《原子物理中科大版全套课件ch2-3&4&5薛定谔方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《原子物理中科大版全套课件ch2-3&4&5薛定谔方程（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写； 状态随时间的变化遵循着一定的规律。 在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写； 状态随时间的变化遵循着一定的规律。 1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，提出了 薛定谔方程做为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运 动规律。 年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，提出了 薛定谔方程做为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运 动规律。 223 薛定谔方程3 薛定谔方程 一、薛定谔方程一、薛定谔方程 自由粒子束可用单色平面波来描写，其波函数为：自由粒子束可用单色平面波来描写，其波函数为： Et)-rp( ivv
2、 h v =exp),( 0 tr 波函数模的平方为：波函数模的平方为： 2 0 2 = 波函数有什么物理意义呢？波函数有什么物理意义呢？ Born 提出了波函数的统计解释，他认为波函数体现了发现粒子的概 率（几率），波的强度表示粒子出现的概率。 在某处出现粒子的概率： Born 提出了波函数的统计解释，他认为波函数体现了发现粒子的概 率（几率），波的强度表示粒子出现的概率。 在某处出现粒子的概率： rdrdrdtrP rrrr = * 2 ),( “波函数本身没有直接的物理意义，波函数模的平方代表单位体积中粒 子出现的几率。” 在整个空间出现粒子的概率应等于1 “波函数本身没有直接的物理意义
3、，波函数模的平方代表单位体积中粒 子出现的几率。” 在整个空间出现粒子的概率应等于1 =1 2 dxdydz 波函数必须满足的条件（标准条件）： 波函数必须满足的条件（标准条件）： （归一化条件） 单值有限连续 （归一化条件） 单值有限连续 自由粒子的波函数为：自由粒子的波函数为： = = pi E t i r h h 1 1 1 1 9 9 9 9 3 3 3 3 3 3 3 3 诺诺诺诺 贝贝贝贝 尔尔尔尔 物物物物 理理理理 学学学学 奖奖奖奖 奥 地 利 物 理 学 家 薛 定 谔 奥 地 利 物 理 学 家 薛 定 谔 Et)-rp( ivv h v =exp),( 0 tr = 2
4、 2 2mt i h h 自由粒子的含时薛定谔方程自由粒子的含时薛定谔方程 z k y j x i + + rrr 2 2 2 2 2 2 2 zyx + + 拉普拉斯算符拉普拉斯算符 势场中粒子的总能量为：势场中粒子的总能量为：),( 2 2 trV m p E r += 势场中运动粒子的薛定谔波动方程势场中运动粒子的薛定谔波动方程 += ),( 2 2 2 trV mt i rh h = H t ih ),( 2 2 2 trV m H rh += 引入引入哈密顿算符哈密顿算符 势场中运动粒子的薛定谔波动方程可写为势场中运动粒子的薛定谔波动方程可写为 二、定态薛定谔方程二、定态薛定谔方程
5、)()(),(tfrutr rr = 如势函数不是时间的函数，即如势函数不是时间的函数，即)(rVV r = 用分离变量法将波函数写为：用分离变量法将波函数写为： = hh iEt 0ftftf i E t tf exp)()( )( )( )()()(rEururV m2 2 2 rrrh = + 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 EuuH= Hamilton算符的本征方程算符的本征方程 ?E E是是Hamilton算符的本征值算符的本征值 ?u(r) u(r) 是是Hamilton算符的本征函数 所表示的状态称为能量本征态 算符的本征函数 所表示的状态称为能量本征态 22 ururu= )()
6、( rr 与时间无关 对自由粒子波函数 与时间无关 对自由粒子波函数 )()(rEuru m2 2 2 rrh = =)(exp)()(),(Etrp i tfrutr 0 rr h rr 定态:定态:定态薛定谔方程解得的波函数所描述的状态，u(r) 即能量取确定值的状态 定态薛定谔方程解得的波函数所描述的状态，u(r) 即能量取确定值的状态 处于定态的粒子的总能量不随时间变化； 粒子出现在空间的概率的分布不随时间变化； 处于定态的粒子的总能量不随时间变化； 粒子出现在空间的概率的分布不随时间变化； = h rriEt rutrexp)(),( 一、力学量的平均值（期望值）一、力学量的平均值（
7、期望值） ? (r)为粒子的波函数，|(r)|(r)为粒子的波函数，|(r)| 2 2表示粒子在x处出现的几率，即粒 子的位置值等于r的几率 表示粒子在x处出现的几率，即粒 子的位置值等于r的几率 ? 则r的平均值则r的平均值 ? 粒子的势能由其位置决定，其势能等于V(r)的几率为|(r,t)|粒子的势能由其位置决定，其势能等于V(r)的几率为|(r,t)| 2 2 ， 则V(r)的平均值 ， 则V(r)的平均值 224 力学量的算符4 力学量的算符 rdtrrtrr rrrrr ),(),(= rdtrrVtrrV rrrrr ),()(),()(= 如果在坐标表象下，物理量如果在坐标表象下
8、，物理量A的算符为的算符为 A A的平均值的平均值 ? 粒子的动量的平均值粒子的动量的平均值rdtritrp rr h rr ),()(,(= ? 粒子的动能的平均值粒子的动能的平均值rdtr m2 trT 2 2 rrhr ),()(,(= ? 粒子的总能量的平均值粒子的总能量的平均值 rdtr t itrrdtrHtrE rr h rrrr ),(),(),( ),( = rdtrAtrA rrr ),( ),(= 对波函数做某一数学运算，即用某一算符作用于波函数，等效于用某 一力学量乘以波函数 对波函数做某一数学运算，即用某一算符作用于波函数，等效于用某 一力学量乘以波函数 二、力学量的
9、算符表示二、力学量的算符表示 rr r = =hi p 位置算符 势能算符 位置算符 势能算符 )( rVV r = 动量算符 动能算符 动量算符 动能算符 2 2 m2 T= h 能量算符 角动量算符 能量算符 角动量算符 )( rV m2 E 2 2 rh += prL = 225 定态薛定谔方程解的几个简例5 定态薛定谔方程解的几个简例 求解定态求解定态Schrdinger方程问题，就是求解势能不随时间改变条件 下的 方程问题，就是求解势能不随时间改变条件 下的Schrdinger方程，也就是求解方程，也就是求解Hamilton方程 在一维条件下 方程 在一维条件下 求解微分方程，需要利
10、用一定的边界条件 求出波函数 求解微分方程，需要利用一定的边界条件 求出波函数的表达式和的表达式和 E的数值的数值 )()()( )( xEuxuxV dx xud m2 2 22 =+ h = h iEt xuxexp)()( 一、有限深势阱一、有限深势阱 在势阱外，仅讨论在势阱外，仅讨论E = )2a-(x eBu xk 3III 2 =,0,0)( axVxV=0,)( 0 在经典力学中在经典力学中,若若, 粒子的动能 为正 粒子的动能 为正, 它只能在它只能在 I 区中运动。区中运动。 0 VE 0 V V O a III x III 0x),x(Eu dx )x(ud m2 1 2
11、1 22 = h ax0),x(Eu)x(uV dx )x(ud m2 220 2 2 22 =+ h ax),x(Eu dx )x(ud m2 3 2 3 22 = h 0x, 0) x(uk dx ) x(ud 1 2 1 2 1 2 =+ ax0, 0)x(uk dx )x(ud 2 2 2 2 2 2 = ax, 0) x(uk dx ) x(ud 3 2 1 2 3 2 =+ 2 0 2 2 )EV(m2 k h = 2 2 1 mE2 k h =令： 三个区间的薛定谔方程化为 令： 三个区间的薛定谔方程化为： 0 V V ao x I II III 0x,eBeA)x(u xik
12、1 xik 11 11 += 若考虑粒子是从若考虑粒子是从 I 区入射，在区入射，在 I 区中有入射波反射波；粒 子从 区中有入射波反射波；粒 子从I区经过区经过II区穿过势垒到区穿过势垒到III 区，在区，在III区只有透射波。 粒子在 区只有透射波。 粒子在 x=0 处的几率要大处的几率要大 x=a 于在处出现的几率。于在处出现的几率。 ax0,eB)x(u xk 22 2 = ax,eA)x(u ikx 33 = )0(u) 0(u 21 = ) a (u) a (u 32 = 0x 2 0x 1 | dx )x(du | dx )x(du = = axax dx xd dx xd =
13、=| )( | )( 32 边界条件边界条件 定义粒子穿过势垒的贯穿系数定义粒子穿过势垒的贯穿系数： ) )EV(m2 a2 exp( V )EV(E16 | ) 0(u| | ) a (u| P 0 2 0 0 2 1 2 3 = = h 0 V V ao x I II III 隧道效应 隧道效应和扫描隧道显微镜隧道效应和扫描隧道显微镜STM 由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表 面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而 是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为 由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表 面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而 是在表面以
14、外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。 只要将原子线度的极细探针 以及被研究物质的表面作为 两个电极，当样品与针尖的 距离非常接近时，它们的表 面电子云就可能重叠。 若在样品与针尖之间 加一微小电压 只要将原子线度的极细探针 以及被研究物质的表面作为 两个电极，当样品与针尖的 距离非常接近时，它们的表 面电子云就可能重叠。 若在样品与针尖之间 加一微小电压Ub电子 就会穿过电极间的势 垒形成隧道电流。 隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品 方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。 电子 就会穿过电极间的势 垒形成隧道电流。 隧道电流对针尖与样品间的距离
15、十分敏感。 若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品 方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。 Scanning tunneling microscopy 因为隧道电流对针尖与样品间 的距离十分敏感。若控制针尖 高度不变，通过隧道电流的变 化可得到表面态密度的分布； 空气隙 因为隧道电流对针尖与样品间 的距离十分敏感。若控制针尖 高度不变，通过隧道电流的变 化可得到表面态密度的分布； 空气隙 STM工作示意图工作示意图 样品 探针 样品 探针 利用利用STM可以分辨表面上原 子的台阶、平台和原子阵列。 可以直接绘出表面的三维图象 可以分辨表面上原 子的台阶、平台和原子阵列。 可以直接绘出表面的三维图象 三、一维无限深方势阱三、一维无限深方势阱 以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。了解 怎样确定定态的能量 以一维定态为
