MATLAB与线性代数

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1、线性代数的数学实验线性代数的数学实验线性代数的数学实验线性代数的数学实验 1、利用MATLAB求行列式1、利用MATLAB求行列式 2、利用MATLAB进行矩阵运算2、利用MATLAB进行矩阵运算 3、利用MATLAB求方程组的解3、利用MATLAB求方程组的解 4、小结4、小结 一、利用一、利用MATLAB求行列式求行列式 在在MATLAB中我们只需借助函数中我们只需借助函数det就可 以求出行列式的值，其格式为 就可 以求出行列式的值，其格式为 det (A) 其中其中A为为n阶方阵阶方阵 解：解： clear A=2 0 -1 0;1 3 1 -2; 0 1 3 -1;-1 2 0 1;

2、 det (A) 程序说明：程序说明： 1Clear的作用是清除内存中的变量Clear的作用是清除内存中的变量 2矩阵的输入可以有两种格式，除程序中的输 入方式外，还可以如下输入： 矩阵的输入可以有两种格式，除程序中的输 入方式外，还可以如下输入： A=2,0,-1,0;1,3,1,-2;0,1,3,-1;-1,2,0,1 运行结果：运行结果： ans= 32 Example1 求矩阵 的行列式的值求矩阵 的行列式的值 1021 1310 2131 0102 A Example2 计算行列式计算行列式 100 110 011 001 a b c d 解：解： clear syms a b c

3、d A=a 1 0 0;-1 b 1 0;0 1 c 1;0 0 1 d; DA=det (A) 运行结果：运行结果： DA=* * *1ab c dabadc d 程序说明：函数det也可以用于计算含有变量的行列 式 生成符号矩阵 声明变量 程序说明：函数det也可以用于计算含有变量的行列 式 生成符号矩阵 声明变量 二、利用二、利用二、利用二、利用MATLABMATLABMATLABMATLAB进行矩阵运算进行矩阵运算进行矩阵运算进行矩阵运算 1、矩阵的加、减、矩阵的加、减 (1) 维数相同，即行数和列数都分别相等(1) 维数相同，即行数和列数都分别相等 Example3 求矩阵 与矩阵

4、的 和与差 求矩阵 与矩阵 的 和与差 123 212 331 A 324 253 231 B 程序设计：程序设计： clear A=1 2 3;2 1 2;3 3 1; B=3 2 4;2 5 3;2 3 1; 解 (2) 矩阵相应位置的元素相加、减 解 (2) 矩阵相应位置的元素相加、减 C=A+B; D=A-B; C,D 运行结果：运行结果： C= 4 4 7 4 6 5 5 6 2 例题分析： 2在进行矩阵相加的运算时，A+B和B+A的值相 同，满足加法交换律 1进行加、减运算的矩阵必须是同型的 例题分析： 2在进行矩阵相加的运算时，A+B和B+A的值相 同，满足加法交换律 1进行加、

5、减运算的矩阵必须是同型的 D= -2 0 -1 0 -4 -1 1 0 0 2、数与矩阵相乘2、数与矩阵相乘 数与矩阵相乘，是数与矩阵中的每个元素相乘数与矩阵相乘，是数与矩阵中的每个元素相乘 Example4 求矩阵 与求矩阵 与5的乘积的乘积 101 211 121 A 解：解： clear A=1 0 1;2 1 1;1 2 1; B=5*A C=A*5 程序说明：程序说明：5*A与与A*5的值相同 运行结果： 的值相同 运行结果： B= 5 0 5 10 5 5 5 10 5 C= 5 0 5 10 5 5 5 10 5 3、矩阵与矩阵相乘3、矩阵与矩阵相乘 两矩阵相乘时，第一个矩阵（左

6、矩阵）的列数 必须等于第二个矩阵（右矩阵）的行数 两矩阵相乘时，第一个矩阵（左矩阵）的列数 必须等于第二个矩阵（右矩阵）的行数 Example5 求 与 的乘积求 与 的乘积 123 212 331 A 324 253 231 B 解：解： clear A=1 2 3;2 1 2;3 3 1; B=3 2 4;2 5 3;2 3 1; C=A*B , D=B*A 运行结果：运行结果： C= 13 21 13 12 15 13 17 24 22 D= 19 20 17 21 18 19 11 10 13 例题分析： 比较 例题分析： 比较C和和D，可以看出，可以看出A*B和和B*A的结果完全不同

7、的结果完全不同 4、求矩阵的逆4、求矩阵的逆 如果矩阵A是方阵且是非奇异的（可逆），可以 用命令 inv(A) 求得A的逆矩阵 如果矩阵A是方阵且是非奇异的（可逆），可以 用命令 inv(A) 求得A的逆矩阵 Example6 求矩阵 的逆矩阵求矩阵 的逆矩阵 112 011 210 A 解：解： clear A=1 1 2;0 1 1;2 1 0; C= inv (A) 运行结果：运行结果： C= -1 -2 1 2 4 -1 2 3 -1 程序说明： 如果矩阵不可逆，则运行结果会给出警告信息 程序说明： 如果矩阵不可逆，则运行结果会给出警告信息 Example7 利用初等行变换求 的逆矩阵

8、 解： 利用初等行变换求 的逆矩阵 解： clear B=1 1 2 1 0 0;0 1 1 0 1 0;2 1 0 0 0 1; format rat C=rref (B) 矩阵A的增广矩阵 给出矩阵B的行最简形 以有理格式输出 矩阵A的增广矩阵 给出矩阵B的行最简形 以有理格式输出 C= 1 0 0 -1 -2 1 0 1 0 2 4 -1 0 0 1 2 3 -1 112 011 210 A 例题说明： 由线性代数的知识可知，矩阵A和其同型的单 位矩阵E组成增广矩阵B，对B进行初等行变换， 当矩阵A变为单位阵时，单位矩阵E变为矩阵A的 逆 例题说明： 由线性代数的知识可知，矩阵A和其同型

9、的单 位矩阵E组成增广矩阵B，对B进行初等行变换， 当矩阵A变为单位阵时，单位矩阵E变为矩阵A的 逆 D=C(:,4:6) D= -1 -2 1 2 4 -1 2 3 -1 取矩阵C的4到6列， D即为矩阵A的逆矩阵 取矩阵C的4到6列， D即为矩阵A的逆矩阵 5、矩阵相除5、矩阵相除 在MATLAB中，矩阵相除可以利用运算符在MATLAB中，矩阵相除可以利用运算符“ ”（左 除）和 （左 除）和“/ /”（右除），而在线性代数中并没有定 义矩阵的除法. （右除），而在线性代数中并没有定 义矩阵的除法. Example8 求矩阵 和 相除求矩阵 和 相除 123 421 213 A 212 1

10、21 321 B 解：解： clear A=1 2 3;4 2 1;2 1 3; B=2 1 2;1 2 1;3 2 1; C=AB 矩阵左除，相当于inv(A)*B，inv(A)为矩阵A的逆矩阵左除，相当于inv(A)*B，inv(A)为矩阵A的逆 D=A/B D= 1.3333 1.3333 -1.0000 0 -0.5000 1.5000 1.6667 0.1667 -0.50000 说明： 1矩阵的左除和右除概念完全不同，要注意区分 说明： 1矩阵的左除和右除概念完全不同，要注意区分 C= 0.3333 0.6000 -0.2000 -0.6667 -0.4000 0.8000 1.0

11、000 0.40000 0.2000 3可以利用矩阵的右除求解线性方程组XA=b，其中 X=b/A 2可以利用矩阵的左除求解线性方程组AX=b，其中 X=Ab 矩阵右除，相当于A*inv (B) 3可以利用矩阵的右除求解线性方程组XA=b，其中 X=b/A 2可以利用矩阵的左除求解线性方程组AX=b，其中 X=Ab 矩阵右除，相当于A*inv (B) 6、矩阵的秩6、矩阵的秩 Example9 求矩阵 的秩求矩阵 的秩 2112 1221 1212 2211 A 解：解： clear; A=2 1 1 2;1 2 2 1;1 2 1 2;2 2 1 1; rank(A) ans= 4 rank

12、(A)=4 矩阵A的行向量 或列向量线性无关 矩阵A的行向量 或列向量线性无关 三、利用MATLAB求方程组的解三、利用MATLAB求方程组的解 0AX A 1.齐次线性方程组 (1) 如果系数矩阵的秩为n（方程组中未知数的 个数)，则方程组只有零解 (2) 如果系数矩阵的秩小于n，则方程组有无穷 多解 通过求系数矩阵 的秩来判断解的情况： 1.齐次线性方程组 (1) 如果系数矩阵的秩为n（方程组中未知数的 个数)，则方程组只有零解 (2) 如果系数矩阵的秩小于n，则方程组有无穷 多解 通过求系数矩阵 的秩来判断解的情况： 2.非齐次线性方程组2.非齐次线性方程组AX=b (3) 如果系数矩阵

13、的秩小于增广矩阵的秩，则方 程组无解 (2) 如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩小于n， 则方程组有无穷多解 (1) 如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于n， 则方程组有唯一解 根据系数矩阵A的秩和增广矩阵B=A b的秩和未 知数个数n的关系，判断方程组AX=b的解的情况： (3) 如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则方 程组无解 (2) 如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩小于n， 则方程组有无穷多解 (1) 如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于n， 则方程组有唯一解 根据系数矩阵A的秩和增广矩阵B=A b的秩和未 知数个数n的关系，判断方程组AX=b的解的情况： Example10 求解方程组求解方程组 123 123 123 240 20 0 xxx xxx xxx clear A=-1 2 4;2 1 1;1 1 1; rank(A) ans= 2 rref(A) ans = 1 0 2 0 1 3 0 0 0 说明方程有无穷多解，并且解为说明方程有无穷多解，并且解为 23 T kk k 解：解： Example11 求解方程组求解方程组AXb 212 214 321 A 3 1 7 b