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1、南京航空航天大学 博士学位论文 某些非线性孤立波方程（组）的数值算法研究 姓名：王廷春 申请学位级别：博士 专业：一般力学与力学基础 指导教师：张鲁明;陈芳启 20080301 南京航空航天大学博士学位论文 i 摘 要 一切耗散效应可以忽略不计的物理过程都可表示成保持能量守恒且辛几何 结构不变的哈密尔顿系统的形式,它在自然界中具有普适性,也就是说大多数孤 子方程都可以表示成哈密尔顿形式 现代数值计算的基本原则是尽可能保持原问 题的本质特征因此,研究保持哈密尔顿系统的能量守恒性及辛几何结构特征的 数值方法是必然的但对很多非线性孤立波方程尤其是非线性耦合孤立波方程 组而言已有的守恒差分格式多为隐式
2、耦合格式计算中需要耗费大量机时且 普遍精度不高还有一些非线性耦合方程组则很少见到守恒差分算法的数值研 究即使出现一些算法也缺少必要的理论证明而辛和多辛算法发展到今天其 对非线性方程(组)的数值解至今为止尚很少见到严格的收敛性和稳定性分析 本文对一些非线性孤立波方程和非线性耦合孤立波方程组进行了数值研究 提出了一些新的守恒差分格式其中包括一些显式守恒差分格式提出了几个新 的重要不等式结合能量分析方法给出了所有这些守恒差分格式的收敛性稳定 性等必要的理论分析尤其是对于显式差分格式我们综合运用数学归纳法和能 量分析方法避开了较难的先验估计而直接证明了它们的收敛性和稳定性非线 性方程的辛和多辛差分算法
3、的收敛性及稳定性证明是一个 20 几年来的公开问 题本文以非线性耦合 Schrdinger 方程组的数值求解为例首次给出了辛和多 辛差分算法的严格收敛性和稳定性证明该方法可推广到其它非线性方程组 的辛和多辛差分算法的收敛性证明对一类带阻尼项的非线性 Schrdinger 方程 构造了两个新的差分格式克服了较难的先验估计证明了近似吸引子的存在性 和差分解的长时间收敛性及稳定性 关键词关键词非线性孤立波方程组哈密顿系统守恒差分算法辛几何算法 迭代算法, 近似吸引子长时间先验估计唯一可解性收敛性稳定性. 某些非线性孤立波方程(组)的数值算法研究 ii ABSTRACT All the physica
4、l courses whose dissipative effects are negligible can be expressed as Hamiltonian systems which preserve energy conservation and symplectic geometric structure. The Hamiltonian system is universal in the nature, in other words, most soliton equations can be written into Hamiltonian formalism. The b
5、asic principle of modern numerical computation is to preserve the intrincal character of the original problems. Therefore, it is necessary to study numerical methods which preserve the energy conservation or the symplectic structure of the Hamiltonian system. However, most known conservative schemes
6、 for many nonlinear solitary wave equations are implicit and coupled. There even exist some nonlinearly coupled equations which have no conservative finite difference schemes, or have very few conservative schemes without essential numerical analysis. Up to now, there is very few rigorous numerical
7、analysis for the stability and convergence of the symplectic and multisymplectic difference schemes for nonlinear partial differential equations, i.e., it is an open problem. In the dissertation, some nonlinear solitary wave equations and some nonlinear coupled systems of solitary wave equations are
8、 numerically studied, some new conservative schemes including some explicit ones for these equations are constructed. Some new inequalities are proposed which and discrete energy analysis method are used to prove the convergence and stability of all the schemes. For the convergence of those explicit
9、 schemes, it is known that the prior estimates of their numerical solutions are difficult to obtain. In order to avoid obtaining the prior estimates, mathematical induction method and discrete energy analysis method are used to prove the convergence. Taking the symplectic and multi-symplectic differ
10、ence method for solving the nonlinearly coupled Schrdinger equations as an example, the rigorous proof of the convergence of symplectic and multi-symplectic difference algorithm are given. The method of proof can be extended for symplectic and multi-symplectic schemes of other equations. A nonlinear
11、 Schrdinger equation with a weakly damped term which possesses a global attractor is also numerically analyzed. The difficult proof of long-time estimate is overcomed, the approximate attractor is obtained and the long-time stability and convergence of the two numerical schemes are proved. Keywords:
12、 Nonlinear Solitary Wave Equations, Hamiltonian System, Conservative Difference Scheme, Symplectic Geometric Algorithm, Iterative Algorithm, Approximate AttractorLong-time Error Estimate, Unique Solvability, Convergence, Stability. 某些非线性孤立波方程(组)的数值算法研究 vi 图表目录 表 3. 1 当 0012 30,25,1,1. LR xxDVrr=1=at
13、 40=t时两格式 取相同步长时所用 CPU 时间. 42 表 3. 2 当 0012 30,25,1,1. LR xxDVrr=1=at 40=t时 格式 2 3 取相同步长时所用 CPU 时间45 表 4.1 0.5,0.5=时格式 1 的精度.65 表 4.2 0,0.5=时格式 1 的精度 65 表 4.3 0,0=时格式 1 的精度65 表 4.4 0.5,0.5=时格式 2 的精度.65 表 4.5 0,0.5=时格式 2 的精度 66 表 4.6 0,0=时格式 2 的精度66 表 4.7 0.5,0.5,0.05h=时格式 1 的守恒量, nn QE 的部分数据 .66 表 4
14、.8 0,0,0.05h=时格式 1 的守恒量, nn QE 的部分数据 67 表 4.9 0.5,0.5,0.05h=时格式 2 的守恒量, nn QE 的部分数据 .67 表 4.10 0.5,0.5,0.05h=时格式 2 的守恒量, nn QE 的部分数据 67 表 5.1 20,20,9 LR xxt= =时格式(5.1.1)-(5.1.4)的精度 91 表 5.2 20,20,9 LR xxt= =时格式(5.2.1)-(5.2.4)的精度 92 表 5.3 当20,20,18 LR xxt= =时两格式的| | 误差 92 表 6.1 格式 1 的精度.108 表 6.2 格式
15、2 的精度.108 表 6.3 当0.2,0.01h=时 2 个格式的精度 .108 表 6.4 当0.2,0.01h =时 2 个格式的精度 .108 表 6.5 当0.4,0.005h =时 2 个格式的精度 109 表 6.6 100,0.1 LR xxh=时格式 1 的守恒量 12 , nnn Q QE109 表 6.7 100,0.1 LR xxh=时格式 2 的守恒量 n E109 图 3.1 当40, 0(t 4 . 0=h,1=,180= RL xx 00 25,1,DV= 12 1rr= 时格式 3 的守恒量. 43 图3.2 当40, 0(t,0.1,0.05,h= 00
16、25,1.15,2/3,DV= ,40= RL xx 12 1rr= 时由格式 3 所计算的孤立波碰撞.44 图3.3 当(0,100t,0.1,0.05,h=0.3 =, 00 20,0.4,DV= ,40= RL xx 12 1rr= 时由格式 3 所计算的孤立波碰撞.44 图3.4 当(0,40t,0.1,0.05,h=3 =, 00 20,1.2,DV= ,40= RL xx 12 1rr= 时由格式 3 所计算的孤立波碰撞.45 图 5. 1 碰撞孤立波的数值模拟.68 图 6. 1 碰撞孤立波|U n|和 Nn的数值模拟.92 承诺书 本人郑重声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下独立 进行研究工作所取得的成果尽我所知除文中已经注明引用的内容 外本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容对本 论文所涉及的研究工作做出
