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1、数 学教学研 究 第 2 8卷第 4期 2 0 0 9年 4月 体验概率统计在生活决策中的意义 “ 哪种方式更合算” 教学设计 高定照 福建省福鼎市民旌 中学3 5 5 2 0 0 1 教材 分析 本课 选 自新课 标数学 教科 书北 师大版九 年级下册 第 4章第 2节 在 学 生 学过 加权 平 均数和利用加权平均数解决与统计有关的问 题之后， 本课结合概率与频率的关系 ， 引导学 生认识和理解随机变量均值 的计算， 并将随 机变量均值计算运用于“ 合算” 的评判和决策 之中 教材注意知识 的前后联系， 选择 了一个 学生以前研究过的问题情境 ， 以降低学生解 决问题的难度； 同时在解决问
2、题的过程中， 又 强调了学生的体验 ， 让学生首先通过实验获 得初步的感受 ， 再通过和前一节 中运用加权 平均数的联系， 逐步获得对问题的理论解释 2学 习者 分析 在 日常 生 活 中经 常 会 遇 到 各 种 摇 奖 活 动 ， 通过 以前 的学 习 ， 学 生已初 步认 识 了这些 活动 中获胜 或 获奖 的 可 能性 ， 但 尚未具 有 正 确的评判能力和决策能力 因此应该给予学 生一定的数学工具 ， 让学生知道如何评判某 项活动是否“ 合算” 由于学生已学过加权平 均数及其在统计 中的运用， 只要学生能理解 频率和概率的关系， 并将它们有机结合起来， 学习随机变量均值的计算应该不会
3、有太大的 困难 3教学 目标 知识 与技能 ： 学 会 利用 加 权 平 均数 的知 识计算随机变量 的均值 ， 初步体会如何评判 事情是否“ 合算” ， 进一步建立和发展 良好的 随机观念 过程与方法 ： 经历猜想、 实验探究和理论 推导的活动过程， 领会“ 合算” 方案的随机数 学原理， 增强学生的数学应用意识和能力 情感态度价值观 ： 通过数学探究活动， 发 展合作交流意识和能力 ， 进一步体会概率与 统计 的联 系 ， 体验 随 机数学 的应 用价 值 4 教 学重难 点 重点 ： 学会评 判 某 项 活动 是 否 “ 合 算” 的 数学实验和理论计算的方法 难点： 理解和应用理论的方
4、法计算每转 动一次转盘所获购物券金额的平均数 5 教 学方法 首先创设学生熟悉的生活情境， 激起学 生的认知冲突， 激发学生解决“ 合算” 问题的 学习动机 教学过程按照“ 直觉猜想、 实验感 悟、 理论计算、 实践应用” 的认知规律进行设 计， 注重实验估算与理论计算相结合 ， 注重解 决 问题的活动过程， 这样 既促进了学生的理 解 ， 同时也渗透了概率统计之间的联系 组织 学生合作探究 、 解释发现， 进一步发展学生的 合作交流意识和能力 鼓励学生思维的多样 性 ， 引导学生积极反思 ， 体验学 习成功 的乐 趣 6 教 学媒体 教师准备多媒体教学 的课件、 转盘及彩 票广告等 学 生课
5、 前 做 一个 和课 本 中一样 的 某商场使用的自由转动的转锰 7教学 过程 7 1 创设情境 ， 问题引入 师 ： 你研究过摇奖活动 中获得各种奖项 的可能性吗?你想知道每一次活动的平均收 益吗?让我 们 一起 来研 究 其 中的奥 秘吧 ! ( 多媒体演示) 某商场为了吸引顾客 ， 设立了一个可以 自由转动的转盘 1 ， 并规定： 顾客每购买 1 0 0 第 2 8卷 第 4期 2 0 0 9年 4月 数学教 学研 究 2 5 元 的 商 品 ， 就 能 获 得 一 次 转 动 转 盘 的 机 会 如 果 转 盘 停 止 后 ， 指 针 正 好 对 准 红 色 、 黄 色 、 绿 色 区
6、 域 ， 那 么顾 客 就 可 以 分 别 获 得 1 0 0元 、 5 0元 、 2 0元 的购 物 券 凭 购 物 券 可 以在 该 商 转盘 1 场继续 购物 ， 如果顾 客 不愿 意转 转 盘 ， 那 么可 以直接获得购物券 l 0元 转转盘和直接获得 购物券 ， 你认为哪种方式更合算? 师 ： 当转盘 停止 后 ， 指针 可 能落在 哪些 区 域 ?获得 购物券 的机 会 分别 有 多大? 生： 指针可能指 向各种颜色的区域 ， 根据 各种颜 色 区域 在 转 盘 中所 占的 比例 ： 红 色 为 1 0 A 1 0 ，黄 色 为 ， 绿 色 为 ， 白 色 为 蠡， N z , 可
7、 能获得 1 0 0元 、 5 0元、 2 0元购物券 的概率分 别为 0 0 5 、 0 1 和 0 2 ， 指针指 向白色区域的 概率为 0 6 5 ， 此时不能获得购物券 师： 如果不转 动转盘 ， 可以直接获得购物 券 l 0元 ， 如果 转 动 转 盘 ， 就会 出 现 多种 可能 的结果， 放 弃转动转 盘， 意味着放 弃 了获得 1 0 0元 、 5 0元 、 2 O元 购 物 券 的机 会 如 果 不放 弃， 就意味着有可能连获得 1 0元购物券的机 会也没有了， 那么该如何选择 比较合算呢? 下面我们先来做一个实验 ， 也许你会从 中找到解 决这 个 问题 的办 法 ( 是否
8、“ 合算” 要 从整体上计算随机变量 的均值 ， 学 生可 能仍 停 留在 确定性 思 维之 中 ， 因此产 生认 知 上 的 冲 突 让 学 生 评 判某 项 活 动是否“ 合算” ， 是提高其决奠 能力的关键 ， 通 过设置 这种 常 见 问题 情 境 ， 首 先 学生 通 过 实验获得初步的感受) 7 2 动手 实验 ， 揭 示规律 1 ) 每 4 人组成一合作学习小组 ， 用课前 制作的转盘， 通过实验的办法( 每组实验 1 0 0 次) 分别求出获得 1 0 0 元 、 5 0元、 2 O元购物券 以及未能获得购物券的频率 并据此估计 每 转 动 一次转 疵所 获 购 物 券 金 额
9、 的平 均 数 ， 看 看转转盘和直接获得购物券， 哪种方式更合 算 2 ) 全班交流 ， 看看各小组的结论是 否一 致 ， 并 将各 组 的数据 汇 总 ( 表 1 ) ， 计 算 每转 动 一 次转 盘所 获得 购 物券金 额 的平均 数 表 1 转转盘实验 的结果 获得 l O O元 获得 5 O元 获得 2 O 元 未能获得 购物券 购物券 购物券 购物券 本组 全班 本组 全班 本组 全班 本组 全班 频数 频率 n 1 n Z n 3 a 4 师： 你在实验 中是如何计算 每转动一次 转盘所 获 购物券 金 额的平 均数 呢 ? 当做 1 0 0次 实 验 时 ， 设 获 得 1
10、0 0元 购 物 券的频率为 “ ， 获得 5 0元购 物券 的频 率为 “ 。 ， 获得 2 0 元 的购物券的频率为 a 。 ， 未能获 得购物券的频率为 ， 根据加权平均数的定 义 ， 可得每转动一次转盘所获购物券金额 的 平 均数 为 ： 1 0 0 a 1 十5 0 a 2 + 2 0 a 3 + 0 a 4 1 0 0 a 1 +5 0 a z +2 0 a 3 ( 元 ) 学生从 统计 表 中可 以看 到汇 总全班 的数 据 以后 ， 总体 上 指 针 停 在 每 种 颜色 区域 上 的 频率更接近各颜 色 区域 与整个转盘 的面积 比 即当试验次数很大时 ， a ， n 。 ，
11、 n 。 ， n 将稳 定于和它相应 的理论概率 此时， 我们可以用 实验频率来估计理论概率 师 ： 如果 把转盘 1改 为转 盘 2 ， 如果 转盘 停止 后 ， 指针 正好对 准 红色 、 黄色 、 绿色 区域 ， 那么 顾客仍 分 别 获 得 1 0 0元 、 5 0元 、 2 0元 的 购物券， 与转盘 l比， 哪一个转盘对顾客更合 算?如果改用转盘 3呢? 生 ： 交 流讨论 转盘 2 转 盘 3 2 6 数学教学研究 第 2 8卷第 4期 2 0 0 9年 4月 师 ： 转 盘 2和 原 来 的转 盘 对 顾 客而 言 结 果 是一样 的 因为 指针落在 红 色区域 、 黄色 区
12、域 和绿 色区域 的可 能 性 没有 变 转 盘 3和 原 来 的转盘对 顾 客而 言 结果 不 一 样 ， 转盘 3的 结果对顾 客来说 更 合 算 因为未 获 购 物券 和 获得 5 0 元 购物券的可能性 没有变化， 获得 2 0 元购 物 券的 可 能 性减少 赤， 获 得1 0 0 元 购 物券的可能性增加赤 ( 通过 转盘 的“ 变式 ” ， 让学 生理性 地思考 影响所获购物券金额的平均数的因素 ， 为学 生得出后面的理论计算方法打下基础) 7 3 理论 计算 ， 构 建认 知 师： 如果不用试验的方法 ， 你能求出每转 动一次转 盘所获购 物券金 额 的平 均数 吗? 生： 由
13、转盘 2我们知 道， 每转 动一次转 盘 获得 1 0 0元 购物券 的概率为 ， 获得 5 0 元购物券 的概率为 ， 获得 2 0元购物券的 概率为兼， 理论上可以认为转动 次转盘， 获得 1 0 0元购物券 的次数为 次 ， 获得 5 O 元购物券的次数为 次， 获得 2 O元购物券 的次数为 次 所以每转动一次转盘所获 购物券金 额 的平 均数应该 为 ： ( 1 0 0 + 5 o + 2 O X ) ” 一 i 0o + 5o C下 ux 4 J： = 1 4 ( 元 ) 同理， 使用转盘 3 ， 每转动一次转盘所获 购物券金额的平均数应该是： 1 0 0 X 6 + s o x
14、斋 + 2 0 斋 一 1 8 ( 元 ) 师： 这种算法我们曾经在哪里用过吗? 生 ： 这种算法与上一节小 明估算农村居 民的人 均纯收入 的方法 是一致 的 ( 这样 有利 于转 到下 面研 讨小亮 的做法 ， 使学生对理论计算随机变量的均值有个清晰 的认识 ， 如果 已有 学 生想 出 了这 种 理论 计 算 方 法 ， 那 么应 顺 应 学 生 的思 路 引 导他 们进 一 步地讨论 ) 7 4 讨 论交流 。 辨析 理解 师 ： 小亮根 据转 盘 2 ， 绘 制 了一 个扇 形统 计 图 1 ， 据此 他认为 ， 每 转动 一 次转 盘所 获购 物券金 额 的平 均 数 是 1 0
15、05 十5 0 1 0 +2 O 2 0 一1 4 ( 元) 你能解释小亮这样做 的道理 吗? 获得 1 0 0 元购物券 获得 5 0 元购物券 获得 2 0 元购物券 没有获得购物券 统计图 1 生 ： 我认为小亮的算法是有道理的 由扇形统计图 1可知， 自由转动转盘， 指 针落在红色区域 、 黄色区域、 绿色区域的可能 性 大 小 即 概 率 分 别 为 1 ， 南， 。 竺 。2 O ， 我 们 可 以 把 i ，蠢， 看 作 权 重， 因 此 小 亮 绘 制 的 扇 形 统 计图 1 ， 反映了转盘停止转动时， 指针指向红 色区域 、 黄色区域 、 绿色 区域的权重 由加权 平均数的
16、计算公式就可求出转盘每转动一次 所获购物券金额的平均数是 ： i 0 05 +5 0 1 O +2 02 0 一 1 4 ( 元 ) 师 ： 按 小 亮 的算 法 ， 小 明 一 组 转 了 1 0 0 次， 总共获得购物券应为 1 4 0 0元 ， 可实际上 他们总共获得购物券是 1 3 2 0元 这是为什么 呢 ? 生 ： 因为用小亮 的方法计算的平均数是 用理论概率计算 出来的， 但实际上的频率很 难和理论概率完全相同 师： 大家对实际生活中存在的不确定现 象的认识是正确 的， 其实 ， 实验次数很多时， 第 2 8卷第 4期2 0 0 9年 4月 数 学教学研 究 2 7 实验结果应该和理论值相 近， 但 实验次数再 多， 也很难
