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1、第三章：线弹性断裂力学 断裂模式及对称性分析 三型裂纹裂尖场的渐近解 复变函数（回顾） 三型裂纹裂尖场的解 应力强度因子K K-G关系 计算K的常用方法 讨论 反平面剪切问题（一个相对简单的问题） 整理可得调和方程（或由Navier方程直接简化） 渐近解 为什么有如此渐近的形式？ M.L. Williams. On the stress distribution at the base of a stationary crack. Journal of Applied Mechanics 24, 109-115 (1957). 分离变量法 George Rankine Irwin G.R. I
2、rwin. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. Journal of Applied Mechanics 24, 361-364 (1957). 应力强度因子KI,II,III与G之间的关系 G 与裂纹延伸时能量的变化有关 KI,II,III仅与裂纹尖端区域的场强度有关 KI,II,III与G之间的关系? 首先假设固定位移加载 针对III型裂纹 B A 针对I、II、III型裂纹 如果不是固定位移载荷加载（如固定力），是何结论？ 【作业题3-5】 复合型裂纹 可由能量平衡来理解
3、 逐渐放松保持力过程 这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析仍然适用。 裂纹扩展 q 能量释放率和应力强度因子关系是假定裂纹呈直线延伸下得 到的。 q 在II型和III型加载下裂纹扩展往往会发生拐折和分叉。对很 多材料的实验观察表明，裂纹实际的扩展路径会逐渐转向为I 型断裂占优的路径。 q 此外，I型断裂最为危险。 平面应变断裂韧性： 实验测量应力强度因子 电测法光弹法 热弹性法（Thermoelastic Method）数字图像相关（Digital image correlation） 裂尖应变 裂尖温度场裂尖位移场 裂尖主应力 基于应力强度因子的断裂准则 KIC 材料的断裂韧性（ Fract
4、ure toughness） 实验测量KICASTM Compact tension (CT)Single edge notch bend (SENB) 平面应变 Crack mouth opening displacement (CMOD) 此前，只讨论了裂尖的渐近解，这里将讨论如何结合几何和载 荷条件来确定应力强度因子。主要有以下一些方法： v Westergaard应力函数法（ Westergaard stress function） v 权函数法（Weight function） v 线性叠加法 （Principle of superposition） 应力强度因子求解 应力强度因子的
5、计算： Westergaard应力函数法（ Westergaard stress function） 之前的解析函数构造时只关心裂尖处的渐近场及边界条件，Westergaard 应力函数方法将满足所有边界，并能给出全场解。 I、II型裂纹 应力函数 应力场 位移场 Westergaard应力函数法（ Westergaard stress function） 在前面的平面问题求解中,需要确定两个解析函数j(z)和y(z) ，其实在对称和 反对称特例下，可利用Westergaard函数进一步简化为一个解析函数的求解。 以I型问题为例： 利用了对称性 A为实常数 解析延拓（定义见下页）： I型裂纹的
6、Westergaard应力函数： 用Westergaard应力函数表示应力、位移 应力场 位移场 当 x2= 0时剪应力为零，这意味着裂纹面是主平面。 I型裂纹 例：双轴载荷下含中心裂纹的无穷大板 是ZI(z)两个枝点，可猜测 无穷远处的边界条件： 自由裂纹表面： 【作业题3-6】 双轴加载，但水 平与竖直方向远 场应力不同 一旦Westergaard函数已知，便可知道全场解 转换坐标到裂尖 I型裂纹： 应力场 位移场 裂纹面上 还可用Westergaard函数法考察共行和共列多个裂纹的相互作用（参见 Koiter，1959的工作）。如何猜测Westergaard函数？ 【题3-7】对于周期性
7、分布的共行、共列裂纹，如何提边界条件？并利 用Westergaard函数证明裂尖应力强度因子。 共行裂纹的交互作用为加强各自的应力强度因子，而共列裂纹则起相互屏 蔽作用。 II裂纹的Westergaard应力函数 裂纹面上 应力场 位移场 II型中心裂纹承受远场均匀剪切 III型裂纹的复变函数表示方法 应力场 位移场 III型中心裂纹承受远场均匀剪切 为了统一 根据边界条件猜测Westergaard函数 边界条件 裂纹面 无穷远 III型裂纹面上承受集中力 附：复变函数的性质 III型半无限场裂纹面上承受集中力 权函数法 顾名思义，加权累加，所以要求线弹性 Bueckner, H.F., “A
8、 Novel Principle for the Computation of Stress Intensity Factors.” Zeitschrift f r Angewandte Mathematik und Mechanik, Vol. 50, 1970, pp. 529545. Rice, J.R., “Some Remarks on Elastic Crack-Tip Stress Fields.” International Journal of Solids and Structures, Vol. 8, 1972, pp. 751758. James R. Rice 为什么
9、用机械总势能？（勒让德变换来改变变量） 把上述想法连续化，可得如下求解步骤： （1）对一裂纹几何，若已知一种载荷下的解 权函数定义为 （2）利用权函数可计算其它载荷下的应力强度因子 不需要知道权函数的全场值，只需 计算与ta、fa载荷功共轭的部分权 函数的分布值。 （3）该载荷下的位移场满足 权函数是唯一的，与加载状态无关，仅表示裂纹构型的特征！ 左端还是右端的应力强度因子？ 【题3-8】如何计算左端的应力强度因子？（仍用此坐标系表达） 无限长裂纹 半无限长裂纹 Green函数 权函数方法也可用于三维裂纹 线性叠加法 对于线弹性材料，只要断裂模式是一致的，应力强度因子也可以叠加。 已知b、c的
10、应力强度因子，如何求a的强度因子？ 线性叠加法 思考题？ 讨 论 渐近解与全场解的比较 渐近解 全场解 K主导区域 坐标在裂纹中心 l为最小的特征尺度 小 结 （二） vK与G之间的关系 v求解K的方法Westergaard函数法、权函数法、线 性叠加法 v讨论关于渐近解与全场解的比较 作 业 题 【作业题3-5】：仿照讲义中III型裂纹KIII与G之间的推导，独立推导I、II 型裂纹KI 、KII与G之间的关系。 （1）给出A图中裂尖使裂纹闭合的应力表示； （2）给出B图中裂尖上下表面的位移差表示； （3）代入如下公式计算KI 、KII与G之间的关系。 A B 作 业 题 【作业题3-6】：
11、如图所示，一中心裂纹在无限大板中承受双轴均匀拉伸， 水平和竖直方向的远场应力分别为s1和s2 。验证如下的Westergaard函数满 足所有边界条件（包括裂纹表面及无穷远处）。 作 业 题 【题3-7】对于周期性分布的共行、共列裂纹，如何提边界条件？利用 如下给定的Westergaard函数证明裂尖应力强度因子的表示式。尝试猜 测II型周期裂纹的Westergaard函数，并得出其裂尖应力强度因子。 【题3-8】如何计算左端的应力强度因子？（用图中坐标系表达） 作 业 题 【题3-9】利用权函数方法求解如图所示的裂纹A和B端的应力强 度因子。 作 业 题 AB 【题3-10】如下图所示，一倾斜裂纹在无限大板中，推导裂尖的 应力强度因子KI和KII。当s1=s2时， KI和KII退化为什么？ 作 业 题
