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1、道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。PartPart数学物理方程数学物理方程教材：数学物理方法（梁昆淼教材：数学物理方法（梁昆淼高教出版社高教出版社第三版）第三版）参考：数学物理方法学习指导（姚端正参考：数学物理方法学习指导（姚端正科学出版社）科学出版社）道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。授课内容n数学物理定解问题（Chap.7）n分离变数（傅里叶级数）法（Chap.8）
2、n球函数（Chap.10）n柱函数（Chap.11）道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。Chap.7数学物理定解问题n数学物理方程的导出n定解条件n数学物理方程的分类n达朗贝尔公式定解问题n本章小结道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。物理量u(YEBP)空间分布（xyz）时间演化（t）边界条件初始条件物理规律u(xyzt)分析问题定解问题（确定系数）定界条件道德是一定社会、
3、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。7.1数学物理方程的导出n常见的数学物理方程1.波动方程2.输运方程3.稳定场方程n导出的步骤1.确定研究对象（物理量）2.分析物理过程，提炼物理模型3.建立方程，化简整理，推广道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。波动方程波动方程n均匀弦的微小横振动问题：一根长为L的均匀弹弦，不计重力，不受外力。其张力为T，线密度为。求弦的微小横振动的规律。分析：设弦平
4、衡时沿x轴，考虑弦上从x到x+dx的一段，其质量为dx。设弦的横振动位移为u(xt)，则由牛顿第二定律dxutt=T2sin2-T1sin10=T2cos2-T1cos1微振动条件cos1=cos2=1sin1=tan1=ux(xt)sin2=tan2=ux(x+dxt)于是有T2=T1=Tuttdx=Tux(x+dxt)-ux(xt)化简后得到utt=Tuxxutt=a2uxxBCA12uxxdxa2=T道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。波动方程n推广1n情况：受迫振动（考虑重力
5、或外力）n分析：设单位长度所受到的横向外力F(xt)，则dx段的受力为Fdxn方程：utt=Tuxx+Fnutt=a2uxx+f，f=F道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。波动方程n推广2n情况：均匀杆的纵振动问题n分析：张力T变成杨氏模量Yn方程：utt=Yuxx+Fnutt=a2uxx+fn推广3n情况：三维情况n分析：位移u成为空间变量xyz和时间t的函数n方程：道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传
6、统习惯、教育和内心信念来维持的。问题：扩散问题中研究的是浓度u在空间的分布和在时间中的变化。分析：扩散现象遵循扩散定律，即q=-Du，q是扩散流强度，D是扩散系数，u是浓度梯度。对于三维扩散问题，考察单位时间内小体积元dxdydz的净流入量。扩散方程zyxdxdydzo道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。扩散方程nn在在xx，yy，zz方向上，单位时间内净流入量为方向上，单位时间内净流入量为n如果体积元内没有源或汇，由粒子数守恒知，体积元中单位时间内增加的粒子数等于单位时间内净流入的
7、粒子数道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。输运方程n一维热传导问题：一根长为L的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为k，比热为c，线密度为。求杆内温度变化的规律。分析：设杆长方向为x轴，考虑杆上从x到x+dx的一段，其质量为dx，热容量为cdx。设杆中的热流沿x轴正向，强度为q(xt)，温度分布为u(xt)，则由能量守恒定律cdxdxdu=dQ=q(xt)-q(x+dxt)dt=-qx(xt)dxdt于是有cut=-qx由热传导定律q(xt)=-kux(xt)代入前面的
8、式子，得到cut=kuxxut=a2uxxa2=k(c)道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。扩散方程和输运方程nn扩散和输运方程具有共同的形式：扩散和输运方程具有共同的形式：n对于有源扩散或者有源输运（或者侧面不绝热），则方程的形式变化为：源的强度道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。稳定场方程n概念n产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对应的方程称为稳
9、定场方程。n形式：在对应的演化方程中取消时间变量t，对t的导数为零。n分类n无外界作用情况n拉普拉斯方程：u=uxx+uyy+uzz=0n有外界作用情况n泊松方程：u=uxx+uyy+uzz=f(xyz)n典型应用n静电场方程：u=-n稳定温度分布：u=-Fk道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。小结nn波动方程、扩散（输运方程）和稳定场方程的形式分别为：波动方程、扩散（输运方程）和稳定场方程的形式分别为：作业：P15234道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然
10、之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。7.2定解条件n方程ut(t)=0n能不能求解？解是什么？n能不能定解？该怎么办？n方程uxx(x)=0n能不能求解？解是什么？n能不能定解？该怎么办？n由此可归纳出n数学物理方程的通解含有任意常数，要完全确定这些常数需要附加条件。一、定解问题的提出道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。二、初始条件n意义n反映系统的特定历史n分类n初始状态（位置），用u|t=0=(xyx)表示；n初始变化（速度），用
11、ut|t=0=(xyz)表示。n典型例子n一维热传导n未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件n一端温度为a，均匀增加到另一端温度为bnu|t=0=a+(b-a)xL道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。初始条件n一维弦振动n未知函数对时间为二阶，需要两个初始条件n初始位移n处于平衡位置：u|t=0=0n两端固定，在c点拉开距离h：u|t=0=hxc，0 xcu|t=0=h(L-x)(L-c)，cx0为双曲型，如波动方程；=0为抛物线型，如热传导方程；0为椭圆型，如稳定场方程。判断：道德
12、是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。推导过程n关于自变量x，y的二阶线性偏微分方程（系数都是x，y的函数）作自变量代换道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。于是，方程化为：道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。n取特解做新的自变量，使A11和A22为零，方程可以简化。特解
13、满足的方程为：把z(xy)=常数当做定义隐函数y(x)的方程，则dydx=-zxzy，于是得到二阶线性偏微分方程的特征方程：道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。三、叠加原理n原理：n线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加正好是原来的方程n如：Lu1=f1nLu2=f2n则：L(au1+bu2)=af1+bf2n应用：n齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；n非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的解；n两个非齐次方程的
14、解的线性组合，为一个新的非齐次方程的解，新方程的自由项为原方程自由项的同样组合。道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。7.4达朗贝尔公式定解问题n定解问题的求解思路n原则：由已知猜未知n方法：类比法n步骤：由泛定方程求通解，由条件定特解。n泛定方程的求解n达朗贝尔公式的推导n达朗贝尔公式的应用道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。一、泛定方程的求解n常微分方程n方程：u=2ax
15、n通解：u=ax2+Cn偏微分方程n方程：ux=2yxn通解：u=yx2+C(y)n二阶方程：uxy=0n对y偏积分：ux=C(x)n通解：u=C(x)dx+D(y)=f(x)+g(y)道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。二、达朗贝尔(DAlembert)公式n以均匀弦的横振动为例来推导达朗贝尔公式方程形式：定解条件：推导步骤：1）由方程求通解2）由初始条件确定通解中的待定系数道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会
16、舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。1）达朗贝尔公式的推导（求通解）道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。通解的物理意义：以速度a沿x轴正负方向移动的行波。道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。达朗贝尔公式的推导（求特解）达朗贝尔公式道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。2）达朗贝尔公式的物理意义n若初始条件为：初始位移分为两半，分别向左右两个方向以速度a移动。这两个行波的和给出各个时刻的波形道德是一定社会、一定阶级调节人与人之间、个体与社会、个体与自然之间各种关系的行为规范的总和。这种规范是靠社会舆论、传统习惯、教育和内心信念来维持的。道德是
