4 4 4 / 尹 00 3 4 一 工 匕夏 么 宜豆 工 00 一 了 4 4 4 4 4 4 4 且4 4 奋 4 、 一一 、 卫44 /
6、 。 3 4, , 33 3 ; 产 了 ! 4 4 4 4 , 4 4 4 4 口4 4 4 万盆44 、 可以看 出在这个新的座标系中 , 表示的每 4 公个矩阵变成了向样形式的方块因子矩阵少一 个是左上角的二维方矩阵 , 一个是右下角的一维矩阵 。 把图?中的座标系变为图 = 中的座标 系相当于一个相似变换 , 在相似变换后 , 原来的表示! # 7 ? 030 003 300 6 。 300 00 3 030 00303 300 030 6君 曳 #了 ? 通沙 , 0 3 0 心 、工 场 8通。 3广 0 、 003 土 0 3山 0 0 了夕 才 、矛 布, 4 4 4、 盆 汽
7、 枯 、 、 砚4 4 万 了 、 、 4 ,4 4 3 尹 矛, 00 33 了4 ! 下4 4龟、 、 子 了4 4 4 4 4、 、 、 # 矛 小丫通声 约 化为! # 和! #, 表示! , 为 # 仃孟。 ! 于 , , ! # 。 了4 4 、 、 . . 胜. , 4, 4 3 宜豆 、户工 “ 3 礼 一生 匕立 ?叱 了万 一 训百 3 一百? 6#_孟 了 1 3 一 0 ! 官!、 、 百 月4 4 4 4 4 4 , 一 1 一 4 厂一 3 人 3 + 一 场 3一 、 亿万 03? 、 、 4 . . 9 产 3一么 召万 2 3 3 、 场 叮滋万 仃通。% 表
8、 示! , 为 3 6 0孟仃 遴 口孟刀% 一 3 一 容易验证! # 和! # 的 矩阵按 照6 , , 群乘法表的规律相乘 。 例如 # 全8 , 二8 对! 表示蕊 、 妞4 矛 30 声 了! 4 、 一一 .、 # ,0了沙, 、# # # , 7 斌 一 丁 7 7 了百 7 认万 7 7 了万 7 工 艺 手 纽飞/ 于 萝 , 少 户 、对 9 久龚示2 % 7 , 幻 特征标 乒 井 笋 定一丈矩瞥表示 解矩阵的 迹 对应操作的侍锤标 , 由下式给 出 , ? 刀 9 5 ? 叫做表示的特征标 。59 59 ? 。 表 示 。 9 中 9 ?, , 征标特 其 、 , ?
9、胜? ? ? , ? ?/ 其中脚标 指示是 第几个表示 。 5 , 群中操作 的矩阵 是 , 为 一 。 7 亿万 7 畜 7 如果 那末 矩阵的迹不被相似变换改变 。 ? 名 ( 一王 (, 矩阵 的迹 2 价? 。 %, 刃 。、 刃 刃 (“ 刀 二 (, ? 刃气刃名 (二二(。 ? 二 盆 名名 、 刃 、, 2 小 , 2 二 名名 “ 。9 9 爪 了 二 二 名 。, ? 由上面这个性质 , 可知群中属于 同一类的对称操作在一个给定表示中具有相同的特征 标 。 首先给出类的定义 , 若和是群的两个元素 , 一 , 也是群的一个元素 , 则和 互为共辘元素 。 共辘元素的一个完
10、整集合称为群的类 。 由定义知道属于同一类的对 称操作彼此之 间被相似 变换联系着 , 而相似变换不改变矩阵的迹 , 因此属于同一 类的对 称操 作在一给定表示中具有相同的特征标 。 知道给定群的类是 很重要的 , 因为群的不可约表示的数目等于群的类的数目 。 例如( 2, 群有六个对称 操作 , ), 盆 二(几 ? ? , 55 , 5。,。 , 他们属于 三个 类 , 自身组成一个类 , 。 、 二组成一个类 , 三个。组成一个类 。 可以由 2 。 群的乘法表证 明这一点 。 一 7一 %6 1% 6 1, % 6和6# , # 1 1 6召6#二 1, 6#6扣 # 二6 #% 6#
11、 , 1 1 6 # 二 # % ”61, . 1 .匆 盆 .1.# .# , 8, . 。8, 二。,8口 .票 , 88 . 璧 8 8二888, 。 . 。, 。, 。 . 1。二。 。89 6# , 8 。? 盆 8。 二8。 # 。 6 1, 8 。. 。、 。 #二 8, 。8 . # , 8。. 留 8 。二8。8。.1 。 可见 , 6。和6# 互为共扼元素 , 并且不与其他对称操作共辆 , 他们组成一个类 。 同理可 证明%自身组成一个类 , 三个 8 组成一个类 。 因此6 # , 群具有三个不可约表示 。 其他任何可约表示的矩阵都可以通过相似变换 变换为 包含这三个不可
12、约表示的矩阵的方块因子形式 。 在实际物理应用中 , 往往只需要知道群的不可约表示的特征标 , 而不需要表示的具体形 式 。 因此给出群的特征标的所 谓特征标表在实际应用中是非常重要的 。 表 一一一 一一一; 一一一 ; 一一一一 44一 一 ; 一 一 一一 一 一;一;一一 , 一, 一一 4 一 一 一 % 一一 矛 、 一一一梦 一一一 一一一一一一;一 1/一 , 一% 一 一 一 ( ? 一 一 一。 一一 一 一 咋 . 一一 ( 一 一 一 , 自一. 一一 , , 】 # : : 7 表 是( )。 群的特征标表 。 最 上面一行 , 从左到右为群的符号 , 归类的群元素
13、。 在表的 最左端为不可约表示的符号 。 可以有不同的表示方法 , 一种是用9 表示不 同的表示 , 另一种 用 , 标记一维表示 , 为二维表示 , 为三维表示有时用 ? 。 不可约表示符号的右边就是每一个表示的特征标 。 有 、 ; 、 、 二 、 , 、 ? 的部份留 待以后再解释 。 任何可约表示都可以通 过适当的相似变换约化为不可约表示的形式 。 这就是说 , 可约表 示的矩阵在相似变换以后成为方块因子形式 , 在对角线工的方块矩阵是不可约表示的矩阵 , 其 他地方是! 。 因为相似变换不改变表示的特征标 , 因此 , 可约表示的特尹标 ?和 他包含的不可约 表 示的特征标汉?有如下
14、关系 , “ , ? ? 名 ? , ? 其中是不可约表示的数目 , ( 是第 个不可约表示 在可约表示中 出现的次数 。 系数 ( 由下式给出 会名 %,%“,气 其中 号表示复共扼 。 为群的阶数 , 等于群中元毒的数目 , 就是对称操作的数目 。 若( 2 , 群的一个表示9具有下列特征标 2 一 ) , , 萝萝 % 6#18 8 8 ! ! ! ! ! 一 33 3 3 这个表示!可约 化为 芍( 十6( 产6 1 % 9 3 尸, 4 4 。 七 , 百 七。 十 ?一 3?,1 欠 3又3 3 , 又3, 又 3 父 ?一? , 1 ?一 3?二0 3一 , ?一 3 ? 父 ?一 3?,1 9 又 3 因此 !
