排列组合综合应用教材

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1、 完成一件事，有完成一件事，有n n类办法，在第类办法，在第1 1类办法中有类办法中有 m m1 1 种不同的方法，在第种不同的方法，在第2 2类办法中有类办法中有m m 2 2 种不种不 同的方法，同的方法，在第，在第n n类办法中有类办法中有m m n n 种不同的种不同的 方法，那么完成这件事共有：方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法种不同的方法 复习巩固 1.1.分类计数原理分类计数原理( (加法原理加法原理) ) 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n个步骤，做第个步骤，做第1 1步有步有 m m1 1 种不同的方法，做第种不同的方法，做第2 2步有步有m m2 2 种不

2、同的方法 种不同的方法 ，做第，做第n n步有步有m m n n 种不同的方法，那么完成种不同的方法，那么完成 这件事共有：这件事共有： 种不同的方法种不同的方法 2.2.分步计数原理（乘法原理）分步计数原理（乘法原理） 分步计数原理分步计数原理各步相互依存各步相互依存，每步中的方法，每步中的方法 完成事件的完成事件的一个阶段一个阶段，不能完成整个事件不能完成整个事件 3.3.分类计数原理分类计数原理分步计数原理区别分步计数原理区别 分类计数原理分类计数原理方法相互独立方法相互独立，任何一种方法，任何一种方法 都可以都可以独立地完成这件事独立地完成这件事。 排列问题常用方法（直接法和间接法）

3、1、优限法特殊元素（位置） 2、捆绑法相邻排列问题 3、插空法不相邻排列问题 4、消序法 解决排列组合综合性问题的一般过程如下解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.1.认真审题弄清要做什么事认真审题弄清要做什么事 2.2.怎样做才能完成所要做的事怎样做才能完成所要做的事, ,即采取分步还即采取分步还 是分类是分类, ,或是分步与分类同时进行或是分步与分类同时进行, ,确定分多确定分多 少步及多少类。少步及多少类。 3.3.确定每一步或每一类是排列问题确定每一步或每一类是排列问题( (有序有序) )还是还是 组合组合( (无序无序) )问题问题, ,元素总数是多少及取出多元素总数是多少及取

4、出多 少个元素少个元素. . 解决排列组合综合性问题，往往类与步交解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 1 1. .排列组合混合问题先选后排策略排列组合混合问题先选后排策略 例1.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内, 每盒至少装一个球,共有多少不同的装 法. 解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共 有_种方法.再把5个元素(包含一个复合 元素)装入4个不同的盒内有_种方法. 根据分步计数原理装球的方法共有_ 解决排列组合混合问题解决排列组合混合问题, ,先选后排是最基本先选后排是最基本 的指导思想的指导思想. .此法与此

5、法与相邻元素捆绑策略相似相邻元素捆绑策略相似 吗吗? ? 练习题1 一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 参加,则不同的选法有_ 种 192 2.分组、分配问题策略 平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一 种情况,所以分组后要一定要除以 (n为均 分的组数)避免重复计数。 例2、6本不同的书，按下列要求处理，分别有多 少种分法？ （1）分三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本 （2）分给甲、乙、丙3个人，甲1本，乙2本，丙3本 （3）分给甲、乙、丙3个人，一人1本，一人2本， 一人3本。 （4）分三 堆，有两堆各1本，另

6、一堆4本 （5）平均分成三组 （6）平均分给甲、乙、丙3个人 1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4 个队, 有多少分法？ 3.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人 但正副班长不能分在同一组,有多少种不同 的分组方法 （1540 ） 2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每 班安排2名，则不同的安排方案种数为_ 练习2、 3 3. .特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不合要求的元素占了这两个位置

7、 先排末位共有_ 然后排首位共有_ 最后排其它位置共有_ 由分步计数原理得=288 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问位置分析法和元素分析法是解决排列组合问 题最常用也是最基本的方法题最常用也是最基本的方法, ,若以元素分析为若以元素分析为 主主, ,需先安排特殊元素需先安排特殊元素, ,再处理其它元素再处理其它元素. .若以若以 位置分析为主位置分析为主, ,需先满足特殊位置的要求需先满足特殊位置的要求, ,再再 处理其它位置。若有多个约束条件，往往是处理其它位置。若有多个约束条件，往往是 考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 1.7种不同的花种在

8、排成一列的花盆里,若两 种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆 里，问有多少不同的种法？ 练习题 4.元素相同问题隔板策略 例3.有10个运动员名额，在分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成个空隙。 在个空档中选个位置插个隔板， 可把名额分成份，对应地分给个 班级，每一种插板方法对应一种分法 共有_种分法。 一班 二班 三班 四班 五班 六班 七班 将将n n个相同的元素分成个相同的元素分成m m份（份（n n，m m为正整数）为正整数）, , 每份至少一个元素每份至少一个元素, ,可以用可以用m-1m-1块隔板，插入块隔板

9、，插入n n 个元素排成一排的个元素排成一排的n-1n-1个空隙中，所有分法数个空隙中，所有分法数 为为 练习题 1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 个，有多少装法？ 5 5. .相邻元素捆绑策略相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相 邻, 共有多少种不同的排法. 甲乙丙丁 由分步计数原理可得共有 种不同的排法 =480 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行自排。 要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题, ,可以用可以用 捆绑法来解决问题捆绑法来解

10、决问题. .即将需要相邻的元素合并即将需要相邻的元素合并 为一个元素为一个元素, ,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列, ,同时同时 要注意合并元素内部也必须排列要注意合并元素内部也必须排列. 某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好 有3枪连在一起的情形的不同种数为（ ） 练习题 20 6 6. .不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略 例例3.3.一个晚会的节目有一个晚会的节目有4 4个舞蹈个舞蹈,2,2个相声个相声,3,3个个 独唱独唱, ,舞蹈节目不能连续出场舞蹈节目不能连续出场, ,则节目的出则节目的出 场顺序有多少种？场顺序有多少种？ 解解: :分两步进行第一步排分两步进行第一

11、步排2 2个相声和个相声和3 3个独唱共个独唱共 有有 种，种， 第二步将4舞蹈插入第一步排 好的6个元素中间包含首尾两个空位共有 种 不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有 种 相相独独独 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进元素相离问题可先把没有位置要求的元素进 行排队再把不相邻元素插入中间和两端行排队再把不相邻元素插入中间和两端 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目.如果 将这两个新节目插入原节目单中，且两 个新节目不相邻，那么不同插法的种数 为（ ）30 练习题 7. 合理分类与分步策略 例4.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能 唱歌,5

12、人会跳舞,现要演出一个2人 唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法? 解 ： 10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞 3人为全能演员。 以只会唱歌的5人是否 选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱 的5人中没有人选上唱歌人员共有_ 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人 员_种,只会唱的5人中只有2人 选上唱歌人员有_种，由分类计数 原理共有_种。 + 本题还有如下分类标准：本题还有如下分类标准： * *以以3 3个全能演员是否选上唱歌人员为标准个全能演员是否选上唱歌人员为标准 * *以以3 3个全能演员是否选上跳舞人员为标准个全能演员是否选上跳舞人员为标准 * *以只会跳舞的以只会跳舞的2 2人是否选

13、上跳舞人员为标准人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果都可经得到正确结果 解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分 步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不 漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。 1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则 不同的选法共有_ 3434 练习题 2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2 号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选 2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. 2727 8.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间

14、实习,共有 多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有 种分法.7 把第二名实习生分配 到车间也有7种分法 ， 依此类推,由分步计 数原理共有 种不同的排法 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 种n m 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这 两个节目插入原节目单中，那么不同插法的 种数为（ ） 42 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们 到各自的一层下电梯,下电梯的方法 （ ） 练习题 练习题 6

15、颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 9.构造模型策略 例5. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的 九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关 掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种？ 解：把此问题当作一个排队模型在6盏 亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯 有_ 种 一些不易理解的排列组合题如果能转化为 非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队 模型，装盒模型等，可使问题直观解决 练习题 某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右 两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？ 120 10.实际操作穷举策略 例6.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1

16、,2 3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五 个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同 ,. 有多少投法 解：从5个球中取出2个与盒子对号有_种 还剩下3球3盒序号不能对应， 利用实际 操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒 3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种 装法 3号盒 4号盒 5号盒 34 5 10.实际操作穷举策略 例6.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2 3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五 个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同 ,. 有多少投法 解：从5个球中取出2个与盒子对号有_种 还剩下3球3盒序号