概率结构优化设计的高效算法研究

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1、大连理工大学 博士学位论文 概率结构优化设计的高效算法研究 姓名：易平 申请学位级别：博士 专业：工程力学 指导教师：程耿东 20070901 大连理工大学博士学位论文 摘要 由于能源资源的短缺、企业间竞争的加剧，近年来，优化设计的研究和应用得到前 所未有的重视。实际工程中存在大量的不确定性因素，人们意识到结构优化中必须引入 考虑不确定性因素的数学模型，概率结构优化设计就是其中广泛应用的一种模型。由于 概率优化设计中的概率约束评定和优化设计都需要迭代求解，计算量很大，这限制了其 在工程中的应用。因此，研究概率结构优化设计的高效稳定算法具有非常重要的意义。 本文采用最近提出的功能度量法评定概率约

2、束，在给出当前设计点的近似概率功能 度量及其灵敏度的基础上构造了新的序列近似规划算法；在构造和完善算法时发现无论 功能函数值在随机变量均值点为正还是为负，都应该用功能函数的极小值来确定概率功 度量，纠正了文献中的错误：然后引入混沌控制策略，较好地解决了因为概率约束迭 代求解的振荡、混沌等不收敛现象导致优化失败的问题：由于这些处理方法，这一算法 不仅实现了外层结构优化和内层概率功能度量计算的同步收敛，显著提高了计算效率， 而且较少依赖于随机变量的分布类型和目标可靠度的大小，与现有算法相比，高效、稳 定且可靠。本文围绕这一算法的建立和应用开展的一系列研究工作具体总结如下： 1 详细研究了可靠指标法

3、( R I A ) 、功能度量法( P M A ) 两种方法中可靠指标求解、概 率功能度量求解的相应迭代格式，分析了两种方法描述概率约束的特点，尤其是澄清了 概率功能度量求解优化模型提法的问题。在R 执方法中，通常得到正的可靠指标。但如 果功能函数值在原随机变量空间的均值点为负( 失效概率大于5 0 ) ，可靠指标应该冠 以负号。有文献认为，与此相应，在P M A 法中计算概率功能度量时也需要根据可靠指标 的正负号，求功能函数的极小或极大值。笔者通过算例计算和图形分析证实：功能函数 值在原随机变量空闻的均值点为负即负可靠指标时，用极大化功能函数值求解概率功能 度量可能会将不满足的概率约束错误判

4、断为满足，若仍然用极小化则能得到与R n 等效 的正确结论。然后简单证明了这个观点，结合文献已有证明，得出结论：无论功能函数 值在原随机变量空间的均值点为正还是为负，都应该用功能函数值的极小值来确定概率 功能度量。这一结论澄清了采用P M A 描述概率约束进行优化设计时必须解决的一个问 题，为建立正确有效的优化算法提供了基础。( 第二章) 2 为了解决概率结构优化设计传统两层次优化模型计算量大的缺点，论文将成功 应用于确定性结构优化问题求解的序列近似规划( S A P ) 策略引入到基于P M A 的概率结 构优化设计中，通过构造和求解一系列的近似规划问题以获得原问题的解。在近似规划 模型中，

5、与通常的T a y l o r 线性近似不同的是，采用近似的概率功能度量及其灵敏度而不 是当前设计点的精确概率功能度量及其灵敏度来构造概率约束的线性近似。论文证明了 概率结构优化设计的高效算法研究 在最优点附近两种线性近似仅相差一个二阶小量。最后编制程序实现了这算法，并与 通用软件实现连接，可用来求解工程实际结构的概率优化设计。通过对文献中多个常见 算例，包括一个有1 4 4 个功能函数的算例的分析计算，验证了该序列近似规划算法实现 了外层结构优化和瞧层橛率功能度量计算的同步收敛。和其它方法相比。该方法是正确 的、高效的，目标可靠度的商低和随机变量的分布类型对这个结论基本上没有影响。( 第 三

6、章) 3 从混沌动力学理论出发，分析功能度量法中改进均值( A M v ) 迭代格式求解的周 期振荡、混沌等收敛失败问题：然后介绍离散动力系统混沌反馈控制的稳定转换法，利 用稳定转换法对A b I V 迭代格式实旅收敛控制，使嵌入周期和混沌轨道的不稳定不动点 稳定化，获得稳定收敛解，从而使概率约束的评定能正常进行；最后再由两层次算法或 序列近似规划算法进行概率结构优化设计。算例结果表明：引入混沌控制策略能够比较 顺利地解决因为概率约束迭代求解的振荡、混沌等不收敛现象导致优化失败的问题，实 现收敛控制；引入混沌控制策略的序列近似规划算法相对两层次算法仍有相对高效的优 点。另外，对于被认为难于处理

7、的均匀分布随机变量的概率优化问题，混沌反馈控制的 稳定转换法提供了条较有效的求解途径。( 1 1 ) x k ，X 2 ，是基本随机变量向量，表示与结构功能有关的M 个不确定性参数。超 曲面g ( x ) ；o 将结构的基本参量空间分为失效域( g ( x ) t o ) 和安全域( g ( x ) o ) 两部分。 结构失效概率定义为： 弓。正( 1 k o ，( x ) 斑。C ( 0 ) ( 1 2 ) 其中，( x ) 足x 的联合概率密度函数，t ( ) 是功能函数g ( x ) 的累积分布函数。当然也可 以将原始随机向量X 变换为标准正态分布向量u ( 各分量为均值为0 ，标准差为

8、1 的相互 独立正态分布随机变量) ，写作U T ( x ) ，或者x T 。( u ) ，从而功能函数g ( x ) 一 g ( r “( u ) 一G ( u ) ，结构失效概率又可以写为： 弓。正( ，加s ( x ) d x4 厶舯妒( u ) 如 ( 1 3 ) 这里妒( u ) 是标准正态随机向量的联合概率密度函数。求出结构失效概率后，结构可靠 度就可很容易写出； R l 一只( 1 4 ) 在U 。r ( x ) 变换中比较重要的交换方法是R o s e n b l a t t 于1 9 5 2 年提出来的等概率分布 函数的变换方法。R o s e n b l a t t 变换需

9、要用到联合概率密度函数，然而实际工程中较为容 易获得的是各随机变量的边缘分布以及它们之间的相关系数，联合概率密度函数往往很 难确定，这种情况下无法直接利用R o s e n b l a t t 变换。因此N a t a f 于1 9 6 2 年提出了一种近 似的变换方法：在R o s s e n b l a t t 变换基础上假定随机变量问的相关性保持不变，对它们分 别单独进行概率变换，这种变换常称为R o s e n b l a t t N a t a f 变换1 2 2 1 。般除正态分布外， R o s e n b l a t t N a t a f 变换过程是非线性的，因丽功能函数G

10、( u 1 通常是非线性的。 由式( 1 3 ) 可见，结构可靠性分析的关键是联合概率密度函数在失效域上的积分运算。 它的求解方法包括解析法、近似数值法和模拟法。只有当积分域非常规则且被积函数比 较简单的情况下才可能由解析法得到准确的失效概率值，更多的时候需要利用数值方法 一2 一 大连理工大学博士学位论文 近似求解。由于直接利用数值积分的办法( 如S i m p s o n 公式、L a g u e r r e G a u s s 积分公式、 G a u s s H e r m i t e 积分公式等) 需要花费大量的计算时间，其应用范围也非常有限，所以一次 - - 次可靠度算法( F i

11、r s tO r d e rR e l i a b i l i t yM e t h o d ，F O R M S e c o n dO r d e rR e l i a b i l i t yM e t h o d ， S O R M ) 以及其它一些近似计算方法得到发展和完善。这些近似方法都要求概率密度函数 连续，对于离散性的随机变量不再适用，而M o n t eC a r l o 模拟法则没有这个限制。 R a c k w i t z 6 1 、B j e r a g e r 7 1 、L i u & K J u r e g h i a n 2 3 】和贡金鑫等【2 4 H 2 6 】总

12、结回顾了结构可靠性理论 和算法的发展，评述了各种近似算法的优缺点，并且讨论了可靠性分析在实际工程上的 应用问题。下面简单介绍各种可靠性分析方法。 M o n t eC a r l o 模拟法( M C s ) 又称随机抽样法或统计试验法，是利用大量的随机抽样进 行统计试验，以求得的统计特征值( 如均值) 作为待解问题的数值解。采用M C s 进行可靠 性分析时，首先生成0 到1 之间均匀分布的随机数，根据各随机变量的分布类型进行概 率转换，然后作为随机变量的一个实现把它代入功能函数判断是否小于0 ，小于O 则认为 失效，大于0 则表示安全，最后定义失效概率等于导致结构失效的抽样点数与总抽样数

13、的比值。 M Q 的优点是程序容易实现，稳健性好，可以考虑任何分布类型，而且功能函数的 形式对计算结果没有影响。这种方法的最大缺点是效率比较低，为了获得一定精度的结 果通常需要进行大量抽样，计算方面的花费比较多，特别是当功能函数的计算需要借助 有限元分析时情况尤甚。M C s 按照抽样方式的不同可以分为直接抽样法和改进抽样法。 改进抽样法主要有重要抽样法【2 7 1 、方向抽样法脚】例、条件期望法例、轴正交抽样法【3 1 1 等。 即使采用这样或那样的抽样技巧提高效率，M Q 需要的计算量仍然比较大，所以工 程界多采用近似的方法，其中应用最广泛的是一次，二次可靠度计算方法( F o R M s

14、 0 R M ) ， 它们源自上世纪4 0 年代提出的二阶矩模式。需要指出的是通常的二阶矩模式仅利用了随 机变量的均值和标准差，而一豺二次可靠度计算方法则考虑了随机变量的概率分布，是 一种全概率的计算方法【”。下面介绍F O R M 方法。 工程实际可靠性分析中通常不是直接求解失效概率只，而是采用与失效概率相联系 的可靠指标声来衡量可靠性【3 2 J 。1 9 7 4 年H a s o f e r L i n d 提出结构可靠指标定义为标准 正态空间内坐标原点到极限状态曲面的最短距离【3 3 1 ，即可靠指标的求解表述为在标准正 态空间U 中的一个优化问题： 概率结构优化设计的高效算法研究 m

15、 i l l S t o ( u ) - 0( 1 5 ) 从而芦- l u 该优化问题的最优解u 称作验算点或设计点，对应原始随机向量空间的点是 x 一T 4 ( u + ) 。因为标准正态概率密度会随到原点的距离呈指数下降，而优化问题( 1 5 ) 的最优解u 是所有失效点中距离原点最近的点，构件失效最可能在此处发生，因此u 又 称为最可失效概率点( M o s tP r o b a b l eF a i l u r eP o i n t ，M P F e ) 。求解优化模型( 1 5 ) 可以采用 常用的优化算法：梯度投影法、罚函数法、增广L a g t a n g i a n 法、序列

16、规划法等，也可 以使用H L - R F 迭代格式1 3 4 1 。H L - R F 迭代格式完全可以由优化问题( 1 5 ) 的K o r u s h K u h n T a c h e r ( 【l 条件推导而来【2 2 1 ，具体推导见第二章。 求解出可靠指标口，结构的失效概率定义为 0 一中( 一声) ( 1 0 其中垂( ) 是标准正态分布函数。必须指出。只有在基本随机变量服从正态分布，互不相 关。丽且功能函数是随机变量的线性函数的情况下，( 1 国式才为精确表达式。 由于该计算中失效面用一个超平面线性近似，又因为在标准化变换中依据的不仅是 随机变量的前两阶统计矩，还涉及它的概率分布函数，该计算过程被称作一次可靠度算 法F O R M 。 一次可靠度算法以其计算简便、在大多数情况下计算精度能满足工程应用要求而为 工程界所接受，但在有些情况下，如结构功能函数在验算点附近的非线性程度较高，或 者随机变量的分布偏离正态分布比较远时，一次可靠度分析方法的结果