有限元方法 第五章平面三角形单元讲解

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1、第五章 平面三角形单元 51 有限元法的基本思想 52 三角形常应变单元 53 形函数的性质 54 刚度矩阵 55 等效节点力载荷列阵 56 有限元分析的实施步骤 57 计算实例 第五章 平面三角形单元 一、有限元法的基本思想 假想的把一连续体分割成数目有限的小体（单元）， 彼此间只在数目有限的指定点（结点）出相互连结，组成 一个单元的集合体以代替原来的连续体，再在结点上 引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。选择一个 简单的函数来近似地表示位移分量的分布规律，建立位 移和节点力之间的关系。 有限元法的实质是：把有无限个自由度的连续体， 理想化为只有有限个自由度的单元集合体，使问题简化 为适

2、合于数值解法的结构型问题。 5-1 5-1 有限元有限元法法的基本思想的基本思想 二、经典解与有限元解的区别： 微分 数目增到 建立一个描述连续体 经 典 解 法 （解析法） 大小趋于 0 性质的偏微分方程 有限单元 离散化 集合 总体分析解 有限元法连续体单元代替原连续体 （近似法） （单元分析） 线性方程组 x y 为平面应力问题 ，由于结构的对 称性可取结构的 1/4来研究，故 所取的力学模型 三、有限元法算题的基本步骤 1. 力学模型的选取 （平面问题，平面应变问题，平面应力问题，轴对称问题， 空间问题，板，梁，杆或组合体等，对称或反对称等） 例如： 根据题目的要求，可选择适当的单元把

3、结构离散化。对 于平面问题可用三角元，四边元等。 2. 单元的选取、结构的离散化 例如： 结构离散化后，要用单元内结点的位移通过插值来获得 单元内各点的位移。在有限元法中，通常都是假定单元的位 移模式是多项式，一般来说，单元位移多项式的项数应与单 元的自由度数相等。它的阶数至少包含常数项和一次项。至 于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。 3. 选择单元的位移模式 （5-1） 单元内任一点的位移列阵； 单元的结点位移列阵； 单元的形函数矩阵；（它的元素是任一点位置坐 标的函数） 4. 单元的力学特性分析 把（5-1）式代入几何方程可推倒出用单元结点位移表示 的单元应变表达式： （5-2）

4、 式中： 单元内任一点应变列阵； 单元的应变矩阵；（它的元素仍为位置坐标的 函数） 再把（）式代入物理方程，可导出用单元结点位 移列阵表示的单元应力表达式： （5-3） 最后利用弹性体的虚功方程建立单元结点力阵与结点位移 列阵之间的关系，即形成单元的刚度方程式： 式中： 单元内任一点的应力列阵； 单元的弹性矩阵，（它与材料的特性有关） 式中： 单元刚度矩阵 （5-4） （5-5） 考虑整体结构的约束情况，修改整体刚度方程之后，（5- 6）式就变成以结点位移为未知数的代数方程组。解此方程组 可求出结点位移。 用直接刚度法将单刚 组集成总纲 ，并将 组集成 总载荷列阵 ，形成总体结构的刚度方程：

5、（5-6） 解出整体结构的结点位移列阵 后，再根据单元结点的 编号找出对应于单元的位移列阵 ，将 代入（5-3）式就 可求出各单元的应力分量值。 5. 建立整体结构的刚度方程 6. 求解修改后的整体结构刚度方程 7. 由单元的结点位移列阵计算单元应力 求解出整体结构的位移和应力后，可有选择地整理 输出某些关键点的位移值和应力值，特别要输出结构的 变形图、应力图、应变图、结构仿真变形过程动画图及 整体结构的弯矩、剪力图等等。 8. 计算结果输出 一、离散化 在运用有限单元法分析弹性力学平面问题时，第一步就 是要对弹性体进行离散化，把一个连续的弹性体变换为一个 离散的结构物。对于平面问题，三角形单

6、元是最简单、也是 最常用的单元，在平面应力问题中，单元为三角形板，而在 平面应变问题中，则是三棱柱。 假设采用三角形单元，把弹性体划分为有限个互不重叠 的三角形。这些三角形在其顶点（即节点）处互相连接，组 成一个单元集合体，以替代原来的弹性体。同时，将所有作 用在单元上的载荷（包括集中载荷、表面载荷和体积载荷） ，都按虚功等效的原则移置到节点上，成为等效节点载荷。 由此便得到了平面问题的有限元计算模型，如图3-1所示。 5-2 5-2 三角形常应变单元三角形常应变单元 图3-1 弹性体和有限元计算模型 图3-2 平面三角形单元 二、位 移 首先，我们来分析一下三角形单元的力学特性，即 建立以单

7、元节点位移表示单元内各点位移的关系式。设 单元e的节点编号为i、j、m，如图3-2所示。由弹性力学 平面问题可知，每个节点在其单元平面内的位移可以有 两个分量，所以整个三角形单元将有六个节点位移分量 ，即六个自由度。用列阵可表示为： 其中的子矩阵 （i，j，m 轮换） (a) 式中 ui、vi 是节点i在x轴和y轴方向的位移。 (5-7) 从弹性力学平面问题的解析解法中可知，如果弹性 体内的位移分量函数已知，则应变分量和应力分量也就 确定了。但是，如果只知道弹性体中某几个点的位移分 量的值，那么就不能直接求得应变分量和应力分量。因 此，在进行有限元分析时，必须先假定一个位移模式。 由于在弹性体

8、内，各点的位移变化情况非常复杂，很难 在整个弹性体内选取一个恰当的位移函数来表示位移的 复杂变化，但是如果将整个区域分割成许多小单元，那 么在每个单元的局部范围内就可以采用比较简单的函数 来近似地表示单元的真实位移，将各单元的位移式连接 在有限单元法中，虽然是用离散化模型来代替原来 的连续体，但每一个单元体仍是一个弹性体，所以在其 内部依然是符合弹性力学基本假设的，弹性力学的基本 方程在每个单元内部同样适用。 起来，便可近似地表示整个区域的真实位移函数。这种 化繁为简、联合局部逼近整体的思想，正是有限单元法 的绝妙之处。 基于上述思想，我们可以选择一个单元位移模式， 单元内各点的位移可按此位移

9、模式由单元节点位移通过 插值而获得。线性函数是一种最简单的单元位移模式， 故设 (b) 式中 1、2、6是待定常数。因三角形单元共有六个 自由度，且位移函数u、v在三个节点处的数值应该等于 这些点处的位移分量的数值。假设节点i、j、m的坐标分 别为（xi , yi ）、（xj , yj ）、（xm , ym ），代入 (b) 式， 得： (c) 由 (c) 式左边的三个方程可以求得 (d) 其中 (5- 8) 从解析几何可知，式中的 就是三角形i、j、m的面积。 为保证求得的面积为正值，节点i、j、m的编排次序必须是逆 时针方向，如图5-2所示。 图5-2 平面三角形单元 将 (d) 式代入

10、(b) 式的第一式，经整理后得到 (e) 其中 同理可得 若令 这样，位移模式 (e) 和 (f) 就可以写为 （i , j , m轮换） (5-10) （i , j , m轮换） (5-9) (f) 式中 I是二阶单位矩阵；Ni 、Nj 、Nm 是坐标的函数， 它们反映了单元的位移状态，所以一般称之为形状函数，简 称形函数。矩阵 N 叫做形函数矩阵。三节点三角形单元的 形函数是坐标的线性函数。单元中任一条直线发生位移后仍 为一条直线，即只要两单元在公共节点处保持位移相等。则 公共边线变形后仍为密合。 (5-11) 也可写成矩阵形式 (5-12) 三、应 变 有了单元的位移模式，就可以利用平面

11、问题的几何方程 求得应变分量。将 (e) 、(f) 两式代入上式，即得： (g) 可简写成 其中 B 矩阵叫做单元应变矩阵，可写成分块形式 而子矩阵 由于和bi 、bj 、bm 、ci 、cj 、cm 等都是常量，所以矩阵 B中的诸元素都是常量，因而单元中各点的应变分量也都 是常量，通常称这种单元为常应变单元。 （i , j , m轮换） (3-15) (3-14) (3-13) 四、应 力 求得应变之后，再将（3-13）式代入物理方程 ， 便可推导出以节点位移表示的应力。即 (5-16) (h) (5-17) 令 则 其中 S叫做应力矩阵，若写成分块形式，有 对于平面应力问题，弹性矩阵D为

12、(5-18) (i) 所以，S的子矩阵可记为 （i , j , m轮换） (5-19) 对于平面应变问题，只要将 (i) 式中的E换成E/1-2 ， 换成 /1-，即得到其弹性矩阵 (j) （i , j , m轮换） (5-20) 注意到（5-7）式，则有 (5-21) 由（5-19）、（5-20）式不难看出，S中的诸元素都 是常量，所以每个单元中的应力分量也是常量。 可见，对于常应变单元，由于所选取的位移模式是线 性的，因而其相邻单元将具有不同的应力和应变，即在单 元的公共边界上应力和应变的值将会有突变，但位移却是 连续的。 在上节中，提出了形函数的概念，即 其中 （i , j , m轮换）

13、 现在我们来讨论一下形函数所具有的一些性质。根据行列 式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其相应的代 数余子式的乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列） 的元素与其他行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和 为零，并注意到（5-9）式中的常数ai 、bi 、ci ，aj 、bj 、 5-3 5-3 形函数的性质形函数的性质 cj 和am 、bm 、cm 分别是行列式2的第一行、第二行和第 三行各元素的代数余子式，我们有 形函数在各单元节点上的值，具有“本点是1、它点 为零”的性质，即 在节点i上， 在节点j、m上， (a) (b) (c) 类似地有 (d) 在单元的任一节点上，三个形函数之和

14、等于1，即 (e) 简记为 (5-22) 这说明，三个形函数中只有二个是独立的。 三角形单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端节 点坐标有关、而与其它节点坐标无关。例如，在i j 边上， 有 (5-23) 例如，对图5-3所示的单元 jm和ijn ，具有公共边ij。 这样，不论按哪个单元来计算，根据（5-11）式，公共边 ij上的位移均由下式表示 图5-3 由(5-23)式可知，在ij边上 式中 Ni , Nj 的表达形式如（5-23）式所示。 (i) 利用形函数的这一性质可以证明，相邻单元的位移 分别进行线性插值之后，在其公共边上将是连续的。 由此可见，在公共边上的位移 u、v 将完全由公

15、共边上的两个 节点i、j 的位移所确定，因而 相邻单元的位移是保持连续的。 为了在以后讨论问题中能够比较 方便地确定单元中任意一点处的 形函数数值，这里引入面积坐标的概念。 在图5-4所示的三角形单元ijm中， 任意一点P(x , y)的位置 可 以用 以下三个比值来确定 图5-4 式中 为三角形单元ijm的面积，i 、j 、m 分别是三角 形Pjm、Pmi、Pij的面积。这三个比值就叫做P点的面积坐标。 (5-24) 显然这三个面积坐标并不是完全独立的，由于 所以有： 而三角形pjm的面积为： 故有： 类似地有 (5-25) (5-26) 由此可见，前述的三角形常应变单元中的形函数Ni 、N

16、j 、 Nm 就是面积坐标Li 、Lj 、Lm 。 根据面积坐标的定义，我们不难发现，在平行jm边的直线 上的所有各点，都有相同的坐标Li ，并且该坐标就等于“该直 线至jm边的距离”与“节点i至jm边的距离”之比，图5-4中给出了 Li 的一些等值线。 容易看出，单元三个节点的面积坐标分别为 节点 i： Li =1 Lj =0 Lm =0 节点 j： Li =0 Lj =1 Lm =0 节点m： Li =0 Lj =0 Lm =1 不难验证，面积坐标与直角坐标之间存在以下变换关系： (5-27) 当面积坐标的函数对直角坐标求导时，可利用下列公式： (5-28) 一. 单元刚度矩阵 为了推导单元的节点力和节点位移