《北京师大附中2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷（含答案解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京师大附中2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷（含答案解析）（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、北京师大附中2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。从每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B【解析】，复数所对应的点为，故选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为2.抛物线的准线方程是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由抛物线x2y可得：2p1，即
2、可得出抛物线的准线方程【详解】由抛物线x2y可得：2p1，因此抛物线的准线方程是y故选：A【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其准线方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.椭圆的长轴长是短轴长的4倍，则a=A. 2 B. 4 C. 8 D. 16【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的标准方程及其性质即可得出【详解】由椭圆的焦点在x轴上，a1b，由题意可得2a421，解得a4故选：B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其性质，是基础题4.在三棱锥中，A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由向量加减法运算即可.【详解】,，故选：C.【点睛】本题考查向量加减法，是基础题.5.下面是关于
3、复数的四个命题，其中的真命题为;的共轭复数为；的虚部为iA. , B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘除运算化简复数z，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解即可得答案【详解】z1+i，：|z|，：z22i，：z的共轭复数为1-i，：z的虚部为1，真命题为p2，p3故选：A【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查复数运算及复数的模、复数的虚部、共轭复数的概念，是基础题6.已知数列为等差数列，则“，成等比数列”是为常数列的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】若,解d=0，故成立；若，不构成
4、等比数列，故不成立，故选：A.【点睛】本题考查等差及等比数列的性质，充分必要条件，注意常数列不一定是等比数列.7.如图，在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1B与AD1所成角的余弦值【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AA12AB2AD2，则A1（1，0，2），B（1，1，0），A（1，0，0），D1（0，0，2），（0，1，2），（1，0，2），设异面直线A1B与AD1所成角为，则cos异面直线A1B
5、与AD1所成角的余弦值为故选：D【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用8.点M为双曲线上任意一点，点O是坐标原点，则的最小值是A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】设M(x,y),将，代入化简为y的函数求最值即可.【详解】设M(x,y), 点M为双曲线上,=故选：B.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，是基础题.9.已知点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点P在椭圆C上，则使为等腰三角形的点P的个数是A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】【分析】分以P,A,B为顶点三种情况，讨论即可.【详解】以P为
6、顶点时，显然AB中垂线与椭圆有两个交点，即点P有两个；当以B为顶点时，设,，且解或(舍去)，此时P有一个；当为等腰三角形以A为顶点时,且解或(舍去) 此时P有一个，综上点P有4个，故选：C.【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，点点距，分类讨论思想，注意讨论要全面.10.设点O为坐标原点，已知点Q为抛物线上与O不重合的任意一点，直线为抛物线C在点Q处的切线，过点Q且与垂直的直线与x轴交于点G，轴于点H，则A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】设Q(m,n),则再得QH方程，进而得H坐标，即可解答.【详解】设Q(m,n),则则令,故选：B.【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质
7、，切线方程，是基础题, 设P=在P点处切线方程为二、填空题共6小题，每小题5分，共30分11.已知数列满足，则_【答案】8【解析】【分析】由递推关系分别计算即可.【详解】故答案为8.【点睛】本题考查数列递推关系，求数列的项，是基础题.12.点（0，1）到双曲线的渐近线的距离是_。【答案】【解析】【分析】由渐近线方程，代入点到线的距离公式即可.【详解】渐近线方程为点（0，1）到直线的距离为d=,故答案为【点睛】本题考查双曲线的几何性质，是基础题.13.已知空间中的三个顶点的坐标分别为，则BC边上的中线的长度为_。【答案】【解析】【分析】写出BC中点坐标E,进而得AE长度.【详解】设BC中点E,则
8、【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，两点间距离，是基础题.14.设，是双曲线的两个焦点，P是该双曲线与椭圆的一个公共点，则_【答案】【解析】【分析】椭圆与双曲线共焦点，运用余弦定理可解.【详解】设P为椭圆与双曲线在第一象限的交点，令则,故答案为【点睛】本题考查椭圆与双曲线的定义，焦点三角形问题，注意定义的运用是关键.15.与直线相切的一个椭圆的方程可以为_。【答案】【解析】【分析】利用与椭圆相切直线方程公式求解即可.【详解】设切点为P，则椭圆在P出切线为,直线的斜率为=-1,即,故答案为【点睛】本题考查椭圆的性质，注意结论的积累，设P（1）,圆在P切线为椭圆在P切线为双曲线在P切线为.16.某
9、银行贷款年利率为r，按月计息利率为，小王计划向银行贷款p元，已知贷款利息按复利计算（即每期的利息并入本金，在下一期中一起计息），设按年计息与按月计息两种贷款方式一年后的还款总额（本金、利息之和）分别为a,b，则a,b的大小关系是_。【答案】【解析】【分析】按年计息：按月计息：，做差比较即可.【详解】由题按年计息：按月计息：，则令故故答案为.【点睛】本题考查函数导数的应用，关键是写出a,b的表达式，做差，求导判正负.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17.已知等差数列的公差不等于0，且是，的等比中项。（1）求的通项公式；（2）设的前n项和为，若，求正整数n的最
10、小值。【答案】（1）；（2）16【解析】【分析】（1）,，分别用d表示，解方程组即可；（2）得到n的不等式求解即可.【详解】（1）-13,d=2,的通项公式为（2）,解n15正整数n的最小值为16.【点睛】本题考查等差数列通项，求和公式，是基础题,18.已知椭圆（）上任意一点到两个焦点的距离之和为6，其离心率为。（1）求椭圆C的方程；（2）过点（0，-2）的直线l与椭圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程。【答案】（1）；（2）或或【解析】【分析】（1）由椭圆定义知a=3,求得c=（2）设直线l：y=kx-2,与椭圆方程联立，运用韦达定理由弦长公式求得，解k的方程即可【详解】（1）由椭圆定义知
11、2a=6,a=3,又e= 椭圆C的方程为（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0,此时当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx-2，联立，得, ,得k或k- 解得，即 符合综上直线l的方程或或【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式，是中档题，易错点是漏掉k不存在的情况.19.如图，在三棱锥中，与均为边长是2的等边三角形，平面平面CBE，点O是BE的中点。（1）求证：；（2）求直线AB与平面ACE所成角的正弦值。【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）证明AO面即可；（2）以O为原点，OB为x轴建立空间直角坐标系，求面ACE的法向量，由空间向量的线面角公式即
12、可求.【详解】（1）是等边三角形，点O是BE的中点， AOBE,又平面平面CBE，BE为交线，AO面，又平面CBE（2）连接OC,由（1）知，AO以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，如图：面ACE的法向量为，则即取则设AB与平面ACE所成角为则直线AB与平面ACE所成角的正弦值直线AB与平面ACE所成角的正弦值为【点睛】本题考查线面垂直判定，空间向量求线面角，是基础题.20.设抛物线的焦点为F，直线与抛物线W相交于A，B两点，点Q为线段AB的中点。（1）求m的取值范围；（2）求证：点Q的纵坐标为定值；（3）若，求直线l的方程。【答案】（1）；（2）2；（3）【解
13、析】【详解】（1）直线与抛物线W联立得解m1;（2）由（1），设，则，点Q的纵坐标为点Q的纵坐标为定值2.（3）即,将代入得解直线l的方程为【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，是基础题，21.已知椭圆过点P（0，1），其焦距为（1）求椭圆C的方程；（2）设点A是椭圆C上异于顶点的任意一点，直线PA交x轴于点M，点B与点A关于原点O中心对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。【答案】（1）；（2）的坐标为或【解析】【分析】（1）c=进而求得a，方程可求；（2）设, 转化为即，化简求得t.【详解】（1）由c=即椭圆C的方程为。（2）
14、设则，=,即，同理，即，即得,又得则Q的坐标为或【点睛】本题考查椭圆的几何性质，点在曲线上的应用,突破点是.22.设数列的前n项和为，（1）写出，；（2）求证：对任意，；（3）求证：存在，。【答案】（1）1，；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）由递推关系求解，（2）得累加得的通项，将转化为证即可；（3）由（2）放缩为，赋值可证【详解】（1）令n=1,解1；令解；令解.（2）当时，整理得所以当时，将上述式子相加得当n=1时，即，满足上式所以等价于，即因为所以数列是递增数列。又所以当时，又因为，所以对任意，即（3）由（2）知所以当时，将上述式子相加，得令，得所以取，【点睛】本题考查数列的递推关系，放缩法证明数列不等式，裂项求和，是难题，第二问关键等价于，即的转化.
