《华东理工线性代数4-1-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《华东理工线性代数4-1-2（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、Ch4 向量空间向量空间 第一节向量组的线性相关 与线性无关 第一节向量组的线性相关 与线性无关 阵一、向量、向量组与矩 二、线性相关性的概念 三、线性相关性的判定 阵一、向量、向量组与矩 二、线性相关性的概念 三、线性相关性的判定 性质四、向量组的线性相关性质四、向量组的线性相关 五、线性表示、线性相关以及 线性无关三者的关系 五、线性表示、线性相关以及 线性无关三者的关系 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组向量组 例如维列向量个有矩阵 例如维列向量个有矩阵mnaijA nm )( = = = = aa
2、aa aaaa aaaa A mnmjmm nj nj LL MMMMMM LL LL 21 222221 111211 a1 . , , 的列向量组称为矩阵向量组的列向量组称为矩阵向量组AL a1a2an 一、向量、向量组与矩阵一、向量、向量组与矩阵 a2ajana1a2ajan 维行向量个又有矩阵类似地维行向量个又有矩阵类似地nm ij a A nm )( , = = = = aaa aaa aaa aaa A mnmm inii n n L MLMM L MLMM L L 21 21 22221 11211 T 1 T 2 T i T m T 1 T 2 T i T m 向量组向量组,
3、, ，称为矩阵，称为矩阵A的行向量组的行向量组 T 1 T 2 T m 矩阵构成一个 组维列向量所组成的向量个 矩阵构成一个 组维列向量所组成的向量个 nm nm m , 21 L 矩阵构成一个 的向量组 维行向量所组成个 矩阵构成一个 的向量组 维行向量所组成个 nm nm T m TT , 21 L = = T m T T B M 2 1 ),( 21m A L= = b 2211 = =+ + + + xxx nn L =+ =+ =+ =+ 线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示 = =+ + + + . , , 2211 22222121 11212111 bxaxaxa bxax
4、axa bxaxaxa mnmnmm nn nn L LLLLLLLLLLLLLL L L 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应 ，组实数 ，对于任何一给定向量组 ，组实数 ，对于任何一给定向量组 m m kkk A , ,: 21 21 L L 定义定义 . , 21 个线性组合的系数 称为这， 个线性组合的系数 称为这， m kkkL，称为向量组的一个 向量 ，称为向量组的一个 向量 2211mm kkk+L 线性组合线性组合 mm b L+ + += = 2211 ，使，一组数 如果存在和向量给定向量组 ，使，一组数 如果存在和向量给定向量组 m
5、m bA , ,: 21 21 L L . 2211 有解 即线性方程组 有解 即线性方程组 bxxx mm =+=+L 的线性组合，这时称是向量组则向量的线性组合，这时称是向量组则向量Ab向量能 由向量组线性表示 向量能 由向量组线性表示 b A 有解，也就是方程组有解，也就是方程组bAx = = ., 21n A L= =其中，其中， .),( ),( 21 21 的秩， 的秩等于矩阵，条件是矩阵 线性表示的充分必要能由向量组向量 的秩， 的秩等于矩阵，条件是矩阵 线性表示的充分必要能由向量组向量 bB A Ab m m L L = = = = 定理1定理1 例：例： 123 2100 3
6、010 0001 b = = 向量可由向量组， = = 向量可由向量组， 123 230b = =+线性表示，且为：+线性表示，且为： ()()r Ar B=即=即 = 0100 3010 2001 , 321 bbAB 121 112 235 026 2 115 319 . b b = 例， 证明 可由，线性表示，并写出表达式 = 例， 证明 可由，线性表示，并写出表达式 解解: 112 b 若 可由，线性表示若 可由，线性表示 11 1212 22 , xx xxb xx = 则存在使得 = 则存在使得 121 235 026 ,| 115 319 b = = 13 13(2) 4(3)
7、r r r 115 026 0515 026 2 23 24 1 () 2 ( 5) ( 2) r r r 21 1 ( 1) ( 1) r r 1 2 2 3 x x = = 112 23b = 115 013 000 000 102 013 000 000 1212 2 :,:,. . ms AB BA BAA B LL 定义设有两个向量组 及 若 组中的每个向量都能由向量组 线性表示，则 称向量组 能由向量组若向量组 与向 量组 能相互线性表示，则称这两个 LL 定义设有两个向量组 及 若 组中的每个向量都能由向量组 线性表示，则 称向量组 能由向量组若向量组 与向 量组 能相互线性表示
8、，则称这两个 线性表示 向量组价 线性表示 向量组价. .等等 0 , ,: 2211 21 21 =+=+ mm m m kkk kkk A L L L 使全为零的数 如果存在不给定向量组定义 使全为零的数 如果存在不给定向量组定义 二、线性相关性的概念二、线性相关性的概念 则称向量组 是则称向量组 是线性相关线性相关的，否则称它的，否则称它线性无关线性无关A 2包含零向量的任何向量组是线性相关的包含零向量的任何向量组是线性相关的 3.0 ( = 单个向量线性相关 两个向量线性相关对应分量成比例 共线） 三个向量线性相关共面 = 单个向量线性相关 两个向量线性相关对应分量成比例 共线） 三个
9、向量线性相关共面 注意注意: 1. ,.对于任一向量组 不是线性无关就是线性相关对于任一向量组 不是线性无关就是线性相关 12m L向量组， ， ，的线性相关性L向量组， ， ，的线性相关性 0 Ax=有无非零解=有无非零解 1 2 12 ,0 m m x x x = = L M L M 1122 0 mm xxx +=L+=L ( )r Am个维向量组成的向量组，当时 必线性相关 性质2性质2： 12 ,. m m L个向量线性相关L个向量线性相关 证明证明 12 (,) n mm A = =L令，L令， ( )min( ,),r An mm QQ 11 , mmn LLL线性相关 线性相关
10、LLL线性相关 线性相关 性质3性质3： 逆否命题逆否命题 11 , mnm LLL线性无关线性无关LLL线性无关线性无关 说明：说明： 含有线性相关组的向量，必线性相关含有线性相关组的向量，必线性相关 线性无关组的部分必线性无关线性无关组的部分必线性无关 ), 2 , 1(, , 2 1 2 1 mj a a a a b a a a jsr rj j j j rj j j j LM M = = = = = = + + 性质4性质4 1212 , mm b bb LL线性无关也线性无关LL线性无关也线性无关 逆否命题逆否命题 1212 , mm b bb LL线性相关线性相关LL线性相关线性相关 说明：说明： 原向量组线性相关，“截短”后也线性相关原向量组线性相关，“截短”后也线性相关 原线性无关向量组，“加长”后也线性无关原线性无关向量组，“加长”后也线性无关 4例试判断向量组例试判断向量组 , 5 2 0 0 1 1 = = 2 0 1 ,0 7 5 = , 3 2 1 0 0 3 = = 的线性相关性.的线性相关性. 1:解法解法 1 2 1 123 123 0 272 553 k k k kkk kkk
