《（浙江专用）2018年高考数学一轮复习 第十一章 计数原理 11.2 二项式定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（浙江专用）2018年高考数学一轮复习 第十一章 计数原理 11.2 二项式定理（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一章计数原理 11.2二项式定理 数学(浙江专用) 考点 二项式定理及应用 1.(2017课标全国理,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为 ( ) A.-80 B.-40 C.40 D.80 五年高考 答案 C 本题考查二项式定理,求特定项的系数. (2x-y)5的展开式的通项为Tr+1= (2x)5-r(-y)r=(-1)r25-r x5-ryr.其中x2y3项的系数为(-1)322 =-40,x3y2 项的系数为(-1)223 =80.于是(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为-40+80=40. 2.(2017课标全国理,6,5分) (1+x)6展开式
2、中x2的系数为 ( ) A.15 B.20 C.30 D.35 答案 C 本题考查二项式定理中项的系数问题. 对于 (1+x)6,若要得到x2项,可以在 中选取1,此时(1+x)6中要选取含x2的项,则系数为 ;当在 中选取 时,(1+x)6中要选取含x4的项,即系数为 ,所以,展开式中x2项的系数为 + =30,故选C. 3.(2014浙江,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0, 3)= ( ) A.45 B.60 C.120 D.210 答案 C 在(1+x)6的展开式中,xm的系数为 ,在(1
3、+y)4的展开式中,yn的系数为 ,故f(m,n)= .从而f(3,0)= =20, f(2,1)= =60, f(1,2)= =36, f(0,3)= =4,故选C. 4.(2016四川,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为 ( ) A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4 答案 A T3= x4i2=-15x4,故选A. 易错警示 易误认为i2=1而致错. 评析 正确应用二项展开式的通项是解题的关键. 5.(2015课标,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为 ( ) A.10 B.20 C.30 D.60 答案 C (x
4、2+x+y)5=(x2+x)+y5的展开式中只有 (x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为 =30,故 选C. 6.(2015湖北,3,5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式 系数和为 ( ) A.212 B.211 C.210 D.29 答案 D (1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为 , , = ,得n=10. 从而有 + + + + =210, 又 + + = + + , 奇数项的二项式系数和为 + + =29. 评析 本题考查求二项展开式的二项式系数及其性质、组合数性质,考查运算求解能力. 7.(2015湖南,6,5
5、分)已知 的展开式中含 的项的系数为30,则a= ( ) A. B.- C.6 D.-6 答案 D 的展开式的通项为Tr+1= ( )5-r =(-a)r . 依题意,令5-2r=3,得r=1,(-a)1 =30,a=-6,故选D. 8.(2015陕西,4,5分)二项式(x+1)n(nN+)的展开式中x2的系数为15,则n= ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 C 因为(x+1)n的展开式中x2的系数为 ,所以 =15,即 =15,亦即n2-n=30,解得n=6(n= -5舍). 9.(2014湖北,2,5分)若二项式 的展开式中 的系数是84,则实数a= ( ) A.2 B. C.
6、1 D. 答案 C Tr+1= (2x)7-r =27-r ar .令2r-7=3,得r=5.由22 a5=84得a=1,故选C. 10.(2014湖南,4,5分) 的展开式中x2y3的系数是( ) A.-20 B.-5 C.5 D.20 答案 A 展开式的通项为Tk+1= (-2y)k=(-1)k22k-5 x5-kyk,令5-k=2,得k=3.则展开式中x2y3 的系数为(-1)3223-5 =-20,故选A. 评析 本题考查由二项式定理求指定项系数、组合数的计算,考查学生的运算求解能力,属于中 档题. 11.(2017浙江,13,6分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+
7、a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4= ,a5= . 答案 16;4 解析 本题考查二项式定理,求指定项系数,组合数计算,考查运算求解能力. 设(x+1)3=x3+b1x2+b2x+b3,(x+2)2=x2+c1x+c2. 则a4=b2c2+b3c1= 1222+13 2=16, a5=b3c2=1322=4. 12.(2017山东理,11,5分)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n= . 答案 4 解析 本题主要考查二项展开式. (1+3x)n的展开式的通项Tr+1= 3rxr,含有x2项的系数为 32=54,n=4. 13.(2016北京,10,5分)在(1-2x)
8、6的展开式中,x2的系数为 .(用数字作答) 答案 60 解析 Tr+1= 16-r(-2x)r=(-2)r xr,令r=2, 得T3=(-2)2 x2=60x2.故x2的系数为60. 14.(2016山东,12,5分)若 的展开式中x5的系数是-80,则实数a= . 答案 -2 解析 Tr+1=a5-r ,令10- r=5,解之得r=2,所以a3 =-80,a=-2. 15.(2016课标全国,14,5分)(2x+ )5的展开式中,x3的系数是 .(用数字填写答案) 答案 10 解析 Tr+1= (2x)5-r( )r=25-r ,令5- =3,得r=4,T5=10x3,x3的系数为10.
9、16.(2016天津,10,5分) 的展开式中x7的系数为 .(用数字作答) 答案 -56 解析 Tr+1= x16-2r(-x)-r=(-1)-r x16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系数为(-1)-3 =-56. 易错警示 本题中,展开式的通项易写错,尤其是符号,正负易混,需引起注意. 评析 本题主要考查二项式定理,对运算求解能力要求较高.属中档题. 17.(2015课标,15,5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= . 答案 3 解析 设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)(1+1)4=(a+1)
10、16,又奇数次幂项的系 数和为 f(1)-f(-1),又f(-1)=0, (a+1)16=32,a=3. 评析 二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法. 18.(2015北京,9,5分)在(2+x)5的展开式中,x3的系数为 .(用数字作答) 答案 40 解析 (2+x)5的展开式的通项为Tr+1= 25-rxr(r=0,1,5),则x3的系数为 22=40. 19.(2015天津,12,5分)在 的展开式中,x2的系数为 . 答案 解析 的展开式的通项为Tr+1= x6-r = x6-2r,令6-2r=2,得r=2,所以x2的系数 为 = . 20.(2015重庆,12,5分)
11、的展开式中x8的系数是 (用数字作答). 答案 解析 二项展开式的通项为Tr+1= (x3)5-r = ,令15-3r- =8,得r=2,于是展开式中 x8的系数为 = 10= . 21.(2015安徽,11,5分) 的展开式中x5的系数是 .(用数字填写答案) 答案 35 解析 展开式的通项为Tk+1= (x3)7-kx-k= x21-4k,令21-4k=5,得k=4,则展开式中x5的系数为 =35. 22.(2015福建,11,4分)(x+2)5的展开式中,x2的系数等于 .(用数字作答) 答案 80 解析 Tr+1= x5-r2r(r=0,1,5),令5-r=2,得r=3,所以x2的系数
12、为 23=80. 23.(2015广东,9,5分)在( -1)4的展开式中,x的系数为 . 答案 6 解析 ( -1)4的展开式的通项为Tr+1= ( )4-r(-1)r=(-1)r ,令 =1,得r=2,从而x的系数为 (-1)2=6. 24.(2015四川,11,5分)在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是 (用数字填写答案). 答案 -40 解析 Tr+1= (2x)5-r(-1)r=(-1)r25-r x5-r,令5-r=2,则r=3,所以含x2的项的系数是-40. 25.(2014大纲全国,13,5分) 的展开式中x2y2的系数为 .(用数字作答) 答案 70 解析 Tr+1
13、= =(-1)r ,令 得r=4. 所以展开式中x2y2的系数为(-1)4 =70. 26.(2014安徽,13,5分)设a0,n是大于1的自然数, 的展开式为a0+a1x+a2x2+anxn.若点Ai(i, ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a= . 答案 3 解析 根据题意知a0=1,a1=3,a2=4, 结合二项式定理得 即 解得a=3. 27.(2014山东,14,5分)若 的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为 . 答案 2 解析 Tr+1= (ax2)6-r = a6-rbrx12-3r, 令12-3r=3,则r=3. a3b3=20,即ab=1. a2+b2
14、2ab=2,即a2+b2的最小值为2. 评析 本题考查二项式定理及基本不等式的综合应用.考查学生推理论证及运算求解能力. 28.(2014课标,13,5分)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a= .(用数字填写答案) 答案 解析 Tr+1= x10-rar,令10-r=7,得r=3, a3=15,即 a3=15,a3= ,a= . 29.(2014课标,13,5分)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为 .(用数字填写答案) 答案 -20 解析 由二项展开式公式可知,含x2y7的项可表示为x xy7-y x2y6,故(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7 的系数为 -
15、= - =8-28=-20. 30.(2016浙江自选,“计数原理与概率”模块,04(1),5分)已知(1+2x)4(1-x2)3=a0+a1x+a2x2+a10x10, 求a2的值. 解析 因为(1+2x)4的展开式的通项为 (2x)r,r=0,1,2,3,4, (1-x2)3的展开式的通项为 (-x2)r,r=0,1,2,3, 所以a2= 22 + (-1)=21. 31.(2015浙江自选,“计数原理与概率”模块,04(1),5分)已知n为正整数,在(1+x)2n与(1+2x3)n展开 式中x3项的系数相同,求n的值. 解析 (1+x)2n中x3项的系数为 ,(1+2x3)n中x3项的系数为2n. 由 =2n得 =2n, 解得n=2. 32.(2014四川,2,5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( ) A.30 B.20 C.15 D.10 以下为教师用书专用 答案 C 在(1+x)6的展开式中,含x2的项为T3= x2=15x2,故在x(1+x)6的展开式中,含x3的项的系 数为15. 评析 本题考查二项展开式中求指定项的系数,属容易题.但在(1+x)6前面乘以x后,易误求T4
