《有序群中的序关系与广义商群之间的对应》由会员分享，可在线阅读，更多相关《有序群中的序关系与广义商群之间的对应（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、致谢 在论文完成之际， 我要真诚地感谢我的导师李洪兴教授这三年来对我孜孜不 倦的教诲. 李老师教给我们的不仅是严谨务实的治学作风， 更教给我们一丝不苟 的生活态度，从中让我受益匪浅. 虽然即将毕业，离开我学习了7 年的北师大， 离开我熟悉的老师和同学， 但李老师教给我的 这一切， 在今后学习的日 子里仍将 激励我前进. 同时我也在此感谢邓邦明教授， 他在本文成稿时给与我很大的 帮助 和指导. 感谢北京师范大学数学科学院、 数学所、 研究生院各位领导和老师在我学习 期间给予的大力支持和帮助. 感谢师兄王加银、谷云东、刘文军、房颜明、姚二林、李德清、柴迎春、同 窗冯艳宾、 苗丽、 崔红梅、 赵彩霞
2、、 李凤等在这三年学习期间所给予我的帮助和 合作. 感谢三年来朝夕相处的室友李秀英、 张灵灵、 郭俊、 王爱华在生活方面给予 我的关怀和帮助. 感谢我的家人们这几年来在生活上和精神上给与我的支持， 使得我能安心学 习，在学业上取得进步. 最后感谢所有关怀和帮助过我的老师和同学们. 摘要 本文主要包含如下的内容: 第 一 章 : 主 要 介 绍 了 有 关 幂 群1 1 3 的 概 念， 以 及 在 后 面 章 节 要 用 到 的 有 关 幂 群 的 定理. 第二章:主要是在李洪兴教授于1 9 9 0 发表的 正则H X群的同 态与同构一文 的研究基础上，证明了 群( G ; ) 上使群G成为拟
3、序群( G , A 的所有拟序结构 “ ” 组 成的集合，与群G上的广义商群9 组成的集合之间存在1 - 1 对应. 第三章: 首先引进群上偏序诱导集的概念， 证明偏序群的偏序诱导集即为该偏序 群的 正 锥2 6 1 ; 其次 证明 了 群( G I- ) 上使 群G 成为 偏 序 群( G , , 匀的 所有 偏 序结 构“ ” 组成的 集合A ， 与 群G上的 一类 特殊广义商群G 组 成的 集合B 之间 存在 1 - 1映 射a , 并在集合A, B 分别定义了 运算., p， 证明a 为同 态映射: 接下来证明了偏序群 ( G , , (c a :5 c b , a c :5 b e
4、) . 推论 2 .2若E是G的正规半子群， “ ”为E按( 2 . 1 ) 式定义的拟序，则 E 二 x E G Ie S x ) 证 V x r. E,显然 x = x e = e 5 x . t / x E G， 若 e 。 : b : a : b = :, ( 3 h E ) ( b 二 h a ) = b a - = h E E = * b a _ e = b _ a . 总之， 5 = 5 ( 3 ) 传递性:a p b ，b p c 。a p c . 我们常用 “ ” 来表示一般的偏序关系，a e 为 ( G ,- , S ) 中 的 正 锥 ， 则G + 一 定 具 有 如下三
5、条性质:( 1 ) G 对群运算封闭;( 2 ) 正规性:( V g e G ) ( g - G + = G * - g ) ( 3 ) G + 。 ( 。 )一 ， = 。 . 事 实 上， 第 一 条 是 显 然的 . 往 证 正 规性， 只 须 证g G + g = G 十 . d x e g G 十 8 ， 必 3 x , e G 使 得x = g x o g - , . 因x . e G + ， 故x n 。 ， 显 然9 X 0 9 - 1 。 : 从而x e G + ; 即 步十 9 - 1 c_ G + . 另 外 ， d x e G + ， 二 ) e ， 显 然g “ x
6、g e ， 故g x g e G . 从 而甄e G ， 使得g x g = x n .由 此可得x = g x o g - , ，即x e g G 馆 一 ， . 从而G c_ g G 十 9 一 ， .总之 四 = G g 再 证 第 三 条 性 质 ， 倘 若 G n ( G )c- n ， 。， 取 x e G 。 (。 )一 ， ， 由 x E G 有 x e， 显 然 e x 一 1 ; 又 由 x e ( G ) 一 ， ， 易 知 : 一 。 。 ， 可得X - 1 e ， 矛盾.故 G n (G 一 ” 一 。 . 例4 例3 中 偏 序 群( Q 十 ， ， ， ) 的 正
7、 锥 P = X G Q ! 1 0 , 或 s : 二0 但三 1 , 其 中 一 P S si ) 显然尸 具有上述的三条性质. 事实上: 由正有理数乘法群( Q 十 ， .) 的乘法运算满足交换 律可知P为正规子集; 现证封闭性:d m , n E P ， 一 广 sP s. t 一 ， 一 p s, sa 1f az， 则 rn n = p 一丽 户1 ， 从 而m n E P ; 最 后 证P n P (- ) 一 。 : V M E P ， m 一 p g“ S- ， 则 m1 = P “ 二 因 为 1 0 或= 。 但三 1 .当 。 时， 显然一 s m 0 从 而m - 1
8、 ， 时 ，显 然 三 1， 从 而m1 ， 1 由 此可得m - o P.所以P nP H ) = 0. 定 理3 .2给 定 一 个 群( G ,一 任 取 一 个 非 空 子 集P c_ G , P 满 足 条 件 :( 1 ) P 对 群运 算封闭; ( 2 ) 正规性: ( )V g E G ) ( g “ P = P “ g ) : ( 3 ) P n P c - n = ， 由P 规定G的 一 个 序 关 系“ ” : ( d g , h E G ) ( g h ”h g - 1 “ P u t 好 ) 则 有 ， 该 序 关 系“ ” 使 得 ( 民 .) 成 为 一 个 偏
9、序 群. 可以 称 集 合P 为( G， .) 中 一 个 偏 序 诱 导 集. 证事实上，该序关系显然满足自 反性. 往证反对称性:d a , b e G，由a 5 b 和b c ,c 2 = e， 所以 cl = c - 1C , = c Z .又 P n P I - 1) = 0 = : c , = c , 二 e ， 故 a = 6 . 再证传递性 : d a , b , c e G , ( a 5 b , b c ) = ;:, ( ( 3 d , e P U e ) ( b = d a ) , ( 3 d , 。 P U e ) ( c = d 2 b ) ) ”c = d 2 d
10、 ,a 因d , 。 P u e ， d 2 。 P u e 且P U e 对 乘 法 封 闭 ， 故 d d , e P u e ， 这 意 味 着 a _ c . 从 而 上 述 定 义 的 序 关 系 为 一 偏 序 最后证该偏序与群运算的协调性，实际上，若 d g , h e G , g _ ( 3 c e P u e x h = c g ) . 显然有( tl k e G ) ( h k = c g k ) ，即g k 5 h k . 另外， k h = k ( c g ) = ( k c k - ) 每注 意 到 尸 为 G 的 正 规 子 集 ， 故 “ k - 。 尸 ， 由
11、此 可 知 k g :5 k h . 总 之， ( G ， ， 习为 一 偏 序 群. 对于 刚刚 得到的 偏序群( G , “ , 匀， 不 难证明 ， 用 于定 义偏 序“ ” 的 非 空集 合尸 恰 好是( G , - , :!g ) 中 的 正锥， 即P = G . 事实 上， b x E G . 因e e _ x . 又 x # e ，所以 e x ，从而 X E G 干 .因此P_cG 十 ，总之P= G . 定 理3 .3给 定 偏 序 群 ( G ; , 习， 取 E = G u ( e l ， 命夕 二 G I E ， 则 G 二 夕 . 证 不 难 验 证E 是G 的 含
12、单 正 规 子 半 群， 从 而.q = G I E 为G 上的 一 个 广 义 商 群 . 因 E n E 一 ， = l e 子 ，即k 一 e 由 定 理1 . 1 知G 二 夕 该 定 理 说 明 ( G， 。 ， 习上 的 正 锥 可 确 定G 上 的 一 个 广 义 商 群 ， 换 言 之 ， 通 过 偏 序 群 上的 偏序结构可确定G上的一个广义商群 注2由 E = G u 好， E n E - ? = 好 知 G # 。 时 ， E 必 不 为G 的 子 群 ， 从 而 由 偏序群的正锥所确定的幕群为非商群形式的 广义商群，且该商 群同构于其基础群. 例5在偏序群( Q 十 ，
13、 气) 中，由 例4可知正 锥尸 满足: 封闭 性、正 规性和 P n P I- ) = 。 现证明E= P u 1 也满足封闭 性和正规性， 显然由P的 封闭性和 1 为 群( Q + ， .) 的 单 位元易得E 的 封闭 性， 又由 群( Q + ，.) 为 交换 群可得E 是正规的. 从 而以E 为 单 位元 可得群( q, . ) 上的 广义商 群9 定 理3 .4设r 为 群( G， .) 上的 广 义 商 群， , s G 且k 二 e ， 则由 E e 可 确 定 群 G 上 的 一 偏 序， 使 得( G ,- ) 成 为 一 个 偏 序 群 证只 须 证E ( e ) 是(
14、 G， .) 中 一 个 偏 序 诱 导 集 . 往 证 封闭 性:V x , y E E e ) ， 由 k = 间 ，自 然x y c- E e 再证正规性:要证g ( E ( e ) ) = ( E e ) ) g，先证 g ( E e ) = g E ( g 和( E e ) g = E g g ，再证g E g 二 E g g ，这样便意味着 g ( E e ) = ( E e ) g. 事 实 上， 设g 为G 中 的 任一 元 素， V h e g ( E e ) ,甄 E E e ) ， 使 得h = g x a $ g , 从 而h g E g ， 即g ( E e ) )
15、S g E g . 另 一 方 面， V h e g E g ， 3 x , e E 且x , ; ) ， 集 合.4 二 “ ” 偏 序结 构“ ” 使 群G 成为 偏 序群 ， B = C 9 是群G 上与G同构的广义商群且k 二 扣 川. 则集合A 与集合B 之间存在 1 - 1 对应a.即:v: A - + B _一 9 , 其中:9 的 单 位元E =G v e ，G + 为 偏序 群( G ; , S ) 的 正 锥 定理3 . 8给定群G， 偏序 “ ” 使G成为偏序群( 民 ， 匀， 9 = 可匀是群G上与偏 序群( G , , B , A , B e g，其中 A二a E , B=b E. 证 因为9 是群G上与偏序群 G , , b e E a ( V a , b E G) 从而有E b c E a即V a 5 b ( a , b G) ，a E7)b E= :;, A QB ( A=a E , B=b E)( A , B e 9) . 定理 3 .9给定群G，集合A 钊 “ ” 偏序结构 “ ” 使群G成
