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1、图像处理：某些发展动态和问题 邹谋炎 zoumouyan 82625719-8018 中国科学院研究生院 2011年暑期讲座材料 2011年7月6日 Stephane Mallat：“A wavelet Tour of Signal Processing - The Sparse Way”, Third Ed.,Elsevier,2009. 一、从一本书谈起： Stephane Mallat is Professor in Applied Mathematics at Ecole Polytechnique, Paris, France. From 1986 to 1996 he was a
2、Professor at the Courant Institute of Mathematical Sciences at New York University, and between 2001 and 2007, he co-founded and became CEO of an image processing semiconductor company. S. Mallat 书的第二版（1998）中译本 “信号处理的小波引导” 已于2002年由 机械工业出版社出版 “ Preface to the Sparse Edition I cannot help but find str
3、iking resemblances between scientific communities and schools of fish. We interact in conferences and through articles, and we move together while a global trajectory emerges from individual contributions. Some of us like to be at the center of the school, others prefer to wander around, and a few s
4、wim in multiple directions in front. To avoid dying by starvation in a progressively narrower and specialized domain, a scientific community needs also to move on. .” 学习和理解一个成功数学教授的心路历程：将应用作为数学研究的归宿 我不禁发现科学界和鱼群之间惊人的相似之处。我们在会议和通过文章相互接触我不禁发现科学界和鱼群之间惊人的相似之处。我们在会议和通过文章相互接触 ，有人抛出一个贡献时就会出现一个全局性的轨迹，大家往一起凑。
5、我们当中有人喜，有人抛出一个贡献时就会出现一个全局性的轨迹，大家往一起凑。我们当中有人喜 欢处于鱼群的中心，有人喜欢在周围游荡，也有人在前面朝多个方向游动。在一个越欢处于鱼群的中心，有人喜欢在周围游荡，也有人在前面朝多个方向游动。在一个越 来越狭窄和专门的领域内为了不被饿死，科学界也需要往前凑。计算调和分析仍然非来越狭窄和专门的领域内为了不被饿死，科学界也需要往前凑。计算调和分析仍然非 常活跃，因为它超出了小波的范畴。写本书的目的是为了解译群体的轨迹并把一路上常活跃，因为它超出了小波的范畴。写本书的目的是为了解译群体的轨迹并把一路上 发现的珍珠收集起来。发现的珍珠收集起来。小波不再是中心题目。
6、它只是一个重要工具，如同富氏变换那小波不再是中心题目。它只是一个重要工具，如同富氏变换那 样。稀疏表示和处理当前处于核心位置样。稀疏表示和处理当前处于核心位置。 在在 80 80 年代，许多研究人员集中关注建立时频分解，试图绕开不定性屏障，期望找年代，许多研究人员集中关注建立时频分解，试图绕开不定性屏障，期望找 出最终的表示方法。沿着构造小波正交基的路子，通过与物理学家和数学家的合作，出最终的表示方法。沿着构造小波正交基的路子，通过与物理学家和数学家的合作， 开辟了新的前景。开辟了新的前景。设计设计 X-let X-let 相关的正交基变成了一种流行运动，连带着压缩和噪声相关的正交基变成了一种
7、流行运动，连带着压缩和噪声 抑制应用抑制应用。近似和稀疏性的联系也变得更加明显。对稀疏性的研究已正当时，引导出近似和稀疏性的联系也变得更加明显。对稀疏性的研究已正当时，引导出 新的基地：标准正交基被波形冗余词典所替代新的基地：标准正交基被波形冗余词典所替代。 在过去在过去 7 7 年间我与工业界相遇。带着许多天真，和几个人共建了一个小公司。这年间我与工业界相遇。带着许多天真，和几个人共建了一个小公司。这 让我们花了一点时间去学习到：在让我们花了一点时间去学习到：在3 3个月内一个良好的工程应该生产出稳健的算法可个月内一个良好的工程应该生产出稳健的算法可 以实时运算；与此对照，在过去我们习惯于用
8、以实时运算；与此对照，在过去我们习惯于用3 3年的时间来写那些有发展前景的新思年的时间来写那些有发展前景的新思 想。想。是的，我们还活着，因为数学是信号处理工业创新的一个主要源泉是的，我们还活着，因为数学是信号处理工业创新的一个主要源泉。半导体技术。半导体技术 提供了惊人的计算能力和灵活性。但是，特定算法常常不易估量，并且数学能够加速提供了惊人的计算能力和灵活性。但是，特定算法常常不易估量，并且数学能够加速 凑试发展过程。稀疏性使计算、存贮和数据搬运得以下降。虽然数学理解非常漂亮，凑试发展过程。稀疏性使计算、存贮和数据搬运得以下降。虽然数学理解非常漂亮， 但绝不奢侈。它是越来越精妙的信息处理元
9、件所需要的。但绝不奢侈。它是越来越精妙的信息处理元件所需要的。 S. S. MallatMallat 书序言简译：书序言简译： From Wavelet To X-letFrom Wavelet To X-let ： wavelet wavelet contourletcontourlet surfaceletsurfacelet shearletshearlet ridgeletridgelet curveletcurvelet bandletbandlet 关于 X-let 的解读： 这些 X-let 关心信号和图像的表示，特别关心如何表达信号（图像）的不连 续性（或奇异性），包括点（灰度
10、）不连续性（wavelet）；线不连续性 （ridgelet)；曲线不连续性(contourlet, surfacelet, Curvelet)；流场不连续性 （bandlet）；等等 理论要点： 沿袭 wavelet 的理论模式，构造出表达信号或图像的“基”或“标架”， 具有以下要求 (1) 有几何规则性，能够逼近图像中任意方向的线、 曲线的不连续性；（2）有容易计算的分析（正变换）和综合（反变换）表 达；（3）对分析（变换）域的结果有明确的物理解释，便于实施去噪、压 缩的近似处理，以及超分辨重建的进一步工作。 1、由可缩放的 Meyer 窗函数V(t)和W(r)来定义。 例：Curvele
11、t by E. Cands, D. Donoho (2003,2004) 2、由V(t)和W(r)定义 极坐标窗函数： 3、将Ua内插为直角坐标函数 Ua(), 作为基础 curvelet 小波函数的富氏变换 4、由 的富氏反变换 ，对空间双坐标 x 作旋转和位移变换，得到 curvelet 函数族： 这保证了 在频域 (1,2) 平面有扇形支持域。 例：Curvelet by E. Cands, D. Donoho (2003,2004) （续） 5、计算 的富氏变换，有 6、连续 Curvelet 变换定义为： 7、逆 curvelet 变换：（略） 8、离散 curvelet 函数族：
12、用类似连续 curvelet 函数族的方法来建立。可以证明，离散 Curvelet 函 数族能构成一个紧标架，因此离散 curvelet 变换是可逆的，有重建公式 于是， 在频域(1,2)平面有旋转的扇形支持域。 例：Curvelet by E. Cands, D. Donoho (2003,2004) （续） 几个要点： 1、选用具有平滑性的 Meyer 窗函数V(t)和W(r)，分别用来构造射径方向和 角度方向的频域窗。平滑窗的意义在于它的傅里叶变换有近似有限支持 。 2、用内插方法从极坐标变到直角坐标，便于使用 FFT 计算。 3、在直角坐标下引入坐标旋转，使获得的 curvelet 标
13、架具有平移、尺度、 旋转三种表示能力。 4、证明 curvelet 标架是紧标架，即 Riesz 基，因此 curvelet变换是可逆的， 有简单的反变换公式。 几何解释： 1、在频域上 具有离散小波瓦片，有 抛物型伪极坐标支持，如图所示。 2、由于空域图样和频域图样的垂直关系，可以 看出，所构造的小波标架能够覆盖各种取向 和各种尺度的空域棱边。 事实上 和平移量 b 无关，这和富氏变换性质相似。 3、频域小波瓦片的全体形成一个紧支持。空域 小波标架 一定是不紧的。离散型 curvelet 标架是高度冗余的。 例：Curvelet by E. Cands, D. Donoho (2003,20
14、04) （续） 应用： 1、去噪 图像 Curvelet 变换 去噪处理 重建算法 输出图像 典型去噪处理算法：硬门限法，特别对高频、低电平小波系数。 基于成像物理的处理方法。 2、利用稀疏性的图像数据压缩。 Curvelet 变换能够适应性地表达图像上各种几何取向的棱边。棱边取向 的几何规则性越高，重要的变换系数个数越少，图像可压缩更有效。 因此，对于纹理几何规则性强的图像，适合于用Curvelet 或 Bandlet变换 来实现去噪和压缩。如果图像纹理的几何规则性不强，应该用常规的 Wavelet 变换。 关于稀疏性和压缩后面专门介绍。 基本观察：从 wavelet 到 X-let，人们追
15、求发现更有效的信号（图像）表示 方法。目前这些方法的发展带有高度程式化、技巧性、和特定有效性的特征。 学习和掌握这些方法和相关理论是有意义的和重要的，沿着类似的思路去寻 求突破性的创新是困难的。 二、稀疏性和压缩感知 (Sparsity and Compressive Sensing) 各种形态的稀疏性： 信号（图像）本身可能是稀疏的； 信号（图像）在变换域是稀疏的； 信号（图像）中含有内部的相关性、规律性，当用某个数学模型描述时， 只需要少量的模型系数； 信号（图像）的规则性：良好的图像具有卡通模式，噪声和干扰较少，这 意味着具有变差稀疏性或总变差有限性。 压缩采样： 采样是一个线性泛函作用
16、于信号，不限于获得信号的一个瞬时电平。 例：信号 x Rn，将信号与随意选取的 m 个向量 vi 作内积（滤波），m n, 内积结果 y。这种采样可以用一个 mn 代数方程描述： x = y 。 在一般情况下，重建 x 有无穷多解。 K-稀疏性解：上述问题中，如果假定已知 x 中至多只有 K 个非零元，求解问题 变成求解 x = y ， 带着附加约束 # supp(x) K。 整数规划问题：求最稀疏解 （P0) min |x|0 ： x = y，x Rn ， 其中 Rmn，y Rm，m n 。 |x|0 = # supp (x) = x 中非零元个数。 （1）解通常不唯一；（2）具有 NP-hard 计算复杂性。 凸松弛规划 （P1) m
