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1、 金融时间序列分析金融时间序列分析 第五讲：单变量时间序列模型第五讲：单变量时间序列模型 内容结构内容结构 ARMAARMA模型的理论介绍模型的理论介绍 ARMAARMA模型的实证分析模型的实证分析 问题与小结问题与小结 1 2 3 1、ARMA模型有何价值？ 2、什么是ARMA模型？ 3、如何确定ARMA(p,q)中的p和q？ 4、如何估计ARMA(p,q)中的参数？ 5、如何检验ARMA模型？ 6、如何利用ARMA模型进行预测？ ARMAARMA模型的理论介绍模型的理论介绍 一：ARMA模型的概述 六大问题 一：ARMA模型的概述 1、ARMA模型有何价值？ 时间序列分析即寻找时间序列 的
2、规律，对于给定的时间序列 ，有2种方法对 其进行解释或预测： 利用外部影响因素的时间序列与本时间序列的关系进行解释或预测，典型的方法如回归模 型。例如，预测零配件的月销售量，可以利用汽车月度产量等外部影响建立回归方程，进 行预测。 缺点：上述因素的数据必须具有可获得性，但是影响因素的数据并不是总是可获得，如政 策、消费者偏好等因素就难以获得，这时就不适合采用外部影响因素法。 ARMAARMA模型的理论介绍模型的理论介绍 1、外部影响因素法 一：ARMA模型的概述 上述方法中存在外部影响因素数据不可获得的特点，时间序列方法则规避了此类缺点。 时间序列法，通过时间序列的历史数据，得出关于过去行为的
3、有关结论，进而对时间序列 未来进行判断。 时间序列方法有很多，如传统时间序列方法（时间序列分解、指数平滑等）、随机时间序 列（ARMA/AR/MA等）、其他方法（ARCH、动态时间序列法等） 2、什么是ARMA模型？ 一些知识点的介绍 即进行时间序列分析前，必须判断其是否平稳，否则，时间序列分析中的t、F等检验都 是不可信的。 1、时间序列的平稳性（任何时间序列分析都必须满足的前提） 2、时间序列方法 ARMAARMA模型的理论介绍模型的理论介绍 一：ARMA模型的概述 满足如下条件： 则时间序列 平稳 例一(平稳) 满足如下条件 称为白噪声 ARMAARMA模型的理论介绍模型的理论介绍 一：
4、ARMA模型的概述 例二（非平稳） 满足如下条件称为随机游走序列 作差分后平稳 ARMAARMA模型的理论介绍模型的理论介绍 一：ARMA模型的概述 滞后算子公式：Ln xt = xt- n 2、滞后算子 3、自相关函数 对于 有 自协方差函 数定义 k = Cov (Xt, X t - k ) = E(Xt - ) (Xt - k - ) 其中，k=0时，0 =Var（ ）= ARMAARMA模型的理论介绍模型的理论介绍 一：ARMA模型的概述 自相关函数 定义 k = = = 其中，k=0时，0 =1 4、偏自相关函数 自相关函数ACF(k)给出了 与 的总体相关性，但总体相关性可能 掩盖
5、了变量间完全不同的隐含关系，例如 与 间有相关性可 能主要是由于它们各自与 间的相关性带来的，这时需要用PACF （k）进行判断 与 间的偏自相关函数（partial autocorrelation，PACF）则 是消除了中间变量 ， 带来的间接相关后的直接相关性 ARMAARMA模型的理论介绍模型的理论介绍 一：ARMA模型的概述 ARMA模型的介绍 1、移动平均MA（q）模型 一般地， 满足 称为q阶移动平均过程MA(q) 为白噪声， 为移动平均系数 移动平均过程是无条件平稳的（有严格的数学证明） ARMAARMA模型的理论介绍模型的理论介绍 一：ARMA模型的概述 2、自回归过程AR（p
6、）模型 一般地， 满足 称为p阶移动平均过程AR(p) 如果 = ，为白噪声， 为自回归系数 移动自回归过程平稳的条件 滞后算子 ： 滞后算子表达式 ： 特征方程 ： =0 结论：特征方程的所有根在单位圆外（根的模大于1） ，则AR(p)模型是平稳的 ARMAARMA模型的理论介绍模型的理论介绍 一：ARMA模型的概述 3、自回归移动平均过程ARMA（p，q）模型 与AR（p）相似， 满足 如果 是一个白噪声， 满足： 1 2 由1式和2式得： 其中 为白噪声，此模型是上述2个模型的混合，因此称 为ARMA(p，q)模型 ARMAARMA模型的理论介绍模型的理论介绍 一：ARMA模型的概述 当
7、 p=0 时，ARMA(0, q) = MA(q) 当q = 0时，ARMA(p, 0) = AR(p) ARMA（p，q）模型包括了一个AR(P)模型和一个MA(q) 模型，因为MA(q)模型永久平稳，因此检验ARMA（p，q ）模型平稳性时，只需检验AR(p)模型的平稳性 结论： ARMA模型的平稳性完全取决于自回归模型的参 数(1 , 2 , p )，而与移动平均模型参数(1 ,2 , q )无关 常用的两种平稳性检验方法： 1、相关图法。随着k的增加，样本自相关函数下降且趋于零 。但从下降速度来看，平稳序列要比非平稳序列快得多 2、单位根检验。DF/ADF等 ARMAARMA模型的理论
8、介绍模型的理论介绍 一：ARMA模型的概述 3、如何确定ARMA(p,q)中的p和q？ 确定p和q的过程即为模型的识别，所使用的工具主要是时间序列的自相 关函数（autocorrelation function）ACF及偏自相关函数（partial autocorrelation function）PACF ，通常通过相关图来观察 模型ACFPACF 白噪声 AR(p)衰减趋于零（几何型或振荡型）P阶后截尾： ，kp MA(q)q阶后截尾： ，kq 衰减趋于零（几何型或振荡型） ARMA(p,q)q阶后衰减趋于零（几何型或振荡型）p阶后衰减趋于零（几何型或振荡型） ARMA（p，q）模型的AC
9、F和PACF理论模 式 ARMAARMA模型的理论介绍模型的理论介绍 一：ARMA模型的概述 1、什么是拖尾和截尾 拖尾：自相关函数或偏相关函数随着滞后阶数k的增加，不断衰减 直到0，这种现象称为拖尾 截尾：如果自相关函数或偏相关函数在滞后项p或q之后为0，则称 自相关函数或偏自相关函数在p或q以后是截尾的 拖尾相关图截尾相关图 ARMAARMA模型的理论介绍模型的理论介绍 一：ARMA模型的概述 2、AR（p）、MA（q）、ARMA（p，q）的识别 AR（p） ：ACF随着滞后阶数k的增加，呈指数衰减或震荡式衰减 ，具有拖尾性；PACF在p阶后截尾（有严格的数学证明） MA（q） ：ACF在
10、q步后截尾（有严格的数学证明）；PACF一定呈 现某种衰减形式，衰减形式复杂（区别于AR（p），具有拖尾性 ARMA（p，q） ：ACF和PACF都呈现拖尾性 在实际操作中，要集合ACF和PACF来判断用哪一模型，当相关图具 备上述模型的特征时，选择该模型 此外，由于自相关系数和偏自相关系数是通过要识别序列的样本数 据估计出来的，必然存在误差，因此，实际操作中的图形并不一定 是理想的拖尾和截尾，需要反复试验与检验，选择最合适的模型 ARMAARMA模型的理论介绍模型的理论介绍 一：ARMA模型的概述 3、AR（p）、MA（q）、ARMA（p，q）的相关图 AR(1)模型 ： ARMAARMA模
11、型的理论介绍模型的理论介绍 一：ARMA模型的概述 MA(1)模型 ： ARMA(1,1)模型 ： ARMAARMA模型的理论介绍模型的理论介绍 一：ARMA模型的概述 4、如何估计ARMA(p,q)中的参数？ AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估计方法较多，大体上分为3类：最 小二乘估计、矩估计和利用自相关函数的直接估计。 最小二乘法估计 矩估计 利用自相关函数估计 利用估计的自相关系数，估计出AR(p)参数 ARMAARMA模型的理论介绍模型的理论介绍 一：ARMA模型的概述 5、如何检验ARMA模型？ 检验内容：ARMA(p，q)模型的识别与估计是在假设随机扰动项 是一白噪
12、 声基础上进行的，因此，模型检验中首先要检验 是不是白噪声 检验指标：Q检验 判断标准：如果残差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和偏自相关值都 接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的P值。 检验内容：增加p与q的阶数，可增加拟合优度，但却同时降低了自由度。因 此，对可能的适当的模型，存在着模型的“简洁性”与模型的拟合优度的权 衡选择问题。 因此，需要权衡二者 检验指标：AIC SC 判断标准：在选择可能的模型时，AIC与SC越小越好。 ARMAARMA模型的理论介绍模型的理论介绍 一：ARMA模型的概述 检验内容：参数估计时，需要对所估的参数进行检验，看其是否符合合适 检验指标：t检验
13、 判断标准：若t统计值大于相应临界值，则应拒绝所估计的参数，prob值0.2以下较 好 6、如何利用ARMA模型进行预测？ 设对时间序列样本xt, t = 1, 2, , T，所拟合的模型是 xt = 0.4 xt-1 + 0.77+ 0.68 t-1 则理论上T + 1期xt的值应按下式计算 xT+1 = 0.4 xT + 0.77 + 0.68 T 以此类推 ARMAARMA模型的理论介绍模型的理论介绍 一：ARMA模型的概述 ARMA模型流程图 ARMAARMA模型的理论介绍模型的理论介绍 内容结构内容结构 ARMAARMA模型的理论介绍模型的理论介绍 ARMAARMA模型的实证分析模型
14、的实证分析 问题与小结问题与小结 1 2 3 二：ARMA模型实证分析 1、建立工作文件并导入数据 ARMAARMA模型的实证分析模型的实证分析 二：ARMA模型实证分析 2、模型识别与参数估计 ARMAARMA模型的实证分析模型的实证分析 二：ARMA模型实证分析 3、模型建立 ARMAARMA模型的实证分析模型的实证分析 二：ARMA模型实证分析 4、模型检验与预测 残差序列相关图 ARMAARMA模型的实证分析模型的实证分析 二：ARMA模型实证分析 4、模型检验与预测 ARMAARMA模型的实证分析模型的实证分析 内容结构内容结构 ARMAARMA模型的理论介绍模型的理论介绍 ARMAARMA模型的实证分析模型的实证分析 问题与小结问题与小结 1 2 3 三：问题与小结 对于上述实证，如果运用matlab实现， 该怎么实现？ 感兴趣的可以尝试着实现 问题与小结问题与小结 Thankyou 金融时间序列分析金融时间序列分析
