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1、 1 第三章第三章 稳恒电流场的边值问题稳恒电流场的边值问题 3-1 在电导率为的均匀半空间表面布以相距2L的电极A和B，并分别以I和I 向媒质中供电。试根据电场的叠加原理，求出A和B两个点电流源在表面上M点形成的电 位。 解：解：易知点电流源A在介质中任意一点产生的电位为 2 A I R ， 同理可得点电流源 B在介质中任意一点产生的电位为 2 B I R ，则叠加后介质中任意一点的总电位为 22 AB II RR 对于表面上一点 M（设其坐标为( 0)x,）而言，| A RxL，| B RxL，则有 22 | 2|2|2| IIIxLxL xLxLxL 3-2 当地表水平、地下为均匀各向同
2、性岩石时，在地层表面布以相距2L的电极A和 B， 并分别以电流强度I和I向地下供电， 在地下建立稳定电流场。 试解答如下问题：（1） 求A和B连线中垂线上h处电流密度 h j的表达式； （2）计算并绘图说明深度为h处的电流 密度 h j随AB的变化规律； （3）确定使 h j为最大时，供电电极距AB与h的关系式。 解：解： （1）易知点电流源 A 在介质中任意一点产生的电位为 2 A I R ，则 3 1 ()()()= 22 A II E RR R j 同理可得点电流源 B 在介质中任意一点产生的电流密度为 3 2 B I R R j，叠加后得介质中 任意一点的电流密度为 33 22 AB
3、AB II RR RR j 在 A、B 连线的中垂线上， AB R =R， AB=2L RRe，则有 33 22 2 2 2 () IIL L R Lh jee （2） （3）设 3 22 2 ( )()f LLLh ，对其求导可得 35 22222 22 ( )()3()f LLhL Lh 2 令其等于 0，得 222 30LhL，解得 1 2 Lh 故 h j为最大时电极距AB与 h 的关系为 1 222 2 ABLhh 3-3 在习题 3-2 中，电极距2ABh时，均匀各向同性半空间中h深度处的电流密 度最大。如果在h深度以下存在高阻或低阻岩层，在这种层状介质空间中，为保持h深度电 流密
4、度不变，AB将如何变化？为什么？ 3-4 如习题 3-4 图所示，在三层均匀地层表面布以相距为2L的电极A和B，并分别 以I 和I向地层媒质中供电。试求出在地表M点和N点之间形成的电位差 MN ，并讨 论（1） MN 与 1 Z和 2 Z的关系； （2） MN 与 1 和 2 的关系。 0 Z 2 Z 1 Z 2L M L I I BMN 1 2 3 N L A 习题 3-4 图 解：解：由题意知 131 uAus，其中 12 APP 对矩阵 1 P有 12 1122 1 2 PP ， 1 2 12 12 1 2 z Pe ， 1 2 12 21 1 2 z Pe 对矩阵 2 P有 23 11
5、22 2 2 PP ， 2 2 23 12 2 2 z Pe ， 2 2 23 21 2 2 z Pe 则由 12 APP计算后可得 12 2 () 2323 11 12 ()()()() = 4 zz e A 1212 21 22 2323 12 12 ()()()() = 4 zz ee A 1212 12 22 2323 21 12 ()()()() = 4 zz ee A 1212 21 2 () 2323 22 12 ()()()() = 4 zz e A 1212 3 设 12 1 12 k ， 23 2 23 k ，则有 12 1212 22 12 11 2 ()22 1 212
6、 1 zz zzzz k ek e BA k k ek ek e 则点电源在地表任意一点的电位为 01010 11000 ( ,0)()2()1 2() 22 II JdAJdAJd 所以 M 点的电位为 10 10 10 10 12() () 2() 12() () 2() mAB MM M MM M I LLAJLL d LL I LLAJLL d LL 同理可得 N 点电位为 10 10 10 10 12() () 2() 12() () 2() NNN N NN N I LLAJLL d LL I LLAJLL d LL 所以M点和N点之间形成的电位差 MNMN （1） （2） 3-5
7、 （1）设在均匀各向同性无限大导电岩石中有一半径为a的球形矿体，围岩电导率 为 1 （电阻率为 1 ） ，球体电导率为 2 （电阻率为 2 ） ，导电岩石中流着均匀电流场，其 电流密度为 0 J，如习题 3-5(a)图所示。求稳恒时的电位分布与电流分布。 （2）由于地面电法勘探的供电和测量均在地面进行,如习题 3-5(b)图所示，球心距地面 距离为 0 h。求地下空间电流分布及地面电位分布。 (a)全空间均匀电流场中的导电球体 (b)半空间均匀电流场中的导电球体 习题 3-5 图 4 解：解： （a）有球体存在时，球内球外电位有两部分电位（正常电位和异常电位）叠加而成。 这里将叠加后得电位称为
8、一次场电位，而将异常部分称为一次场异常电位，并表示为 (2)(2) 101a UUU (1)(1) 101a UUU 其中 0 U为均匀电流场的电位， (2) 1a U为球内一次场的异常电位， (1) 1a U为球外一次场的异常电 位。 取球心电位为零，可以写出均匀电流场的正常电位解为 001 cosUjr。 易知球内外的电位具有轴对称性即与无关，于是满足以下形式的拉普拉斯方程 2 1 ()(sin)0 sin uU r rr 采用分离变量法求解，并结合球内球外电位有限的条件可得得其通解形式为 (2) 1 0 ( , )(cos ) n ann n UrA r P (1)(1) 1 0 ( ,
9、 )(cos ) n ann n UrB rP 于是球内与球外一次电位的一般解为 (2) 101 0 cos(cos ) n nn n UjrA r P (1)(1) 101 0 cos(cos ) n nn n UjrB rP 根据球体与围岩的分界面上电位连续的边界条件可得 (1) 01 0001 00 00 cos(cos )cos(cos ) nn nnnn nn jrA r PjrB rP 根据球体与围岩的分界面上电流密度法线分量的连续性边界条件可得 00 (1)(2) 11 12 11 | r rr r UU rr 即 (2)(1) 100100 00 1122 1111 cos(1
10、)(cos )cos(cos ) nn nnnn nn jnB rPjnA rP 联立以上二式解得 21 101 21 2 Aj 3 21 101 0 21 2 Bjr 0(1) nn ABn 所以球内与球外的一次电位表达式为： 5 (2) 21 101 21 1cos 2 Ujr (1)3 021 101 21 1() cos 2 r Ujr r 由公式() A E j即可求得空间的电流分布。 (b)地面的影响可以用一个镜像球体代替，如球心深度相对球体半径较大，即球体埋藏 较深时可以忽略球体与地面以上镜像的相互作用。 这时采用将球外 (1) 1 U表达式的异常部分加 倍的方法可以求得地下一次
11、电位的一级近似解答。 3 021 101 21 12() cos 2 r Ujr r （1） 由公式() A E j即可求得地下空间的电流分布。 若以球心在地面投影点o为原点，z轴垂直向下。地面观察点坐标为(0)M x y， ， ，球 心坐标为 0 (0 0 )h，于是 222 0 rxyh， 222 0 cos x xyh 代入式（1）中即可得到地面的电位分布。 3-6 球面偶电层产生的电流场。如习题 3-6 图所示，有一半径为a，电导率为 2 的均 匀球形矿体，位于电导率为 1 的无限均匀媒质中。设矿体处于氧化与还原的环境之中，因 而在球面上产生一偶电层，其电位跃变为 0cos 其中 0
12、为球面电位的最大跃变值，为极轴Oz和球心至观测点P的矢径之间的夹角。 求 此球面偶电层在球内外所产生的电位分布。 习题 3-6 图 解解：用分离变量法求解。设球外电势为 1 ，球内电势为 2 ，因 1 和 2 均满足拉普拉 斯方程，且具有轴对称性，故 1 和 2 仅为、r的函数，与方位角无关，其通解为 6 1 0 ()(cos ) n n nn n n B A rP r 定解过程如下： r时， 1 0，故 1 中无 n r项，即 1 1 0 (cos ) n n n n B P r 0r时， 2 有限，故 2 中无 ) 1( n r项，即 2 0 (cos ) n nn n A r P 球面两
13、侧电势跃变 120 ()cos r a uu ，则有 cos)(cos)( 0 0 1 uPaA a B n n n n n n 球面两侧 n J连续，即 21 21 r ar a rr ，则有 0 2 1 0 1 2 )(cos) 1()(cos n n n n n n n n P a B nPanA 比较以上两式两端的)(cos n P系数，当1n时，得到 01 2 1 uaA a B ， 3 1 112 2 a B A 联立求解以上两式，得 a u A 0 12 1 1 2 2 ， 0 2 12 2 1 2 uaB 当1n时，0 nn BA。 将所求出的各系数代入通解，得 2 2 10 21 ( )cos 2 a u r 1 20 21 2 ( )cos 2 r u a 3-7 球形矿体在点电源中的场如习题 3-7 图所示，在电导率为 2 的无限大均匀媒质中 有一半径为a、电导率为 1 的均匀球形矿体，在距球心为d的A点处
