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1、第第 1 页页 【精讲精练精讲精练】共共 20 页页 20202020 高中数学精讲精练高中数学精讲精练 第三章第三章 三角函数三角函数 B B 第第 5 5 课课 三角函数的图像和性质（一）三角函数的图像和性质（一） 【考点导读】 1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在0,2 ，正切函 数在(,) 2 2 上的性质； 2.了解函数sin()yAx的实际意义，能画出sin()yAx的图像； 3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 【基础练习】 1. 已知简谐运动( )2sin()() 32 f xx 的图象经过点(0，1)，则
2、该简谐运动的最小正周期 T _6_；初相_ 2. 三角方程 2sin( 2 x)=1 的解集为_ 3. 函数), 2 , 0)(sin(RxxAy 的部分图象如图所示，则函数表达式为 _ 4. 要得到函数sinyx的图象，只需将函数cosyx 的图象向右平移_个单位 【范例解析】 例 1.已知函数( )2sin (sincos )f xxxx （）用五点法画出函数在区间 , 2 2 上的图象，长度为一个周期； （）说明( )2sin (sincos )f xxxx的图像可由sinyx的图像经过怎样变换而得到 分析：化为sin()Ax形式 解：（I）由xxxxxxf2sin2cos1cossin
3、2sin2)( 2 ) 4 2sin(21) 4 sin2cos 4 cos2(sin21 xxx 6 2, 3 x xkkZ ) 48 sin(4 xy 第 3 题 第第 2 页页 【精讲精练精讲精练】共共 20 页页 列表，取点，描图： x 8 3 8 8 8 3 8 5 y 1 21 1 21 1 故函数)(xfy 在区间 2 , 2 上的图象是： （）解法一：把sinyx图像上所有点向右平移 4 个单位，得到sin() 4 yx 的图像，再把 sin() 4 yx 的图像上所有点的横坐标缩短为原来的 1 2 （纵坐标不变） ，得到sin(2) 4 yx 的图像， 然后把sin(2) 4
4、 yx 的图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） ，得到 2sin(2) 4 yx 的图像，再将2sin(2) 4 yx 的图像上所有点向上平移 1 个单位，即得到 12sin(2) 4 yx 的图像 解法二：把sinyx图像上所有点的横坐标缩短为原来的 1 2 （纵坐标不变） ，得到sin2yx的图像，再 把sin2yx图像上所有点向右平移 8 个单位，得到sin(2) 4 yx 的图像，然后把sin(2) 4 yx 的 图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） ，得到2sin(2) 4 yx 的图像，再将 2sin(2) 4 yx 的图像上所有点向上平移 1 个单位，即得
5、到12sin(2) 4 yx 的图像 例 2.已知正弦函数sin()yAx(0,0)A的图像如右图所示 （1）求此函数的解析式 1( ) f x； （2）求与 1( ) f x图像关于直线8x 对称的曲线的解析式 2( ) fx； （3）作出函数 12 ( )( )yf xfx的图像的简图 第第 3 页页 【精讲精练精讲精练】共共 20 页页 分析：识别图像，抓住关键点 解：（1）由图知，2A ， 2 2 (62)16 ， 8 ，即2sin() 8 yx 将2x ，2y 代入，得2sin()2 4 ，解得 4 ，即 1( ) 2sin() 84 f xx （2）设函数 2( ) fx图像上任一
6、点为( , )M x y，与它关于直线8x 对称的对称点为( ,)M x y， 得 8, 2 . xx yy 解得 16, . xx yy 代入 1( ) 2sin() 84 f xx 中，得 2( ) 2sin() 84 fxx （3） 12 ( )( )2sin()2sin()2cos 84848 yf xfxxxx ，简图如图所示 点评：由图像求解析式，A比较容易求解，困难的是待定系数求和，通常利用周期确定，代入最 高点或最低点求 【反馈演练】 1为了得到函数Rx x y), 63 sin(2 的图像，只需把函数2sinyx，xR的图像上所有的点 向左平移 6 个单位长度，再把所得各点的
7、横坐标缩短到原来的 3 1 倍（纵坐标不变） ； 向右平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 3 1 倍（纵坐标不变） ； 向左平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变） ； 向右平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变） 其中，正确的序号有_ 2 2 2 x=8 x y O 2 4 x y O4 12 第第 4 页页 【精讲精练精讲精练】共共 20 页页 2为了得到函数) 6 2sin( xy的图象，可以将函数xy2cos的图象向右平移_个单位长度 3 3若函数( )2sin()f xx，xR（其中0， 2
8、）的最小正周期是，且(0)3f， 则_2_；_ 4在2 , 0内，使xxcossin成立的x取值范围为_ 5下列函数： sin 6 yx ； sin 2 6 yx ； cos 4 3 yx ； cos 2 6 yx 其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_ 6如图，某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数bxAy)sin( （1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段时间的函数解析式 解：（1）由图示，这段时间的最大温差是201030 （2）图中从 6 时到 14 时的图象是函数bxAy)sin(的半个周期 614 2 2 1 ，解得 8 由图示，10)1030( 2 1 A
9、20)3010( 2 1 b 这时，20) 8 sin(10 xy 将10, 6yx代入上式，可取 4 3 综上，所求的解析式为20) 4 3 8 sin(10 xy（14, 6x） 7如图，函数 2cos()(0 0) 2 yxxR，的图象与y轴相交于点(03)，且该函数 的最小正周期为 （1）求和的值； （2）已知点 0 2 A ，点P是该函数图象上一点，点 00 ()Q xy，是PA的中点， 当 0 3 2 y ， 0 2 x ，时，求 0 x的值 第 6 题 3 5 , 44 第 5 题 y x 3 O P A 第 7 题 第第 5 页页 【精讲精练精讲精练】共共 20 页页 解：（1
10、）将0x ，3y 代入函数2cos()yx得 3 cos 2 ， 因为0 2 ，所以 6 又因为该函数的最小正周期为，所以2， 因此2cos 2 6 yx （2）因为点0 2 A ， 00 ()Q xy，是PA的中点， 0 3 2 y ， 所以点P的坐标为 0 23 2 x ， 又因为点P在2cos 2 6 yx 的图象上，所以 0 53 cos 4 62 x 因为 0 2 x ，所以 0 7519 4 666 x ， 从而得 0 511 4 66 x 或 0 513 4 66 x 即 0 2 3 x 或 0 3 4 x 第第 6 页页 【精讲精练精讲精练】共共 20 页页 第第 6 6 课课
11、 三角函数的图像和性质（二）三角函数的图像和性质（二） 【考点导读】 1.理解三角函数sinyx，cosyx，tanyx的性质，进一步学会研究形如函数 sin()yAx的性质； 2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究 【基础练习】 1.写出下列函数的定义域： （1）sin 3 x y 的定义域是_； （2） sin2 cos x y x 的定义域是_ 2函数 f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是_ 3函数 22 sinsin 44 f xxx （）（）（）的最小正周期是_ 4. 函数 y=sin(2x+ 3 )的图象关于点_对
12、称 5. 已知函数tanyx 在（ 2 ， 2 ）内是减函数，则的取值范围是_ 【范例解析】 例 1.求下列函数的定义域： （1） sin 2sin1 tan x yx x ；（2） 1 2 2logtanyxx 解：（1） , 2 tan0, 2sin10. xk x x 即 , 2 , 7 22. 66 xk xk kxk ， 故函数的定义域为 7 22 66 xkxk 且,xk, 2 xkkZ （2） 1 2 2log0, tan0. x x 即 04, . 2 x kxk 故函数的定义域为(0,) ,4 2 点评：由几个函数的和构成的函数，其定义域是每一个函数定义域的交集；第（2）问可用数轴取交集 663 ,xkxkkZ , 2 x xkkZ （，0） 3 10 第第 7 页页 【精讲精练精讲精练】共共 20 页页 例 2求下列函数的单调减区间： （1）sin(2 ) 3 yx ； （2） 2cos sin() 42 x y x ； 解：（1）因为222 232 kxk ，故原函数的单调减区间为 5 ,() 1212 kkkZ （2）由sin()0 42 x ，得2, 2 x xkkZ ， 又 2cos 4s
