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1、第3章 单自由度系统强迫振动1 第3章 单自由度系 统强迫振动 第3章 单自由度系统强迫振动2 系统在外部激励作用下的振动称为受 迫振动或强迫振动。 自由振动只是系统对初始扰动(初始 条件)的响应。由于阻尼的存在,振动现象 很快就会消失。 要使振动持续进行，必须有外界激励 输入给系统, 以补充阻尼消耗的能量。 第3章 单自由度系统强迫振动3 所谓谐和激励就是正弦或余弦激励。 3.1 单自由度系统在谐和 激振下的强迫振动 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 设激励为F(t)=F0sinwt，这 里w为激振频率，利用牛顿定 律并引入阻尼比x 可得到 第3章 单自由度系统强迫振动4 齐次方程
2、的通解上章已经给出。设其特解为: 代入方程确定系数X0和f为： 其中： 为频率比。 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 3.1.1 非齐次方程的特解（P33-34） 第3章 单自由度系统强迫振动5 的全解为： 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 3.1.2 非齐次方程的通解 瞬态振动和稳态振动的叠加(P39-40) 方程 第3章 单自由度系统强迫振动6 系数A1和A2由初始条件确定。设t0时, 则： 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 第3章 单自由度系统强迫振动7 所以线性阻尼振动系统在正弦激励作用下的响 应（解）最终表示为: 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振
3、动 上述解的第一部分代表由初始条件引 起的自由振动; 第3章 单自由度系统强迫振动8 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 第二部分 代表由干扰力引起的自由振动。 这两部分都是衰减振动，随时间的推移而消 失，称为瞬态响应或暂态响应； 最后只剩下第三部分 ，代表 与激振力同形式的等幅的强迫振动，称为稳态响 应，这才是我们最关心的。 第3章 单自由度系统强迫振动9 若为余弦激励, 则响应（解）为： 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 系数X0和f与正弦激励相同。 第3章 单自由度系统强迫振动10 无阻尼系统的响应（解） 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 余 弦 激 励 正
4、弦 激 励 第3章 单自由度系统强迫振动11 3.1.3 频率域研究方法 频率响应函数和复参数（P42-45） 将振动方程写为复数形式 其实部和虚部分别分别代表余弦和 正弦激励。令其特解为 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 第3章 单自由度系统强迫振动12 代入方程得到 令 H(w)称为复频率响应函数，是系统对频 率为w 的单位谐干扰力的复响应的振幅。 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 则 第3章 单自由度系统强迫振动13 令 求得C和f为 比较系数得 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 第3章 单自由度系统强迫振动14 由此得到 3.1 单自由度系统在谐和激振下的
5、强迫振动 第3章 单自由度系统强迫振动15 这里的X0与f和前面方法给出的结果一 样，即 分别取 z*式的实部和虚部就是对应于 余弦和正弦激励的稳态响应。 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 第3章 单自由度系统强迫振动16 稳态响应分析(P34-39) 1. 稳态响应xp=X0sin(wtf)的性质(P34) （1）在谐和激振条件下,响应也是谐和 的,其频率与激振频率相同; （2）谐和激励强迫振动的振幅X0和相位 角决定于系统本身的物理性质和激振力 的大小与频率，与初始条件无关; 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 第3章 单自由度系统强迫振动17 （3）强迫振动振幅X0的大
6、小，在工程 实际中具有重要的意义。如果振幅超过 允许的限度，构件就会产生过大的交变 应力而导致疲劳破坏，或影响机械加工 或仪表的测量精度。因此在振动工程中 必需控制振幅的大小。 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 第3章 单自由度系统强迫振动18 2. 幅频特性曲线（P35） 对于稳态响应，定义动力放大系数 R为响应的振幅X0与最大干扰力F0所引 起的静位移的比值： 以x为参数，画出R-r 曲线即幅频特 性曲线，表明了阻尼和激振频率对响 应幅值的影响。 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 第3章 单自由度系统强迫振动19 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 R r 第3
7、章 单自由度系统强迫振动20 讨论： r1时 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 振幅的大小主要决定于系统的惯性。这就是高速 旋转的机器正常工作时运转非常平稳的原因。 R r 第3章 单自由度系统强迫振动21 l r1（激振频率接近固有频 率）时，R迅速增大，振幅很 大，这种现象称为共振; 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 l 阻尼比x的影响: 阻尼越小，共振越厉害。 因此加大阻尼可以有效降低共振振幅。 l 共振位置：将R对r求导数 R r 第3章 单自由度系统强迫振动22 令其等于0得 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 而r1时 由此看出：当x很小时的R和Rmax
8、相差 很小，所以在工程中通常认为当wwn 时 发生共振。 第3章 单自由度系统强迫振动23 以x为参数, 画出f-r曲线 即相频特性曲 线,表明了阻尼 和激振频率对 相位差的影响 。 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 f 3. 相频特性曲线（P37） 第3章 单自由度系统强迫振动24 讨论： 从图中可以看出,无阻尼情况下 的曲线是由f0和fp 的半直线 段组成,在r1处发生间断; 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 f 有阻尼时f为在0p之间变化的光滑曲线,并且不论 f 取值多少,当r1时都有fp/2,即曲线都交于(1,p/2) 这一点。这一现象可以用来测定系统的固有频率;
9、r 时, fp, 激振力与位移反相, 系统平稳运行; r 0时, f0, 激振力与位移同相, 近似静位移. 第3章 单自由度系统强迫振动25 4. 品质因子（P36) 工程上通常把共振时的动力放大系数称 为品质因子，记为Q： 在频率响应曲线上用 的一条水平 直线在共振区附近截出两点q1、q2，对应于这 两点的激振频率为w1、w2， q1、q2 称为半功率 点，w1、w2 之差称为系统的半功率带宽。 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 第3章 单自由度系统强迫振动26 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 w1/ wn 1 w2/ wnr R q2q1 第3章 单自由度系统强迫振动
10、27 求出动力放大系数对应于两点q1、q2的 两个用x 表示的根。由 得 当x5或x1.414时，传递率减小，传递的力小于激 振力，且阻尼越小，效果越好。但若阻尼过小，经 过共振区时将产生过大的振动。 振动向基础的传递 第3章 单自由度系统强迫振动103 题3-36 重量为3000 N的机器，以刚度 系数600 N/cm及阻尼比x0.2的阻尼器支 撑，若在机器上加以按正弦规律变换的干 扰力，其频率与机器转速相同。求： （1）如果传递到基础上的力大于干扰力力 幅，机器转速应如何？ （2）若传递力的最大值小于干扰力力幅的 20，机器的转速应如何。 振动向基础的传递 第3章 单自由度系统强迫振动10
11、4 解： 固有频率为 （1）力传递系数应大于1，则： 解得： （2）力传递系数应小于20 即： 振动向基础的传递 第3章 单自由度系统强迫振动105 【例】汽车在5 m/周的简谐波形道路上行驶, 车速v=100 km/h, 已知汽车k=350 kN/m, 空载质量 m2=250 kg, 满载质量m1=1000 kg, 满载时阻尼比x1 0.5, 求满载和空载时汽车的振幅比。 解: 先求基础的激振频率。 周期为 振动向基础的传递 第3章 单自由度系统强迫振动106 阻尼系数 则空载时的阻尼比为 频率比 1.87（满载） 0.93（空载） 振动向基础的传递 第3章 单自由度系统强迫振动107 振幅
12、 （满载） （空载） 所以满载和空载时车辆的振幅比为 振动向基础的传递 第3章 单自由度系统强迫振动108 P55例3-3-2 弹簧质量 系统放在箱子中,箱子从 高h处自由落下。求 （1）箱子下落过程中,质 量块相对箱子的运动x; （2）箱子落地后传到地 面的最大压力。 振动向基础的传递 第3章 单自由度系统强迫振动109 解：（1）设m的绝对运动为x1，箱子的运动 为y，则x1x+y，运动方程为 即 利用杜哈美积分得响应： 不计m对箱子下落过程的影响，则 振动向基础的传递 第3章 单自由度系统强迫振动110 （2）落地后x和x1相同，以刚接触地 面时m的运动为初始条件做自由振动。 落地时间和箱子的速度为 此时m的运动情况： 振动向基础的传递 第3章 单自由度系统强迫振动111 因此落地后自由振动的振幅为 最大压力： 振动向基础的传递
