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1、河南师范大学硕士学位论文某些非线性椭圆方程和积分方程解的定性性质姓名：李小华申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：郭宗明20100401本文主要考虑三个问题：1对于半线性偏微分方程摘要一Au=R(z)eu，zR2若R7(z)一卅州，lJ(1【某些非线性椭圆方程和积分方程解的定性性质矛盾所以钍0，zQ口为简要说明什么是移动平面法，我们以全空间Rn为例要证明某方程的正解U关于某一方向的对称性和单调性，我们取该方向为z1轴对任意实数入，令兄=z=(Xl，X2，zn)已nXl=入，这是我们将要移动的平面，显然它与Xl轴垂直记平面左端的区域为A，即A=(XRnXl0由定理12，可知圳A(z)0，比A
2、，这对任意的入吾都成立取入=三，则6叫A(z)0，三第一章引言再从右端开始移动平面，同理可得叫A(z)S0，Vz专由此可知：叫A(z)三0，Vx暑所以u(z)关于巧对称，进而u(z)关于礓对称口综上述可见，移动平面法的关键是证明(18)对于偏微分方程，极值原理是证明该不等式的有力工具但对于积分方程，我们没有类似极值原理的局部性质，因此，为了替代偏微分方程中的一些局部性质，我们建立了积分方程的全局性质在本文中，我们接下来证明一些极值原理和积分不等式的极值原理及其推论7第二章预备知识在本章中，我们介绍并证明应用移动平面法时所用到的部分极值原理：基于比较的极值原理，无穷远处退化原理，积分不等式的极值
3、原理及其推论这些极值原理保证了移动平面可以开始接下来，我们还会给出HSlder不等式和Hardy-LittlewoodSobolev不等式及其一种等价形式，这些不等式在后面的证明中起着重要作用21各种形式的极值原理定理21(基于比较的极值原理)设Q是有界区域，正函数咖在Q上满足假设U是问题的一个解如果一咖十入(z)0训篡(21)(2-2)c(z)入(z)，VzQ(2-3)岿Is么在S2甲必有u20证明用反证法假设在Q中有一点，使u0，可知在Q中一定有v(x)一掣v|zIR(2-7)且设10“(z)-=o对于无界区域D，我们考虑Q=DBR(0)如果U在Q中满足(2-2)，那么乱(z)0对所有zQ
4、注22从注解21可以看出，事实上，只有在II取负值的点才需要条件(27)注23尽管定理21和它的推论是针对线性形式，它们也可应用到非线性方程，例如：一AuluIp一111=0zRn(2-8)假设当5一1)2时，方程的解u在无穷远处以速度赤退化令c(z)=一lU(z)r1则取R充分大，c(z)在Q=时BR(o)中满足(27)进一步假设UI勰0，那么我们可以从推论22导出在整个区域Q中乱0某些非线性椭圆方程和积分方程解的定性性质22积分不等式的极值原理这一节，我们引进了积分方程的极值原理设Q是黔中一区域，不必是有界的假设K(x，y)0，V(x，y)QXQ定义下面积分算子T(Ty)(z)=K(z，可
5、)厂(可)dy，Q设ll为Banach空间中的范数，满足只要在Q中0厂(z)g(x)，就有lIlllIIglI(2-9)实际中，有很多满足(29)的范数，比如ze(a)范数，Lo。(Q)范数，c(a)范数定理23假设如果那么有证明定义由已知12T训Ollgll对某些00，但不恒等于零，则4(2)若B0，但不恒等于零，则pl，lYI忌上的积分，我们假定XI3a)为了估计，我们注意到：厶三上。坐业器掣毗劬切厶cL。一南L。1nI屹可由R(可)eu()和丘。R(y)eu(U)dy的有界性，可看到当_o。时，_0b)对于一个固定的k，在区域D2里，我们有，当H一。时，坐业器InP型_。因此2_0c)我
6、们运用事实当k_oo时，Iz-y1I坐止渊盟型I2+口)的证明类似于引理31口引理33在引理31和引理32的假设下，我们有当r_o。时，7让r_一p，up_0兵中(r，p)是彤中的极坐标证明我们在引理31的假设下陈述证明，类似于引理32中的假设的讨论，应用(33)我们有弛硇umz驴争去上。斜鼬矽妣u一=去上。斜毗地切其中可=(沈，-y1)因此这充分保证了当-o。时，=上。卷鼬矽咖一o事实上，=(L掣+L粤)尚鼬矽虻厶地下面我们证明当一oo时，厶一0i)对于厶在区域IzyI粤里我们有又有引理31对于p2，因此22IxA2kR(!)eU(Wdy。下面叙述一下定理31和定理32的证明：我们在方程一u
7、=R(z)eu(z)两边同时乘以zVu则在球Bk(O)上积分可以得到记aBe(o)r(1lV札|2-u舶s一厶，z，V脒扣4丌p+厶。，彬瓠则由引理33W12=乱，2+芦1“p2foBs(o)r(1lVul2一位；)ds一一丌p2而由引理31和引理32可以得到当k_oo时，因此石aBk(O)r见euds一。丌f12=上。r耳eu(z)-4-47rp上。zV脚)e出乜=唰卢4)口某些非线性椭圆方程和积分方程解的定性性质定理33的证明过程如下：类似于引理32的证明，首先证明R(z)eu(正)有上界设zo是R2中任意一点B1(Xo)是中心在zo的单位球，令，(z)=让(z)+In(R(xo)+1)则
8、方程(3-1)变为-，=赫e，(引由定理的假设可知，当IXOIo。时，7e，(z)如-0Jel(zo)利用类似15】中定理2的证明，可以看到B(zo)是有界的，其中界不依赖于X0，因此R(z)eu(写)是有界的，现在类似于引理31的证明，就可以得到定理33的结论32一Au=R(z)e乱解的对称性在本小节，我们应用移动平面法114来证明方程(3-1)解的对称性定理34假设U是微分方程(3-1)的一个解，R(z)eu(z)如0，“(一Xl，X2)u(xl，z2)同理我们从+o。方向移动直线族及直至原点可以证明U(-X1，X2)u(xl，z2)因此U(-X1，X2)=u(xl，z2)所以wo(x)三
9、0比uo又因为z1方向是任意的，故解U关于原点径向对称33u(z)=丘。南eu耖dy解的对称性和单调性在这一部分，我们运用积分形式的移动平面法证明积分方程出)=上。苦击蝴可(3-8)解的对称性和单调性定理35对于积分方程(3-8)，若满足条件e_。nu(可匆。I，Rn其中乜是0Q扎的任一实数则它的每一个解都关于Rn中某点zo径向对称且单调递减设入是一个给定的实数定义令28A=z=(Xl，X2，Xn)IXlA)A=我们要证明入oo。且u沁(z)三0下面开始证明定理35：证明第一步：从一O。的附近开始向右移动平面定义i=zIz入，u(z)札(z)我们要证明，当入的值足够负时，i一定是空集由引理35
10、可知=上、F杀一赤)(em)_少)匆=上_F杀一赤)(e山)_少)咖+上船iF杀一寿)(e岫)-少)咖上_F杀一F杀)(e心)_沙)咖上i毒杀渺舻，咖=上iF击沙咱(训咖上=们F杀咱(训咖(3-12)其中饥(z)是介于乱(z)与ua(x)之间的函数对乱(z)一“入(z)上iet(们再F=二r=【u(可)一u(可)d第三章某些非线性椭圆方程和积分方程解的定性性质应用日一LS不等式的等价形式(去q1)，昙+三=Lr2n+qaaqe詈uIdye|I“，AIlLq(i)e詈tyIdye0u入lIL。(Ei)(3-13)(314)由条件厂e剐y)dyO。可知，我们可选取充分大的N，使当A一N时，A在无穷
11、远处由Lebesgue积分定理，当A和BR(O)交集的测度充分小时，我们可以使积分上。伊沱可要多小有多小有c(上、e詈u。)d可)等三又有(3-14)可知IIuAIILa(E；)=031一入上上rtrtCC一一某些非线性椭圆方程和积分方程解的定性性质因此可以得到i的测度为零从而i为空集若不为空集，则存在一点XO，使得ux(xo)u(xo)，则存在Xo的邻域Q7，使得uA(z)“(z)，VxQ这就与i的测度为零相矛盾因此当A足够负时，有uA(z)0，Vx入第二步：只要(311)成立，就一直向右移动平面瓦=zlXl=A】定义Ao=supAwx(x)0，VxA】则必有入o0，Vx抽此时u(x)一“沁
12、(z)2臼南一莳齐，ceU(U)_euXo(u)胁LF杀一赤)(e地)少扣)d可0(3-15)设磊=z入。Iu沁(z)o)32第三章某些非线性椭圆方程和积分方程解的定性性质由假设uA。(z)0但u知(z)0可知i的测度为零且hmA。iCi，由不等式(3-14)可知崦庐c上_e詈U(Y)dyPb(E(316)条件伊白咖可保证我们选取充分小的E，使对于Ao，Ao+e中所有的A，有c三reZ(Y)dy趣互1因为此时z-；的测度为零，由Lebesgue积分定理可知有上述结果由(3-16)可知IIuA忆(Ei)20因此j为空集所以有wj(x)0，妇入其中A是充分接近入。的这便与Ao的定义相矛盾故假设不成
13、立所以u抽(z)三0，比知又因为z1方向是任意的，所以积分方程(38)的每一个解都是关于酞“中某点径向对称且单调递减的34u(z)=矗。南eU(y)dy和(一)詈乱=eu的等价性对于任意实数Ol，我们在广义意义下定义(一Au)号u=eu(n3)口的解即UH詈(p)满足(一)号札(一)詈出=eu(z(z)如(317)RnJRn某些非线性椭圆方程和积分方程解的定性性质其中舒(舯)且(z)20这里，(一)罢让(一)詈如般是由傅里叶变换蚓盘u()西()必来定义的其中鑫和石分别是让和的傅里叶变换因为曙在日号中稠密对(317)取极限我们看到(317)式对任意日詈仍然成立定理36偏微分方程-Au)詈u=eu
14、(n3)等价于积分方程乱(z)=kIzyla-neu(可)咖证明(i)对于任意c铲(豫竹)令她)=厶耘妣因为F崭菇(c是常数)是(一)詈的格林函数且矽H口c日号，因此(317)式对于矽成立，(一)号u(一)号妒如=e“(z)妒(z)dz，Rn，Rn对上式左边分部积分，右边利用fubini定理，得到nu(郴(z)=上。上。删她)因为是任意的非负q。(Rn)函数我们推出“满足积分方程(ii)现在假定札己参(舻)是积分方程u(z)=上。Iz刊沪咖)咖的一个解，对积分方程两边做傅里叶变换，我们有鑫(f)=c川一a铲(a由pars等式可得丘。(-A)詈uCdx=丘。(一)詈u(一)詈如=c矗。伊()双喜
15、)=c丘。eu(z(z)如口参考文献1CLi，Monotonicityandsymmetryofsolutionsoffullynonlinearellipticequationsonboundeddomain，ComminPDE，16(2&；3)(1991)，491526。2BGidas，WMNi，andLNirenberg，Symmetryofpositivesolutionsofnonlinearellipticequations伽Rn，(collectedinthebookMathematicalAnalysisandApplications，whichisv017aofthebookseriesAdvances饥Mathemat
