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1、匪 幂 函 数的 教 学 设 计 与 反 思 张 欢 欢 ( 广州市华师附中番禺学校 ， 广东 广州5 1 0 0 0 0 ) 课题 ： 幂 函数 ( 高 中数学人教A版必修一教材 ) 教学 目标 ： 知识 与技能 ： 了解幂 函数的概念 ， 会 画几个 常见幂函数的 图像 ， 并能结合图像 ， 简单 了解其变化情况 概括函数性 质 过程 与方法 ： 通过作 图并 观察 、 总结幂 函数的性 质 。 培养 学生 的作 图能力 ， 观察 、 分析 、 归纳总结的能力 ， 体会 类比在研 究 问题 中的作用 ， 渗透数形结合的思想 情感 态度与价值观 ： 通过 师生 、 生生彼此 之间的讨论 、
2、互 动 ， 培养学 生合作 、 交 流 、 探究 的意识 品质 ， 同 时让学 生在探 索 、 解 决问题过程 中， 获得学习的成就感 教学重点 ： 从 五个具体幂 函数 中认识幂函数的一些性质 教学难点 ： 将 函数 图像 的感性认识 上升到理性认 识 ， 归纳 概括 出函数的性质 教 学 过 程 ： 一 、实例 观 察 问 题 引 入 问 题 ： 1 某人买 了每千克 1 元 的苹果 ， 则其 需付 的钱数P ( 元 ) 和 购买的苹果的量( 千克 ) W 之间的有何关 系? 2 正方形的面积S 和它的边长之 间有何关系? 3 正方体的边长V和它 的边长之间有何关系? 4 问题2 中。 边
3、长是S 的函数吗? 5 某人在t 秒内骑车行进 了1 千 米 ， 那么他骑车行进 的平均 速 度 v 为 多 少 ? 全体学生 ： 这六个关 系式 ( 都是 函数关系式 ) 分别是 l 2 3 ， 一 I p =w， S =a ， V=a ， a =S ， v=t 师 这六个 函数关系式从结构上看有 什么共 同的特征吗? 这时 学生观察可能有些困难 ， 老师提示 ， 可 以用x 表示 自 变量 ， 用Y 表示 函数值 ， 上述函数式变成 ： y = x ， y = x ， y = x ， y = x ， 一l y = x 生： 底数都是 自变量 ， 指数都是常数 师补充： 它们都是形 如v =
4、 x 的 函数 ， 其 中0 为常数 ( 投影幂 函数 的定义 ) 今 天这节课 ， 我们 就来研究幂 函数 【 设计意图】 引导学生从具体的实例中进行总结， 从而 自 然引 出幂 函数的一般特 征， 帮助学生明晰概念 ， 引入课题 二 、 类比联想 。 探究新知 1 幂 函 数 的 定 义 一 般地 ， 我们把形 fl y = x 的 函数叫做幂 函数 ， 其中x 为 自变 量 ， O t 为常数 【 深化认知 】 判断下列函数哪几个是幂 函数? 1 ( 1 ) y = 3 ； ( 2 ) y - x ； ( 3 ) y = 2 x ； ( 4) y = x + 1 ； ( 5 ) y =
5、一 、 X 思考 ： 幂函数 与指数 函数有什么联系和区别 ? 生 ： 幂 函数 的底 数是 自变 量 ， 指 数是常数 ； 指数 函数 的指 数是 自变量 底 数是 常数 【 设计 意图】 加深对幂 函数定义 的理解 ， 巩固概念 ， 幂 函数 与指数 函数 的概念学生容易弄混 理解新知识的同时 ， 巩 固复 习 旧知 识 2 探 究五个常见幂函数的图像 与性质 师引导生 回答 ： 6 0 有了幂函数的概念后 ，我们接下来做什么? 研究幂 函数的性质 通过什 么方式来研究? 画函数 的图像 为使作 图高效 。我们 可先 做点 什么分析 函数 的定义 域 、 奇偶性 、 单调性 【 动手实践
6、】请同学们画出下列五个常见幂函数的图像 ， 并 将你发现的结论填人表格 ( 1 ) y = x ； ( 2 ) y = x ； ( 3 ) y = x ； ( 4 ) y = x ； ( 5 ) y = x 3 ( 投影显示表格) 上 Y x y= x y= x y= x Y= X 2 定 义域 值 域 奇偶 性 单调 性 师 ： 由于前 三个 函数初 中已经学 习过 ， 因此请三个 同学到 黑板上 画出它们 的图像并写出性质全体 同学小组间合作讨 论 ， 在同一直角坐标系 中画出这五个 函数 的图像并完成表格 全体学生小组讨论合 作完成 。 同学之间对照修 整 教师巡 视学生完成情况 ， 并
7、发现学生所存在的问题并及时给予指导 师 ：通过刚才同学们 的动手实践发现v ： x y = x ， y = x 这 三 个 函数的图像与性质基本上没问题 ， 都 能完成好 而y = x ， y = x l 这两个 函数大家就感 觉陌生 。 下 面我们就重点研究y = x 的 函 数 图像和性 质 。 为 了作 图 的高 效 ， 我们 先根 据这个 函数 的解 析式研究 它的性质 ， 然后根据性 质并结合描 点法作 出相应 的 图像 1 师提问 ： 哪位同学能说 出y = x 的定义域 、 值域 、 奇偶性及 单调性? 生 l ： 先将y = x 写成v = x x的形式 ， 然后 易知定义域和
8、值 域都 是 0 ， + 。 。 ) ， 由此 可以知道它 的定 义域不具 有对 称性 ， 所 以它是 非奇 非偶函数 又因为Y 是随x 的增大 而增大的 所 以它 是增 函数 师 ： 回答得很好 掌声鼓励!但是生1 只是依据定义简单地判 断出它是一个增函数， 那么你能不能证明fix ) = 、 X在 0 ， + 。 。 ) 上 是 增 函数? 学生 回顾单调性证明的一般步骤并相互讨论 ，教师巡堂 指导 ， 生2 上 黑板板 书证明过程 师生一 起指出生2 的证 明过程 中所 出现的问题并订 正 证 明： 任取x I ， x 2 0 ， + ) ， B x l x ， ， 则 f ( x 】
9、) f ( x ) ： 一 ： ： V x l + V x 2 X 1 X2 + 因为O x l x 2 ， 所以x l x 2 0 ， ) iI)Af ( x I ) f ( x 2 ) ， 即幂函数f ( x ) = 、 X在 0 ， + 。 。 ) 上的增函数 教师强调教材 中此例题 的地位和作用 ： ( 1 ) 复 习用 定义证 明单调性 的过程 ( 2 ) 幂 函数 的单调性 很容 易观察 ， 强调 严格 判 断的时候要用 定义法进行证 明 ( 3 ) 幂 函数 的单调性 很容易 观察 以至于在证明中直接用到了单调性 如直接判断、 1一 、 2 O 时 ， 在( O ， + ) 内是
10、增 函数 ； 当c x 0 8 3 - 0 “9 0 8 ( 2 )y ： 在 ( 0 ， + ) 上 是 增 函数 ， ( ) c 师小结 ： 比较 同指数不 同底 数的两个幂的大小 ， 还可 以利 用幂函数的单调性来判断 跟踪练习 ： 比较下列各组数的大小 ( 1 ) 一 8 。和一( 二 ) 9 ( 2) ( 一 2) 和 ( 一 2 5) ( 3) 1 1和 1 2 ( 4) 4 1 ， 3 8 和 ( 一1 9 ) 拓展练习 ： 若 ( m+ 4 ) ( 3 2 m) ， 求m的取值范围 【 设计意图】 增强学生对新知的应用能力 ， 从而达到能力 的 转 型 和 对 知 识 理 解
11、的 深化 四 、 课 堂小 结 归 纳 提 升 先请学生说说本节课学到 了什么知识和思想 然后师生 共同总结得到共识 ： 要想 系统认识 幂函数的性质 ， 必须从它 的 图像着手 。 重点抓住 幂函数在第一象限 内的图像特征 ， 然后根 据奇偶性作出其他象限内的图像 ， 因而对函数的定义域 、 单调 性和奇偶性的分析很重要 五、 教 学反思 幂 函数 教学 反思 本节课是数学必修1 第二 章 函数 第三节幂函数的第 l 课 时这节课是在学完指 数函数和对数 函数 后高中阶段接触 的 第三种初等函数幂函数 ， 因此 在教学过 程中 ， 类 比研究一般 函 数 、 指数 函数 、 对数 函数 的过
12、程和方 法 ， 研 究幂 函数 的图像和 性质通过本节课 的学 习可以进一步深化 学生对函数概念 的 理解与认识 ，使学生得到较系统 的函数知识 和研究 函数 的方 法 ， 并且为 以后学习三角函数 、 导数相关的 内容做好 准备 本班一些学 生数学基础 较差 ， 理解能 力 、 运 算能力 、 思维 能力等参差不齐 ； 一些学 生学 数学 的 自信心不强 ， 学 习积极性 不高 针对这种情 况 ， 在教学安排 上 ， 我 注意面向全体 发挥学 生的主体性 引导学生积极地观 察问题 分析 问题 激发学生 的求知欲 和学习积极性 ， 指导学 生积极思 维 、 主动获取知识 ， 养成 良好 的学
13、习方法 回顾这节课 ， 心中有很 多感想 。 也 有 以 下 思 考 1 反 思教 学 中 的设 计 ( 1 ) 这节课是在学生 系统地学 习了指数 函数 、 对数 函数之 后研究的又一类基本初 等函数学生 已经学 习了指数函数和 对数函数的图像和性质 ，幂函数概念的引入 以及 图像和性质 的研究较易接受 因此这节课从引入幂 函数的概念 。 然后逐个 画出五个 具体 幂函数的图像 及分析 、 探究各 自的性质 。 再归纳 出幂函数的基 本性 质 ， 每一个环节都是 以教 师引导 。 以学生的 自主探究为主完成是符合学情 的 ( 2 ) 设计“ 探究y = x ， y = x ， y = x ，
14、 y = x ， y = x 五个 函数的图像 和性质 ” 及 “ 根据五个 函数 的性质归 纳幂 函数 的基本性质 ” 这 两个探究 问题 ， 学生 通过观察 图像 、 自主探究 、 主动思 考达到 对知识的发现和接 受 ， 改变过去机械接受 和死记结论 的状况 ， 符合新课 改的理念 ， 同时也完成了这节课 的主要教学任务 ( 3 ) 在 探究完幂 函数的概念 和性质之后 都分别设置 了一 组练习 通 过练 习能及时反馈学生对所探求到 的知识的掌握程 度 便 于及 时调整课 堂教学行 为 从课后作业情 况看学生对这 6 1 匪 些知识 的掌握是 比较好的 ( 4 ) 这节课 的学 习对 函
15、数研究方 法和步骤 的总结及从 特 殊到一般进行类 比、数形结 合思 想的运用 将对后续学习新的 函数起 到了重要的示范作用 设 计 中不 足 的地 方 ： 在 “ 根据 五个 函数 的图像 来归 纳幂 函数的共 同性质 ” 的设计 中 ， 我 的最初 目的是 想让 学生观 察 五个函数在 同一 直角坐标 系中的图像 。 然后归 纳出幂 函数在 第一 象限的共同性质即定点 、 奇偶性和单调性 个人觉得 有了 图 ， 从 图中就可 以读 出性 质 ， 然 后让学生进 行讨论 ， 总结 归纳 其性 质 没有考虑到学生基础差 ， 对 已学过的知识没有一 个连 贯 性 ， 课前 也没有 预习 。 所 以导致 大部分 学生 不知 道函数 的 性 质具体 有哪些 ， 不知道这 个 问题 从何 处 出发 ， 需要 老师 的 引导才能作答 ： 而一小部 分思维活跃 的学生所 回答的性 质超 出了我所设计 的范围之内 ( 如有 的学 生 回答 的是 第一象 限的 图像 特征 及幂指 数的大 小与 图像 的关 系等 之类 的 问题 ) ， 从 而浪费 了一些 时 间 课堂 显得有 些混 乱 因 此针对 我们 这种 基础 的学生 在设计这个探 究时应该像 探究前 面的五
