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1、 第一章 解 直 角 三 角 形 第一节 锐角三角函数 第二节 30，45，60角的三角函数值 第三节 用计算器求锐角的三角函数值（一）知识点：1. 锐角三角函数的概念 ：1）正弦：一般地，在RtABC中（如下图）C=90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫A的正弦，记作sinA。sinA=。2）余弦：一般地，在RtABC中（如上图）C=90，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫A的余弦，记作cosA。cosA=。3）正切：一般地，在RtABC中（如上图）C=90，我们把锐角A的对边与邻边的比叫A的正切，记作tanA。tanA=。注：如果一个锐角的角度确定之后，那么这个角的正弦值、余弦值、正切值是固定不
2、变的，比值的大小与锐角的边长无关。2. 特殊锐角三角函数的值如图，在RtABC中，C90，A30设BCk，则AB2k用同样的方法可求45、60角的三角函数值。 度数三角函数304560sincostan3. 锐角三角函数的性质1）锐角A的正弦、余弦，正切值的取值范围2）增减性：正弦值随锐角A的度数的增大而增大余弦值随锐角A的度数的增大而减小正切值随锐角A的度数的增大而增大3）同一锐角三角函数之间的关系平方和关系：4）两个互余锐角三角函数的关系：在RtABC中，A+B=90则有（1）sinA=cosB（2）tanAtanB=15）补充：一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值一个锐角的余弦值等于它余角
3、的正弦值4. 用计算器求锐角三角函数值（略）【典型例题】例1. 已知ABC中，AC7，BC24，AB25，求sinA，cosA，tanA，sinB，cosB，tanB解：例2. 分析：可用引进参数法，也可利用同角的正弦、余弦关系求解。法一：法二：例3. 计算：例4. 分析：把条件式看作关于sin的一元二次方程，利用解方程求出sin，再确定的值。解：练习求适合条件的锐角：例5. 如图，在RtABC中，C90，BC5，AC6。（1）求sinA，sinB的值。（2）过点C作CDAB于D，求cosACD的值。例6 ：已知，分别是中的对边，关于x的方程有两个相等实根，且。（1）判断的形状，（2）求的值。
4、解：【模拟试题】一、填空题：1. 求值：_。2. 在RtABC中，C90，a1，b2，则cosA_。3. tan10tan20tan30tan70tan80_。4. ABC中，C90，若，则tanB_。5. _。6. _。7. 在RtABC中，C90，则A_。8. 已知等腰三角形ABC的腰长为，底角为30，则底边上的高为_，周长为_。二、选择题：9. 在ABC中，若，A、B都是锐角，则C的度数是（ ）A. 75B. 90C. 105D. 12010. 当锐角A45时，sinA的值（ ）A. 小于B. 大于C. 小于D. 大于11. 已知，则（ ）A. 30B. 60C. 45D. 无法确定12
5、. 下列结论中不正确的是（ ）A. B. 中，C90，则C. RtABC中，C90，则D. RtABC中，C90，ACb，则13. 如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点E反射后照射到B点，若入射角为（入射角等于反射角），ACCD，BDCD，垂足为C、D，且AC3，BD6，CD11，则（ ）A. B. C. D. 14. 如果A为锐角，且，则（ ）A. B. C. D. 15. 如图，RtABC中，ACB90，CDAB于D，若AC4，BC3，则sinACD（ ）A. B. C. D. 三、解答题：16. 计算：（1）（2）17. 如图RtABC中，C90，b8，A的平分线AD。求B及a、
6、c的值。18. 如图在等腰ABC中，ABAC，若AB2BC，试求B的正弦值和正切值。19. RtABC中，C90，方程有两个相等的实数根，斜边为c，方程也有两个相等的实根，求这个直角三角形的三边的长。20. 如图在ABC中，AD是BC边上的高，tanBcosDAC。（1）求证：ACBD。（2）若，求AD的长。 解直角三角形1. 解直角三角形的理论依据。（1）在中，C=90两锐角互余A+B=90三边关系勾股定理：，变式边、角关系锐角三角函数：。已知直角三角形的两个基本元素（至少有一个是边），利用以上关系就可以求出其余的未知元素，其中恰当地选用边角关系是关键。应注意以下原则：（1）有“斜”选“弦”
7、，无“斜”选“切”。（2）尽量使未知元素在分子的位置上，以便利用乘法运算求未知元素。（3）尽量使用原始数据：以减少误差的积累，也可避免由于中间数据有错而产生新的误差。2. 特殊的直角三角形：含30角的直角三角形：在中，C=90，A=30，则，三边之比为。含45角的直角三角形：在中，C=90，A=45，则B=45，AC=BC,三边之比为。3. 直角三角形中有斜边高线：在中，C=90，则1=B，2=A。由相似得对应边成比例，可得到：由面积公式，得【典型例题】例1. 在RtABC中，C90，解直角三角形：（1）a8，b6（2）c16，A32例2. （1）在中，C=90，a=1，c=4，则的值是（ ）
8、A. B. C. D. （2）如图，在中，C=90，AC=6，那么AB的长是（ ）A. 4B. 9C. D. （3）在中，B=45，A=105，AC=6，则AB的长是（ ）A. B. C. D. 例3. 如图，在中，求AB的长。注意：特殊角，锐角三角函数值要放在中应用；求一条线段的长，也可以根据需要分段求和。例4. 梯形ABCD中，AB/CD，。求这个梯形的周长和面积。（注：等腰三角形，平行四边形，菱形等的求解问题也可通过作高线等方法使其转化到直角三角形中去求解。）例5. 如图，在中，B=90，A=30，AC=3，将BC向BA方向折过去，使点C落在BA上的C点，折痕为BE，求的长。【模拟试题】
9、（一）基础训练选择题1. RtABC中，C90，则（ ）A. 4B. 8C. 1D. 62. 中，C=90，则AC：BC：AB=（ ）A. 3:4:5B. 4:3:5C. 3:5:4D. 5:3:43. 如图，某河堤横断面为梯形，上底为4m，堤高为6m，坡AD的坡度为1：3，斜坡CB的坡度为1：1，则河堤横断面的面积为（ ）A. 48m2B. 96m2C. 84m2D. 192m24. 在中，C=90，若，那么的值等于（ ）A. B. C. D. 5. 如图，中，ACB=90，于D，若BD：AD=1：4，则（ ）A. B. C. D. 26. 如图，在等腰中，C=90，AC=6，D是AC上一点
10、，且，则AD的长为（ ）A. B. 2C. 1D. （二）填空题。1. 在RtABC中，C90，则A_，sinA_。2. 在RtABC中，C90，c10，A45，则a_，b_，B_。3. 如果等腰三角形的顶角为120，腰长为6cm，这个三角形的面积为_。4. 如图RtABC中，C90，D为BC上一点，DAC30，BD2，则AC_。（三）能力拓展1. 如图，ABC中，B60，C45，求AC的长。2. 如图中，在中，ACB=90，于D，设BCD=，求。3. 如图，中，C=90，D是BC边上一点，且AD=DB=5，CD=3，求CAB的正切。4. 如图，四边形ABCD中，求AD的长和。 解直角三角形及
11、其应用知识要点知识点1 船有触礁的危险吗知识点2 测量物体的高度常见的图形与关系式如下表所示：图形关系式，图形关系式【典型例题】例1. 如图所示，在海边有两个观测点B和C，它们相距12千米，在B处测得船A在北偏东45方向，在C处测得船A在北偏西30方向，求此时船A到岸边BC的距离。（精确到0.1千米，）分析：求船A到岸边BC的距离，可过A作于D，实际上就是求AC的长，可按类型1的关系式求解。例2. 某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD=2.5米，坝高4米，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC。分析：坡度即坡角的正切值，所以可知，分别过A，D向坝底引垂线把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形求解。例3. 如图所示，湖泊的中央有一个建筑物AB，某人在地面C处测得其顶部A的仰角为60，从C走到点D，在D处测得其顶部A的仰角为30，DC=100米。求建筑物AB的高。（精确到
