数学思维品质及其培养小学

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1、思维指理性认识或指理性认识的过程思维指理性认识或指理性认识的过程 ，是人脑对客观现实的能动的、概括，是人脑对客观现实的能动的、概括 的、间接的反映，它反映的是一类事的、间接的反映，它反映的是一类事 物的共同的本质特征（生活物的共同的本质特征（生活 大小大小 和尚和尚 林语堂：生活是艰苦的，政治是肮脏的，商业是卑鄙的林语堂：生活是艰苦的，政治是肮脏的，商业是卑鄙的 中国人中国人285285页页 萨特萨特 人心是险恶的，政治是肮脏的，他人是地狱人心是险恶的，政治是肮脏的，他人是地狱 I: I: 求求“道道”的过程与结果）的过程与结果） vv反映：客观事物在人脑中的模写。反映：客观事物在人脑中的模写

2、。 思维 (1)(1)人的最本质的特征在于思维人的最本质的特征在于思维 (2)(2)思维不是一个自发的过程，它和有机体的其思维不是一个自发的过程，它和有机体的其 它行为一样，是一个有规律的过程它行为一样，是一个有规律的过程 思维既是认识过程，又是认识结果。思维具 有问题性、间接性、概括性和语言性（思维 的工具）。 布什总统的表情达尔文1871 人类的由来和性选择 人猿同祖1872 动物与人类的表情共性和共同的发生根 源 v抽象和概括 v 抽象是在思想中抽取事物的某个或某些属性（科 学抽象要求抽取事物的特有属性或本质属性）而撇 开事物的其余属性的逻辑方法； v 概括是在思想中把从某类个别对象中抽

3、取出来的 属性，推广到该类一切对象，从而形成关于这类对 象普遍性认识的逻辑方法。 v两者关系：抽象是在对对象的属性作分析、综合、 比较的基础上进行的。抽象和概括是相互联系的。 没有抽象不可能进行概括，概括也有助于抽象。（ 例举一个概念的形成如函数） v抽象离不开直观、活动、经验 v冯 诺依曼论数学一见“在没有以直观的 和经验的方式获得某些知识之前，在没有预 先了解、熟悉以及驾驶过飞机之前，人们就 能理解原理及其过程，这是罕见的”。 v 对教学的启发：九九表 v 如何认识数学？（讨论） v计数（希腊）数量(布尔巴基学派的信仰) 空间形式 v恩格斯 反杜林论“数学是研究现实世界中 的空间形式和数量

4、关系的科学，是刻画自然 规律和社会规律的科学语言和有效工具” v量（矩阵 泛函 拓扑） 式(数量)(数) v美国教育协会：数学是模式和秩序的科学。 义务教育数学课标： v数学是工具； v数学是语言：3言 v数学是思维；加里宁 斯托利亚尔数学教育 学“数学教学是数学思维活动的教学” v数学是文化；文科生的需求 v（展开） v为什么要学数学？如何学？ v高中数学课本作者对高中生的寄语： v数学是有用的： v学数学能提高能力： v数学是自然的： v数学的清楚的。 v学数学要摸索自己的学习方法；（智力理论 ） v学数学要趁年轻。 数学思维 v数学思维，就是以数学问题为载体，通 过发现问题、解决问题的形

5、式，达到对 现实世界的空间形式和数量关系的一般 性认识的过程与结果。或数学思维是人脑和 数学对象交互作用,并按照一定思维规律认识数学内 容的内在理性活动。 v高中数学课标对数学思维的阐述： v高中数学课程基本目标之一是培养学生的数 学思维能力，即在学习和应用数学解决问题 时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳 类比、空间想象、抽象概况、符号表示、运 算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构 等过程。 v学习模式识别问题解决扩大模式解 决新问题 v数学思维的分类： 逻辑思维（概念、判断和推理）和非逻辑思 维（包括形象思维与直觉思维等）；（按思 维依托材料） 发散思维和集中思维；（按思维形式） 再现

6、性思维和创造性思维等。（按是否有创 造性） v数学思维的发展呈现年龄特征 ，要经历直 观行动思维、具体形象思维、抽象逻辑思维 （包括辩证思维）等阶段 数学思维的结构 v结构：指组成某一事物的各种成分及其组织关系 。 v数学思维结构：多因素的动态关联系统，包括数 学思维的内容（即材料和结果）、数学思维的基 本形式（见后）、数学思维的操作手段（即思维 方法）和数学思维品质 数学思维的材料和结果 v外部材料：指数学思维的对象，即现实世界中存在 的数量关系、空间形式以及由此引发的各种结构关 系。 v内部材料：指思维主体已有的数学知识和经验，是 储存于人脑的认知结构中的信息块。其中，数学知 识信息块是由

7、一些明晰的数学概念和关系结构组成 ，而数学经验信息块是一种带有模糊性质的思维“相 似块”，两者相互渗透、相互转化。 数学思维的基本形式 v分逻辑思维、形象思维与直觉思维三种，（ 也有的包括辩证思维） 逻辑思维 v逻辑思维是以概念为思维材料、以语言为斯为载体 ，每前进一步都有充分依据的思维。主要特征：抽 象性 v基本形式：概念、判断和推理 v地位：是数学思维的核心。 v培养逻辑思维要求：概念明确，判断正确，推理符 合逻辑。何谓概念、判断与推理？ v插思维逻辑性的培养 v概念：事物本质属性的反映。 v概念的内涵是概念所反映的事物的本质属性的总和 ，概念的外延是概念所反映的事物的总和(或范围) 。

8、v概念形成过程：感知辨认、个别表象、个别属性、 （经比较）共同属性、一般表象、（经抽象概括） 本质属性、（经语言表述）概念、（经符号化或简 化）符号形式。 v定义方法： v描述法：点、线、面、集合 v公理法：长度、面积、体积、群、环、域 v属加种差：平行四边形、梯形、方程(说明) v界 门 纲 目 科 属 种 （外延 从大到小） v属概念：亦称“上位概念”。在具有从属关系的 两个概念间，外延较大的概念。 v种概念：亦称“下位概念”。在具有从属关系的 两个概念间，外延较小的概念。 v属加种差定义：把被定义概念的属概念（“属” v 和被定义概念与该属概念下的其他种概念的 差别（“种差”）结合起来构

9、成下定义概念而形 成的定义。 v以平行四边形的定义为例。 v发生式：圆、椭圆、旋转体、代数式的 值 v关系式：偶数、质数 v递归式： v外延式：实数 v约定式：0！=1、负数、虚数 v判断与数学判断 v判断是对客观事物的一种认识，是对客观事 物有所肯定或否定的思维形式。判断有真有 假。如果一个判断能如实地反映客观事物， 在质和量上都能正确地反映客观事物的真实 性而无虚设，那么这个判断就是真判断，否 则就是假判断。 v数学判断是对空间形式和数量关系有所肯定 或否定的思维形式。 数学命题 v表达数学判断的语句或符号的组合称为数学命题。 数学命题一般由条件(前提)和结论两部分组成。 分 简单命题与复

10、合命题 v简单命题就是不包含其它命题的命题。简单命题可 分为性质命题和关系命题两种。 v复合命题是由两个或两个以上的命题被逻辑连接词 结合起来而构成的命题。常用的逻辑连接词有否定 、合取、析取、蕴涵四种，使用相应的逻辑连接词 而形成的命题分别称为负命题、联言命题、选言命 题、假言命题。 常用的逻辑连接词 v否定词：数理逻辑中的一种命题联结词。符 号为“横折或-或” 。横折A 读作“非A”。在经 典逻辑中， A 真假关系是:A真则横折A 假， A 假则横折A 真。 v合取词：数理逻辑中的一种命题联结词。符 号为“、” 。A B读作“A合取B”。在 经典逻辑中， A B的真假关系是:A和B都 真则

11、A B真，否则A B假。 v析取词：亦称“相容的析取”。数理逻辑中的 一种命题联结词。符号为“” 。A B读作“A 析取B”。在经典逻辑中， A B的真假关系 是:A和B都假则A B假，否则A B真。 v蕴含词：数理逻辑中的一种命题联结词。符 号为“或 真包含的符号开口向左 ” 。A B读作“A蕴含B”。在经典逻辑中， A B的 真假关系是:A真和B假则A B假，否则A B真。A和B分别称为前件和后件。 v负命题：亦称“命题的否定”。形式为“非p”; v联言命题：亦称“联断命题”。断定几种事物情 况同时存在的复合命题。逻辑连接词是“并且” 。联言命题所包含的各个肢命题称为联言肢 。形式为“p且

12、q”； v假言命题：亦称“条件命题”。断定一事物情况 是另一事物情况的条件的复合命题。逻辑连 接词为“如果，那么”或“只有，才”形式是“如果 p,那么q”,其中p称为前件，q称为后件； v选言命题：断定在几个可能的事物情况中至 少有一个事物情况出现的复合命题。逻辑连 接词为或者、要么。形式为“p或者q”，其中p 、q称为选言肢。 公理与定理 v从逻辑观点分析，公理也不是随意选定的， 一个良好的公理系统应满足下列三项基本要 求： 相容性；独立性；完备性。 v用逻辑推理的方法证明是正确的命题叫做定 理。定理由条件和结论两部分组成。 推理 v1 推理是从一个或几个已知的判断做出一个新判断的思维形 式

13、。 v2 推理的结构 v任何推理都是由前提和结论两部分组成。前提是在推理过程 中所依据的已有判断，它告诉人们已知的知识是什么。推理 的前提可以是一个，也可以是几个。结论是根据前提所作出 的判断，它告诉人们推出的知识是什么。 v3 推理的形式 v由于划分的标准不同，推理可以分成许多种类。数学中常用 的推理有演绎推理、归纳推理和类比推理。 证明 v数学证明是根据一些真实的命题来确定某一 命题真实性的思维过程。 v从逻辑结构方面来分析，任何证明都由论题 、论据、论证三部分组成。 v证明与推理的区别 v从本质上讲，证明就是推理，是一种特殊形 式的推理。但是，证明和推理又是不同的。 首先，从它们的结构上

14、看，推理包含前提和 结论两部分，前提是已知的，结论是根据前 提推出来的；证明由论题、论据、论证三部 分组成，论题相当于推理的结论是已知的， 论据相当于推理的前提，是事先不知道的， 因此，它们的思维过程正好相反。其次，从 它们的作用来看，推理只解决形式问题，对 于前提和结论的真实性是管不了的，而证明 却要求论据必须是真实的，论题经过证明后 真实性是确信无疑的。 (problem - solving) 例：小芬有两包不同味道的糖果，一包有 10 粒，另一包有 15 粒。她想把糖果均 分給若干位小朋友，每人分得糖果的 数量是一样的。问小朋友最多可以是 多少人？(四上單元五：公倍數和公因數 ) 答案

15、21 小朋友的人数必可同时整除 10 和 15， 即小朋友的人数应是 10 和 15 的最大公因数 。 10 的因数有：1, 2, 5, 10 15 的因数有：1, 3, 5, 15 10 和 15 的最大公因数是：5 因此，小朋友最多可以是 5 人。 22 计算 23 13。 算法多样化以明白算理 23 13 = 23 (10 + 3) = 23 10 + 23 3 = 230 + 69 23 102 3 0 23 36 9 23 10 + 23 32 9 9 = 299 知识转移 23 计算 (分數 ) 24 v1012 -1002 = v法一：初中以上水平 v法二：小学水平：乘法的意义

16、v1012 -1002 v =101101-100100 v=101（100+1）-100100 v=101100+101-100100 v=101100-100100+101 v=100+101 v=201 逻辑思维的要求 v概念准确 v判断正确 v推理证明符合逻辑 形象思维 v定义：依靠形象材料的意识领会得到理解的 思维。 v形象材料：指客观事物的整体在人脑中形成 的表象。 v地位:思维科学的突破口（钱学森） 数学形象思维的基本形式-1表象 v表象：是人脑对当前没有直接作用于感觉器 官的、以前感知过的事物形象的反映。是概 括性的感性形象。 v形象：形状相貌。 v形式：事物的结构、组织、外部状态等。 v 在哲学上与“内容”相对，构成辨证法的一 对范畴。 v特征：直观性、概括性。 v直观性：指表象中重现的事物形象具有一定 程度的生动逼真性，与客观事物本身相近似 。 v概