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1、绪论 1 课程名称微积分上 计划学时80 考核形式考试（学分） 课堂纪律作业问题 课前预习、重点听讲、简记笔记、 整理咀嚼、后作练习 2 参 考 书 目 微积分学习指导 高等数学 同济大学数学系 编（高等教育出版社） 3 1. 基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分(上册) (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程 主要内容 多元微积分 高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析 性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分 法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这 个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论
2、的观 点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。 由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学 有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点： 概念更复杂理论性更强 表达形式更加抽象 推理更加严谨 4 因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻 研教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理 解基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在 联系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也 要培养抽象思维和逻辑推理的能力。 学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅 是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我 们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该 仅仅满足于做题，更不能认
3、为，只要做了题，就算学 好了数学。 5 6 极限方法 1） 计算圆的周长 圆内接正n 边形 O r ) 7 2）切线的斜率 8 a bx y o 3)计算曲边梯形面积 曲边梯形面积为 9 4)无穷级数 10 一、基本概念 1.集合:具有某种特定性质的对象的全体. 组成集合的事物称为该集合的元素. P（x）表示元素具有性质 第0章 基本知识 11 2.邻域: 1.定义 设x和y是两个变量，D是一个给定的数集， 若对于x D，变量y按照确定的法则总有 确定的数值和它对应，则称y是x的函数 记作 自变量 因变量 二、函数 12 函数的两要素: 定义域与对应法则. 自变量 对应法则f 因变量 约定:
4、定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值. 13 14 (1) 符号函数 几个特殊的函数举例 1 -1 x y o 15 (2) 取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 阶梯曲线 16 有理数点无理数点 1 x y o (3) 狄利克雷函数 17 (4) 取最值函数 y x o y x o 在自变量的不同变化范围中,对应法则 用不同的式子来表示的函数,称为分段函数. 18 三. 函数的几种特性 设函数 (1) 有界性 使 称 A为上界，B为下界。 (2) 单调性 为有界函数. 当 时,
5、称 为 I 上的 单调增函数 ; 称 为 I 上的 单调减函数 . 19 (3) 奇偶性 且有 若则称 f (x) 为偶函数; 若则称 f (x) 为奇函数. 说明: 若在 x = 0 有定义 , 为奇函数时, 则当 必有 例如, 偶函数 双曲余弦 记 20 例1 判断函数 的奇偶性. 解： f(x)是奇函数. 例2 设f(x)在R上定义，证明f(x)可分解为一个奇函数与一 个偶函数的和。 证明：设 显然 g(x)是偶函数，h(x)是奇函数,而 故命题的证. 21 (4) 周期性 且 则称为周期函数 , 若 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). 周期为 周期为 注: 周期函数不一定存在最
6、小正周期 . 例如, 常量函数 狄里克雷函数 x 为有理数 x 为无理数 四. 反函数 若函数为单射, 则存在逆映射 称此映射为 f 的反函数 . D W D W 22 习惯上, 的反函数记成 图形关于直线对称 . 单调性一致 23 24 例如 , 对数函数 互为反函数 , 它们都单调递增, 其图形关于直线对称 . 指数函数 25 例1 证明若函数 y = f (x)是奇函数且存在反函数 x = f 1(y), 则反函数也是奇函数。 证明： 反函数是奇函数。 例2 解: 当x0时,y1, 当x N1 时, 假设 从而 矛盾. 因此收敛数列的极限必唯一. 则当 n N 时, 故假设不真 ! 满足
7、的不等式 47 两边夹准则 证: 由条件 (2) , 当时, 当 时, 令 则当时, 有 由条件 (1) 即故 48 49 例. 证明数列是发散的. 证: 用反证法. 假设数列收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取则存在 N , 但因交替取值 1 与1 , 内, 而此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有 因此该数列发散 . 50 例(P10) 证明 若X2k-1a,X2ka(k), 则数列Xn收敛于a。 证：对任0,K1,当kK1 时X2k 落在a-,a+即满足|2k-a|(1) K2当kK2时X2k-1 落在a-,a+即满足|2k-1-a| (2) 取N=max2K1,2K2-1, 当nN,必有Xn 落在a-,a+即满足|n-a| 51 例 解 由夹逼定理得 52 例 讨论下列极限： （1） (3）设x1=1,xn+1=1+2xn(n=1,2)讨论 (5) 若等比级数 例题
