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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学科学学院 陈建华 矩 阵 论 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.3 Jordan标准形 一、 - 矩阵 二、Jordan标准形 三、Jordan标准形简单应用 目标：目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵 结构结构-Jordan-Jordan矩阵。矩阵。 1. 1. 定义定义 设 P 是一个数域， 是一个文字，作多项式环 P . 一个矩阵，如果它的元素是 的多项式，即 P 的元素,就称为 - 矩阵 . 讨论 - 矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上 关于若尔当标准形的主要定理. 因为数域 P 中的数也是 P 的元
2、素，所以在 - 矩阵中也包括以数为元素的矩阵. 一、 - 矩阵 矩阵称为数字矩阵. 以下用 A()， B()， 等 表示 -矩阵 . 我们知道， P 中的元素可以作加、减、乘 三种运算, 并且它们与数的运算有相同的运算规律. 而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法 与乘法，因此，我们可以同样定义 - 矩阵的加法 与乘法, 它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律 . 把以数域 P 中的数为元素的 行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法, 因此,同样可以定义一个 n n 的 - 矩阵的行列式. 一般地， - 矩阵的行列式是 的一个多项式,它与 数字矩阵的行列式有相同的性质. 例如, 对于 -
3、 矩阵的行列式，矩阵乘积的行列式 等于行列式的乘积， 这一结论，显然是对的. 既然有行列式，也就有 - 矩阵的子式的概念. 利用这个概念，我们有秩和可逆矩阵等。 秩秩 如果 - 矩阵 A() 中有一个 r ( r 1 ) 级子式不为零，而所有 r r + 1 + 1 级子式级子式 ( (如果有的话如果有的话) ) 全为零，则称 A() 的秩为 r . 零矩阵的秩规定为零。 可逆矩阵 一个 n n 的 - 矩阵 A() 称为可逆 的，如果有一个 n n 的 - 矩阵 使 A() B() = B() A() = E , (1) (1) 这里 E 是 n 级单位矩阵. 适合 (1) 的矩阵 B()
4、(它 是唯一的) 称为 A() 的逆矩阵，记为 A-1() . 定理 1 一个 n n 的 - 矩阵 A() 是可逆的 充分必要条件是行列式 | A() | 是一个非零数. 证明证明 先证充分性充分性.设 d = | A() | 是一个非零的数. A*() 是 A() 的伴随矩阵，它也 是一个 - 矩阵 ，而 因此， A() 可逆. 再证必要性必要性. 设 A() 可逆，则有 A() B() = B() A() = E , 上式两边取行列式，得 | A() | | B() | =|E | = 1 . 因为 | A() | 与 | B() | 都是 的多项式，所以由它 们的乘积是 1 可以推知，
5、它们都是零次多项式， 也就是非零的数 . 证毕证毕 例例1 1 求下列 - 矩阵的秩 秩为3 秩为2 例例2 2 下列 - 矩阵中，哪些是可逆的？若可 逆求其逆矩阵. 初等变换的定义初等变换的定义 定义 下面的三种变换叫做 - 矩阵的初等变换： (1) 矩阵的两行(列)互换位置； (2) 矩阵的某一行(列)乘以非零常数 c ； (3) 矩阵的某一行(列)加另一行(列)的 () 倍， () 是一个多项式. 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵. 2. - 矩阵的Smith标准形 三种初等变换对应三个初等矩阵初等矩阵 i 行 j 行 i 列 j 列 i 行 j 行 i 列 j 列 i 行 i
6、 列 同样地，对一个 s n 的 - 矩阵 A() 作一次 初等行变换就相当于在 A() 的左边乘上相应的 ss 初等矩阵； 对 A() 作一次初等列变换就相当于在 A() 的右边乘上相应的 n n 的初等矩阵. 初等矩阵都是可逆的，并且有 P( i , j ) -1 = P( i , j ) , P( i(c) ) -1 = P( i( c -1 ) ) , P( i , j ( ) ) -1 = P( i , j (- ) ) . 由此得出初等变换具有可逆性：设 - 矩阵 A() 用 初等变换变成 B()，这相当于对 A() 左乘或右乘 一个初等矩阵. 再用此初等矩阵的逆矩阵来乘 B()
7、就变回 A() ，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由 B()可用初等变换变回 A() . 我们还可以看出在第 二种初等变换中，规定只能乘以一个非零常数，这 也是为了使 P( i(c) ) 可逆的缘故. - 矩阵的等价 定义 - 矩阵 A() 称为与 B() 等价， 可以经过一系列初等变换将 A() 化为 B() . 等价的性质: 等价是 - 矩阵之间的一种等价关系。 如果 - 矩阵等价的条件： 矩阵 A() 与 B() 等价的充分必要条件是有一 系列初等矩阵 P1 , P2 , , Pl , Q1 , Q2 , , Qs 使 A() = P1 P2 Pl B()Q1Q2 Qs . - 矩阵的标准形
8、 本段主要是证明任意一个 - 矩阵可以经过 初等变换化为Smith标准形 . 引理 设 - 矩阵A() 的左上角元素 a11() 0， 并且 A() 中至少有一个元素不能被它除尽，那么 一定可以找到一个与 A() 等价的矩阵 B() ，它的 左上角元素也不为零,但是次数比 a11() 的次数低. 证明证明根据 A() 中不能被 a11() 除尽的元素 所在的位置，分三种情况来讨论： 1)1) 若 A() 的第一列中有一个元素 ai1() 不能 被 a11() 除尽，则有 ai1() = a11() q() + r () , 其中余式 r () 0，且次数比 a11() 的次数低. 对 A()
9、作初等行变换. 把 A() 的第 i 行减去 第 1 行的 q() 倍，得： 再将此矩阵的第 1 行与第 i 行互换，得： B() 左上角元素 r () 符合引理的要求，故 B() 即为所求的矩阵. 2)2) 在 A() 的第一行中有一个元素 a1i () 不能 被 a11() 除尽，这种情况的证明与 1) 类似，但是 对 A() 进行的是初等列变换. 3)3) A() 的第一行与第一列中的元素都可以被 a11() 除尽，但 A() 中有另一个元素 aij () ( i 1, j 1 ) 不能被 a11() 除尽.设 ai 1 () = a11() () . 对 A() 作下述初等行变换： =
10、 A1() . 矩阵 A1() 的第一行中，有一个元素 ai j () +( 1 - () ) a1j () 不能被左上角元素 a11() 除尽，这就化为已经证 明了的情况 2) . 证毕证毕 定理2 任意一个非零的 s n 的 - 矩阵A() 都等价于下列形式的矩阵 其中 r 1 , di() ( i = 1, 2, , r-1 ) 是首项系数为 1 的多项式，且di() | di+1() ( i = 1, 2, , r-1 ) . 证明证明经过行列调动之后，可以使得 A() 的 左上角元素 a11() 0，如果 a11() 不能除尽 A() 的全部元素， 由可以找到与 A() 等价的 B1
11、() ，它的左上角元素 b1() 0，并且次数比 a11() 低. 如果 b1() 还不能除尽 B1() 的全部元素, 由引理，又可以找到与 B1() 等价的 B2() ，它的 左上角元素 b2() 0，并且次数比 b1() 低.如此 下去，将得到一系列彼此等价的 - 矩阵 A() , B1() , B2() , . 它们的左上角元素皆不为零，而 且次数越来越低. 但次数是非负整数，不可能无止 境地降低. 因此在有限步以后，我们将终止于一个 - 矩阵 Bs () ，它的左上角元素 bs() 0，而且 可以除尽 Bs () 的全部元素 bij() ， bij () = bs() qij () ，
12、 对 Bs () 作初等变换： 即 在右下角的 - 矩阵 A1 () 中，全部元素都是可以 被 bs() 除尽的, 因为它们都是 Bs() 中元素的组合. 如果 A1() O，则对于A1() 可以重复上述过 程，进而把矩阵化成 其中 d1() 与 d2() 都是首项系数为 1 的多项式 ( d1() 与 bs() 只差一个常数倍数)，而且 d1() | d2() ， d2() 能除尽 A2() 的全部元素. 如此下去，A() 最后就化成了所要求的形式. 证毕证毕 最后化成的这个矩阵称为 A() 的标准形标准形. 例例3 3 用初等变换把下列 - 矩阵化为标准形. 行列式因子行列式因子 在上一段
13、，我们讨论了 - 矩阵的标准形，其 主要结论是：任何 - 矩阵都能化成标准形. 但是 矩阵的标准形是否唯一呢？答案是肯定的. 为了证 明唯一性，要引入矩阵的行列式因子的概念. 3.行列式因子与不变因子 不变因子 设 - 矩阵 A() 的秩为 r ，对于正整数 k， 1 k r ， A() 中必有非零的 k 级子式. A() 中全部 k 级子式的首项系数为 1 的最大公因式 Dk() 称为 A() 的 k 级行列式因子. 由定义可知，对于秩为 r 的 - 矩阵，行列式 因子一共有 r 个.行列式因子的意义就在于，它在 初等变换下是不变的. 行列式因子行列式因子 性质性质 定理3 等价的 - 矩阵
14、具有相同的秩与相同的各级 行列式因子. 证明证明我们只要证明， - 矩阵经过一次初等 行变换，秩与行列式因子是不变的. 设 - 矩阵 A() 经过一次初等行变换变成 B() , f() 与 g() 分别是 A() 与 B() 的 k 级行列式因子. 我们证明 f() = g() . 下面分三种情形讨论. 1)1) A() 经初等行变换 (1) 变成 B() . 这时 B() 的每个 k 级子式或者等于 A() 的某个 k 级子式, 者与 A() 的某一个 k 级子式反号, 因此 f() 是B() 的 k 级子式的公因式，从而 f() | g() . 2)2) A() 经初等行变换 (2) 变成
15、 B() . 这时 B() 的每个 k 级子式或者等于 A() 的某个 k 级子式, 者等于 A() 的某一个 k 级子的 c 倍 , 因此 f () 是 B() 的 k 级子式的公因式，从而 f() | g() . 或 或 3)3) A() 经初等行变换 (3) 变成 B() . 这时 B() 中那些包含 i 行与 j 行的 k 级子式和那些不包含i 行 的 k 级子式都等于 A() 中对应的 k 级子式；B()中 那些包含 i 行但不包含 j 行的 k 级子式，按 i 行分 成两部分，而等于 A() 的一个 k 级子式与另一个 k 级子式的 () 倍的和，也就是 A() 的两个 k 级子式的组合.因此 f () 是 B() 的 k 级子式的公 因式，从而 f() | g() . 对于列变换，可以完全一样地讨论.总之，如 果 A() 经一次初等变换变成 B() ，那么 f() | g() . 但由于初等变换是可逆的， B()
