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1、第二章 汇交力 系 1 2-1汇交力系的合成与平衡 现实生活中往往有许 多力的作用线汇交于一点。 我们把这样的力系称为汇交力系。 一、合成 2 1、几何 法 设F1、F2、F3和F4为一组 汇交力系作用于刚体上。 x y z F1 F2 F3 F4 F1 F2 F3 F4 R12 R123 R a b c d e F3 R12 F3 R12 F3 R12 R123R123R123R123 F4F4F4F4 称多边形 abcde 为力多边形，R 为封闭边。 R = R123 + F4 = R12 + F3 + F4 = F1 + F2 + F3 + F4 推广得：R = F1+F2+FN = F
2、i O O 3 （1）力在轴上的投影： 投影结果为代数量 （2）力在平面上的投影： 投影结果为矢量 为什么在平面上的投影 结果为矢量？ x A B x A B a b ab M a b FM F A B 2、 解析 法 4 x y z i j k Xi Fi Fi = X i i + Y i j + Z i k R = F1 + F2 + + FN =F i =( X i ) i +(Y i ) j +( Z i )k 又由 R = Rx i + Ry j + Rz k 得： Rx =X i ; Ry =Y i ; Rz = Zi 显然，合力的大小 方向余弦 cos(R , i ) = R x
3、 / R ; cos(R , j )= R y / R ; cos(R , k) = R z / R R = 把空间中的力 Fi 向三个坐标轴投影， 分别为X i、Y i 和 Z i 。 Xi Zi Yi Zi Yi Xi Zi Yi O O 5 x y z 二、 平衡 F1 F2 F3 F1 F2 F3 R12 a b c d F4 R123 F4 设F1、F2、F3和F4为作用于刚体上的一组汇交力系，使刚体平衡。 由二力平衡条件知：要使刚体保持平衡，需满足 R123 + F4= 0 又因为 R123 = F1+F2+F3 所以 R = R123 + F4= F1+F2+F3 + F4 =
4、0 a 力多边形自行封闭了。力多边形自行封闭了。 O O 6 汇交力系平衡的解析条件： X i = 0; Y i = 0 ; Zi = 0 汇交力系平衡的充要条件： R = F1+F2+ +FN = 0 即 F i = 0 汇交力系平衡的几何条件： 力多边形自行封 闭。 结 论 由 R = 0= 0 7 A B F h R O P 图示石磙重 P = 20kN，半径 R = 0.6m，障碍物高 h = 0.08m 。求（1）水平力 F = 5kN 时磙对地面和对障碍 物的压力；（2）欲将磙拉过障碍物 F 沿什么方向拉最省 力，此力为多大？ 例 2-1 解：(1) 首先受力分析 cos = (R
5、 - h) / R = 0.866 故 = 30 再画力多边形 (见后 续） F FA A F FB B 8 按比例量得： FA=11 .4 kN，FB=10kN F F P P P P F F F F F FB B F F minmin Fmin = P sin = P/2 =10kN ( 2) 例2-1（续 ） F F F F F F F FB B F FA A F FB B 9 x x y y O O 平面汇交力系的特殊情形 1、力在轴上的投影与力沿 坐标轴的分力 根据力在某轴上的投影等 于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余 弦。对于正交轴 Oxy ，有 F = X i + Y j 必须
6、注意，力在轴上的投影 X、 Y 为代数量（力与轴间的夹角为锐角时， 其值为正），而力沿两轴的分量是矢量。 在两轴相互不正交时，分力在数值上不等 于投影。 2、平面问题的平衡条件 X = 0，Y = 0 事实上，两坐标轴并不要求一定相互垂直，只要两轴不平行即 可。 X X Y Y F F y y F F x x F F 分力分力投影投影 X X Y Y F F y y F F x x 分力分力投影投影 10 求图示结构支座 A、B 的约束力。 各杆的自重忽略，且 ABC = BAC = 3030 。 例2- 3 C C A A B B P P F F F FB B F FA A 解：解：法法 一
7、，取坐标轴如图并做受力分析一，取坐标轴如图并做受力分析 X X = 0, - = 0, -F FA A cos cos 30+ 30+ F F B B coscos 30- 30- F F = 0 = 0 Y Y = 0, ( = 0, ( F F A A + + F F B B ) Sin30 - ) Sin30 - P P = 0 = 0 y y x x F FB B F FA A F FB B F FA A F FB B F FA A 联立求解，便可解出联立求解，便可解出 F F A A 和和 F F B B （这里暂不解）这里暂不解） 11 C C A A B B P P F F F
8、FB B F FA A 例2-3 续 法法 二，二， 取坐标轴如图取坐标轴如图 x x X X = 0 , = 0 , F FB B cos30cos30 P P cos30cos30 F F cos60= 0 cos60= 0 Y Y = 0 , = 0 , F FA A cos30+ cos30+ F F cos60 cos60 P P cos30 = 0 cos30 = 0 y y 显见，显见，x x 和和 y y 轴并不相互正交，而求解反而方便了。轴并不相互正交，而求解反而方便了。12 2-2 平面力对点的矩平面力 偶 13 n n O O 1. 力对刚体的转动效应用力对点的矩来 度量
9、 一、力 对点的矩 h h O O A A B B F F 假假 设设力作用在图示平面内 ，且 O点也在此平面内 ，则力 F 对 O 点的矩为 M O ( F ) = F h 或： M O ( F ) =2OAB 力使物体绕矩心逆时针转为正，反之为负。力使物体绕矩心逆时针转为正，反之为负。 O 称为矩心 h 称为力臂 单位：Nm 或 kNm h h O O A A B B h h O O A A B B h h O O A A B B r r F F F F 14 二、合力矩定理 即： 上式适用于任何有合理存在的 力系 汇交力系的合力对任意点的矩等于该 力系所有分力对同一点的矩的矢量和。 15
10、 三、力偶理 论 16 1. 力偶与力偶矩 力偶 由 两个等值、反向且不共线的平 行力系组成。记作（ F，F ） 这一矢量称作 力偶矩矢 1） 其长度表示 力偶矩大小； d d B B F F FF A A 两个力确定的平面称 力偶作用面 两个力之间的垂直距离 d 称为力偶臂 空间力系因力偶作用面 的方位可能各不相同， 故把力偶用矢量表示。 MM 2）方位与作用面法方向方位 n 同 。 3）指向与力偶转向的关系服从 右手螺旋法则。 n n MM d d d d d d MM n n MMMM n n MMMM n n MM 17 b . 平面力偶系的力偶 若在所研究的问题中，所有的力偶都作用在
11、同一平面 内，则称为平面力偶系。 F F F F B B A A C C d d 将平面力偶系的力偶记作 M (F, F)，简称 M 。力偶矩为 代数量 即： M = F d = 2 ACB 一般以逆时针为正，反之为负，单位与力矩相同。 18 作用于刚体上的两力偶，若它们的力偶矩 矢相等，则此二力偶等效。力偶等效定理 2. 力偶的性质 性 质一 性质一的实质 （1） 力偶在其作用面内只要力偶矩不变（ 即力与力偶臂的积不变），它就可以随意的转移 ，也可以增大力的同时减小力偶臂（或减小力的 同时增大力偶臂），不改变它对刚体的作用效应 。 （2） 力偶的作用面可以随意平行搬移，不 改变它对刚体的作用
12、效应。 19 性质一实质的图解 不同平面力偶等效不同平面力偶等效 平行搬移平行搬移 20 性质二 力偶不能与一个力等 效,因此也不能与一个力平衡 。 性质三 力偶没有合力。 性质一、二和三告诉我们力偶只能与力 偶等效而不能与单个力等效。 力偶只能与力偶相平衡力偶只能与力偶相平衡 21 3. 力偶系的合成 任意个力偶可以合成为任意个力偶可以合成为 一个合力偶，这个合力偶矩矢等于各分一个合力偶，这个合力偶矩矢等于各分 力偶矩矢的矢量和力偶矩矢的矢量和。 MM = = MM 1 1 + +MM 2 2 + + +MM n n = = MM i i M1 + M2 + + M n = rBAF1 +
13、rBAF2 + + rBAFn = rBA( F1 + F2 + + Fn ) = rBAR = M MM 1 1 M M n n MM 2 2 R R BABA B B A A 证： 设有 n 个力偶，由性质一,总可 得到两个汇交力系，汇交点分别为 A 和 B。 证毕。证毕。 22 4 . 力偶系的平衡条件 在平面力偶系中合力偶矩等于各分力在平面力偶系中合力偶矩等于各分力 偶矩的代数和。偶矩的代数和。 M M = = MM 1 1 + +MM 2 2 + + + + MM n n = = MM i i 由合成结果可知： 力偶系平衡的充分必要条件是力偶系的合力偶矩力偶系平衡的充分必要条件是力偶
14、系的合力偶矩 等于零，即所有力偶矩矢的矢量和等于零等于零，即所有力偶矩矢的矢量和等于零。 平面力偶系平衡条件：平面力偶系平衡条件： 23 三铰刚架由两直角刚架组成，AC 部分上作用一力偶， 其力偶矩为 M， 自重不计， 且 a : c = b: a，求A、B支座的约 束力。 例 2-4 MM A A C C MM b b c c a a A A C C B B C C B B ACAC为对象，为对象， MM = 0 , = 0 , 考虑考虑CBCB部分为二力构件，得：部分为二力构件，得： 解解：由由 a a : : c c = = b b: : a a 知：知：AC AC CBCB，受力分析受
15、力分析 C C B B A A 24 图示机构自重不记。圆轮上的销子 A 放在摇 杆 BC上的光滑导槽内。M 1 = 2kNm，OA = r = 0.5m 。 图示位置OAOB，= 30，且系统平衡。求作用于摇 杆 BC 上力偶的矩 M 2 及 O、B 支座的约束力。 A A O O 例 2-5 M M 2 2 MM 1 1 B B A A C C B B A A C C O O r r MM 2 2 M M 1 1 解：受力分析解：受力分析 A A B B A A O O 25 续例 2-5 先以轮为对象 ， M = 0 ， M1 - FA r sin = 0 MM 2 2 B B A A C C A A O O MM 1 1 再以摇杆为研究对象，由力 偶平衡条件 M = 0 ， MM 2 2 = 4 = 4MM 1 1 = 8kNm = 8kNm 已知：M 1 =2kNm，OA = r = 0.5m 26 本 章 小 结 1、汇交力系的合力 （1）几何法求合力 R = F1+ F2+FN = Fi （2）解析法求合力 方向余弦 cos(R, i ) = R x / R cos(R, j ) = R y / R
