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1、高等院校非数学类本科数学课程 概率论与数理统计概率论与数理统计 大大 学学 数数 学学（四四） 第一讲第一讲 随机事机及其概率随机事机及其概率 脚本编写：肖庆丰教案制作：肖庆丰 本章学习要求： v 理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算。 v 理解事件频率的概念，理解概率的古典定义。 v 掌握概率的基本性质及概率加法定理。 v 理解条件概率的概念，掌握概率的乘法定理，了解事 件的独立性概念。 v 掌握贝努利概型和二项概率的计算方法。 第一章 随机事件及其概率 第一节 随机事件及其概率 一、随机试验 二、随机事件 三、事件的关系与运算 一、随机试验 在一定条件下必然发生的现象,称为确定性现
2、象. 在个别试验中呈现出不确定性, 在大量重复试验中其结 果又具有统计规律性的现象, 称为随机现象. 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的 一门数学学科. 随机试验简称试验. 在概率论中,试验是一个含义广泛的术语, 并没有严格的纯数 学定义. 包括人做的试验, 甚至大自然做的试验, 机器人做 的试验, 人进行的观察, 等等. 试验的特点: 1、可在相同条件下重复地进行; 2、每次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确所有可能 的结果. 3、进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 试验的例: E1:抛一枚硬币, 观察正面H, 反面T出现的现象. E2:将一枚硬币掷三次, 观察正
3、面H, 反面T出现的情况. E3:将一枚硬币抛掷三次,观察出现正面的次数. E4:抛一颗骰子, 观察出现的点数. E5:记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数. E6:在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命. E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度. 二、随机事件 (一)样本空间 对于随机试验, 尽管在每次试验之前不能 预知试验的结果, 但试验的所有可能的结果组成的集合是 已知的, 将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的 样本空间, 记为. 样本空间的元素, 即E的每个结果, 称为样本点. E1:抛一枚硬币, 观察正面H, 反面T出现的现象. : H,T E2:将一枚硬币掷三次,
4、 观察正面H, 反面T出现的情况. : HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT; E3:将一枚硬币抛掷三次,观察出现正面的次数. : 0,1,2,3; E4:抛一颗骰子, 观察出现的点数. :1,2,3,4,5,6; 例1 (二) 随机事件 称试验E的样本空间的子集为E的随机事件 , 简称事件. 在每次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样 本点出现时, 称这一事件发生. 特别, 由一个样本点组成的单点集, 称为基本事件. 例如, 掷一次硬币的实验E1有两个基本事件H和T; 掷一次骰子的 实验E4有6个基本事件1,2,3,4,5,6. 样本空间包含所有的样本点, 它是自身
5、的子集, 在每次 试验中它总是发生的, 称为必然事件, 空集不包含任何样 本点, 它也作为样本空间的子集, 它在每次试验中都不发生 , 称为不可能事件. 几个事件的例子: 例: 在E2:掷三次硬币观察正反面出现情况中事件A1:“第一次 出现的是H“, 即 A1=HHH,HHT,HTH,HTT. 事件A2:“三次出现同一面“, 即 A2=HHH, TTT 在E6:测试任取的一只灯泡寿命中, 事件A3:“寿命小于1000小 时“, 即 A3=t|0t1000 三、事件间的关系与事件的运算 事件是一个集合, 因而事件间的关系与事件的运算按照集 合论中集合间的关系和集合运算来处理. 下面给出这些关系
6、和运算在概率论中的提法. 并根据“事件发生”的含义, 给 出它们在概率论中的含义. 设试验E的样本空间为, 而A,B,Ak(k=1,2,.)是的子集 . 通常喜欢用一个矩形来代表, 其中的子区域代表一个事件 . 1、若AB, 则称事件B包含事件A, 这是指的事件A发生必然导 致事件B发生. 若AB且BA, 即A=B, 则称事件A与事件B相等. B A 2、事件AB=x|xA或xB称为事件A与事件B的和事件. 当 且仅当A, B中至少有一个发生时, 事件AB发生. A B 3,事件AB=x|xA且xB称为事件A与事件B的积事件. 当且仅 当A, B同时发生时, 事件AB发生. AB也记作AB A
7、 B 4、事件A-B=x|xA且xB称为事件A与事件B的差事件, 当且 仅当A发生, B不发生时事件A-B发生. A B 5. 若AB=, 则称事件A与事件B是互不相容的, 或互斥的, 这 指的是事件A与事件B不能同时发生, 基本事件是两两互不相容 的. A B 6, 若AB=且AB=, 则称事件A与事件B互为逆事件, 又称事件A 与事件B互为对立事件, 这指的是对每次试验而言, 事件A,B中必有 一个发生, 且仅有一个发生. A的对立事件记为 A 在进行事件运算时, 经常要用到下述定律. 设A,B,C为事件, 则有 交换律: AB=BA; AB=BA. 结合律: A(BC)=(AB)C; A
8、(BC)=(AB)C. 分配律: A(BC)=(AB)(AC); A(BC)=(AB)(AC); 德摩根律: 试验为掷三次硬币, 事件A1:“第一次出现的是H“, 事 件A2:“三次出现同一面“, A1=HHH,HHT,HTH,HTT, A2=HHH,TTT, A1A2=HHH,HHT,HTH,HTT,TTT, A1A2=HHH, A2-A1=TTT, 例2 如图所示的电路中, A表示“信号灯亮“, B, C, D表示继 电器接点I,II,III闭合. I II III 例3 则BCA, BDA, BCBD=A, 而 I II III A B C D 从一批产品中每次取出一个产品进行检验(每次取出的产品 不放回), 事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3). 试用事件 的运算符号表示下列事件: 三次都取到了合格品; 三次中至少有一次取到合格品; 三次中恰有两次取到合格品; 三次中最多有一次取到合格品. 例4 解: 三次全取到合格品: A1A2A3 三次中至少有一次取到合格品: A1+A2+A3 三次中恰有两次取到合格品: 三次中至多有一次取到合格品: 一名射手连续向某个目标射击三次事件Ai表示该射手第i次 射击时击中目标(i=1,2,3). 试用文字叙述下列事件: 例5 解:
