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1、 牛 P 。 擞 7( 2 0 1 0 年 第 7 期 高 中 版 ) 复习参考 基于“一题多解“与“ 变式“的数学复习课案例 4 3 3 3 2 3 湖北省监利县赤卫中学 胡志兵 复习课的教学 目标是为 了巩 固和加深所学知识 ， 使 知识系统化； 使学生在掌握复习内容的知识结构的同 时 ， 培养 学生的概括 能力 、 运用知 识的能力 和终 身学 习 的习惯 长期的教学实践使我们体会到： 无论是基础教 学 ， 还是高三数 学复 习都不能在 同一水 平上简单 重复 ， 更不能使学生成 为解 题 机器 和知 识 的存 储器 ； 练不 在 多 ， 而在于精 ， 因此 ， 恰 当适 量地采用 “
2、一题 多解 ” 与“ 变 式 ” 教学 ， 进行多角度的解题 思路 分析 ， 探 讨解题 规律和 解题方法与技巧 ， 对学生巩 固基础知识 、 形成知识 网络 ， 提高解题技 能， 发 展逻辑思维 ， 提高分析 问题 与解决 问 题的能力 ， 势必事半功倍 下面展示 笔 者一 节 高三 数学 复 习课案 例 ， 以资交 流 1 展示问题 。 引入课题 ( 2 0 0 9年浙江卷 的第 l 7题 ) 如图 1 ， 在长方形 A B C D 中， A B= 2 ， B C = 1 ， E为 D C的 中点 ， F为线段 E C ( 端点 除 外) 上一动点 现将 A F D沿 A F折起 ， 使平
3、面 A B D上平 面 A B C 在平面 A B D内过点 D作 D KL A B， K为垂足 设 A K = t ， 则 t 的取值范围是 D C 图 1 2探讨解法 。 总结规律 “ 儿童 的智慧 在他们 的指 尖上 ” 心理 学 实验 也证 明 ： 认 知的发生和发展是通过人 的活动来实现 的 因此 ， 解题 时要结合题中情节引导 学生进行一些 操作活动 ， 让 学生在真 实、 具体 的操作情境 中丰 富感 知 ， 在身 临其境 中得到启发 ， 激 活思维 ， 从而探求其解法 学生动手操作， 折纸实验 ( 1 ) 直 观感知 ： 当沿对角线 A C折起 时， 点 离点 A 最近， 此刻
4、A K最短； 随着点，逐渐向点E靠近， K离点A 越来越远 ， A K也越来越长 ； 1 0 ( 1 ) 当纵断 面为正三角形 时 ， 设共堆放 n层 ， 则 从上到下每层 圆钢根数是 以 1 首项 、 公 差均为 1 的等差 数 列，且 剩 余 的 圆 钢 一 定 小 于 n根，从 而 由 f 2 o o 9 一 n ， 9 ， 渭 2 圆钢尽可能地少 ， 此时剩余 了 5 6根 圆钢 ( 2 ) 当纵断面为 等腰 梯 形时 ， 设 共 堆放 n层 ( 如 图 1 2 ) ， 则 从上 到下每层圆钢根数是以 为首项 、 l为公 差的等 图 1 2 差数列 ， 从 而 船+ 1 n ( n 一
5、 1 ) =2 0 0 9 ， 即 r ( 2 x + n - 1 ) =2 2 0 0 9 = 2 7 x 7 4 1 ， 因为 n 一 1 与 n的奇偶性不 同， 所 以 2 x + n 一 1与 n的 奇偶性也不 同， 且 n 2 x + n 一 1 ， 从而 由上述等式得 器 74 ， 8 7 ， 8 ， 前f = 4 9 ， 1 2 x + n l ： 8 2 。 所 以共有 4种方案可供选择 因层数越多， 最下层堆放得越少， 占用面积也越 少 若 n = 4 1 ， 则 ： 2 9 ， 说 明最上层 有 2 9根 圆钢 ， 最下 层有 6 9根圆钢 ， 此时如图所示 ， 两腰之 长
6、为 4 0 0 e ra， 上下 底之长为 2 8 0 c m和 6 8 0 e m， 从而梯形之高为 2 0 0 4 “ c m， 而 2 0 0 + 1 0 + 1 0 4 0 0 ， 所以符合条件 ； 若 n = 4 9 ， 则 =1 7 ， 说明最 上层有 1 7根 圆钢 ， 最下 层有 6 5根圆钢 ， 此时如图所示 ， 两腰 之长为 4 8 0 e m， 上下 底之长为 1 6 0 e ra和6 4 0 c m， 从而梯形之高为2 4 0 4 e n l ， 显 然大于 4 m， 不合条件 ， 舍去 综上所述， 选择堆放4 l 层这个方案， 最能节省堆放 场地 ( 收稿 13 期
7、： 2 0 1 0 0 3 ) ( 本栏目主持人甘志国) 复习参考 - 擞 7 ( 2 o l o 年 第7 期 高 中 版 ) 4 5 ( 2 ) 确认范 围： 当AA F D沿 A E折起时 ， 点 即为 A B 的中点 日； 当 AA F D沿 A C折 起 时 ， AA B D AC B D且 AA H D为正三角形 ， 故 为 A H的中点 综合( 1 ) ， ( 2 ) ， 得 1 在上 面的活 动 中， 虽 然 学 生 从 “ 感 性 ” 上 升 到 “ 理 性” 的认识过 程中解决 了问题 ， 但笔者认为 ， 这 只是对 于 解题“ 一时之难 ” 的权 宜之计 ， 不利于学生抽
8、 象思维能 力 的培养提高 因此 ， 师生有必要再探讨问题的其他解法， 并总结解题 要点 分析 1 当点 ，确定 时 ， 不难发 现折叠 以后 的立体 图也随之确定 ， 若令 D F = x ， 则 1 2 ， 且 t 可 以表示 成关 于 的函数 ， 再 求 出 函数 的值域 ， 即可得 到 t 的取 值 范 围 解法 1 由题意可知 ， 二面角 D 枷一 C是 直二面角 ， 又 D K_ L A B， 所 以 上平面 A B C， 作 K G上A F于 G ， 连 接 D G ， 则 D G上A F， 故在 折叠 前 ， D， G， K三点共 线 ， 因此 问 题又可 回归到 平 面 图形
9、 之 中 ， 设 D F= ， 则 1 2 ， 在 R t aA DF 和 Rt AK A D中， A D K=G A K=LA F D， 所以 , A而 D= ，所 以 A D 2 =l ， 故 拄 ( 1 2 )， 所以- 4 - - f 1 点评解 决本题 的关 键是 目标 函数 的建立 ， 如何 把 t 表示成关于 的函数， 即如何得到关于 和 t 的方程； 由于折叠前后仅仅 是AD A F与 四边形 A B C F的相对 位置 发生了变化 ， 因此 和 t 的大小在折 叠前后 是不变 的 ， 上 述解法的可取之处是 在找关 于 和 t 的方 程时 ， 回归 到 平面图形 中解题 3转
10、换视角 。 优化解法 每个 学生都 有 自己独 特 的先天 生理 遗传 与认 知 基 础及思维方 式 这种认知差异 不可避免 地影响 到个体 的 学习 活动 ， 在新 知建构 和解 决问题 的过程 中， 表现 为 从 不同角度进行分析、 思考， 由此产生不同的算法 数学 课程标准 也 指出“ 由于学 生生活 背景和 思考 的角度 不 同， 所使 用的方 法必然 是 多样化 的 ， 教师应 尊重学 生 的 想法 ， 鼓励学生 独立思 考 ， 提 倡计 算方 法 的多样 化 ” 因 此 ， 算法 多样化 、 一题 多解是 尊重 学生个 体差异 的必 然 结果 问题是否还有其他 的解决途径?一部分学
11、生从不 同的视角看这个 问题 ， 得 到几种新解法 ： 分析 2注意 到立 体 图形 中 ， D K上平 面 A B C ， 因此 可以点 为原点建立空间坐标系 ， 用坐标 法解之 解法 2在空 间图形 中 ， 建 立空间直角 坐标系如图 2所示 ， 设 F C=m， 则 O m l ， A ( 0 ， 一 t ， 0 ) ， F ( 一1 ， 2 一 f m， 0 )， D ( 0 ，0 ， ) ， 图2 所以 = ( 0 ， t ， ) ， 砀= ( 1 ， t + m 一 2 ， ) ， 由于 A D上D F ， 所 以A D 面 = t ( t + m一 2 ) + 1 一 t = 0
12、 ， 1 1 即 t = 一( 0 m 1 )， 故有- - t 1 厶 一 H 厶 点评本解法 的基本思路与 解法一本 质上相 同 ， 即 用 目标 函数法解 之 ， 仅仅是 使用 的工具 不 同而 已， 其关 键仍是“ 发现 ” AD A F为直角三角形 分析 3 由于 LF A B的大小 确定 时 ， 点 F也随 之确 定 ， 折叠后 的立体图形也确定了 ， 因此也可 以选择 F A B 为 目标函数 的变量 ， 仍通过求 目标函数的值域解题 解法3 设 曰=0 ， 则 _ D A F= 一 0 ， 设折叠后 二 D A K= ， 则 t = A K= A D c o s p = c o
13、 s t p 由于二 面角 D 曰 一 C是直二面角 ， 所以 c o s ，=C O S K C O S ， 即C O S f 3竹 - 一 = c o s O c o s ， 所 以c o s o = t a n O 、 一 ， 1 由于点 F在线段 E C上( 不包括端点 ) ， 所以 1 t a n 0 二 1 l ， 从而有- if - t 1 点评本解法之所 以比前 面给 出的解法 简单 ， 其主 要原因是我们选择 了一 个“ 好 的变量 ” 通常情 况下 ， 在 用 目标函数法解立体几何范 围问题 时 ， 选 择角 的大小为 变量比选择线段长为变量要简捷一些 求异思 维和求 同思
14、维是对立 统一 的 ， 引 导学生从个 别现象 中探 索共 同规律 ， 概括 出解题 的一般方法 相 当重 要 ， 这 样才能达到解决数学问题的“ 举一反三” 、 “ 融会贯 通” 的“ 营养价值” 功效 ， 培养学生的抽象概括能力 ； 但在 数学教学中有些教师常常忽视了教学中的归纳概括， 孤 立地看待多解 中的各种解法 ， 从 而使学 生 的思维滞 留在 感性阶段 ， 不能产生质 的飞跃 解题小结综观 以上解法 ， 可 以发 现它们 的共 同之 处： 运用函数思想将一个量表示为另一个量 的函数关 系， 有变量就有函数， 函数思想为我们提供解决问题的 4 6 审 7 擞-7 ( 2 0 1 0
15、 # - g 7 期 高 中 版 ) 复习参考 一 个“ 切人点 ” 正如一个著名的数学 家所言 ， “ 一般受 教 育者在数学课上 应该学 会 的重 要事情 是用变量 和 函数 来思考” “ 一 题 多解” 是从数学知识的各种 不同角度 ， 运用不 同的思维方法 去解决 同一个 问题 因此所 涉及 的知识 、 方法 、 思想较单 一 ， 方法解题 更广 、 更 灵活 随 着学 生 的 思维逐步 深入 ， 马上又有 学生通过构 造法补形 ， 凸显 问 题本质 ， 课堂因变化的奥妙而推 向精彩的高潮 分析 4 根据条件 中的面面垂直 的性质特征 ， 可 以 补形为长方体 利用 AA B D的边 A B ， A D为定值， 确定 四 棱锥 D- A B C F的顶点 D的轨迹 ， 以求 t 的取值范 围 解法 4 依题意， 平 面 A B D上平面 A B C ， 将 四 棱锥 D A B C F补 形成 长A 一 方 体 A B C D 2 - A l B 1 C 。 D 。 ， 如 图 3 因为点 D在平 面 A 。 内， 又 有 A D=1 图3 为定值 ， 所 以四棱锥 D - A B C F的顶点 D的轨迹为在平面 M 。 曰 。 曰内， 以点 A为 圆心 ， 1为半 径 的圆弧 A 日的一 部 分， 又动点 在线段 E C ( 端点除外) 上， 所以易知 A K= t
