《有限正熵系统中稳定集和混乱集的维数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《有限正熵系统中稳定集和混乱集的维数（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、中国科学技术大学 硕士学位论文 有限正熵系统中稳定集和混乱集的维数 姓名：方春 申请学位级别：硕士 专业：遍历理论与拓扑动力系统 指导教师：黄文 20080501 摘要 在本论文中，我们主要考察了正熵动力系统中稳定集以及混乱集的维数我们证明 了，在任何个可逆的有限正熵动力系统中，存在个测度意义上较大的集合，使得在这 个集合中的每一点上，稳定集的闭包与不稳定集的闭包的交集有正的B 洲e n 维数熵并 且在连续统得假设下，这个交集包含了个B 伽饥维数熵为正的混乱集我们同时估计 了一些特殊的可逆动力系统中这种集合的日n u s d 卵，维数的下界特别地，我们用测度 熵和L 矽印u 加口指数表示出了光
2、滑流形上有正熵微分同胚的这种集合的日口u s 如r ，维数 的个下界 在系统不可逆的情况下，相应的结论同样成立 A b s t r a c t I n 恤t h 裙i s ，t h ed i m e n s i o no fs t a b l es e t sa ds c 咖m ) l e d8 e t s0 fai l y n 锄血c 址盯s t e mw i t h p o s i t i v e 丘I m ee n t r o p ya r ei D _ V e s t i g a t e d I ti s8 h o w nt h a ti n 锄ym v e r t i b l es
3、y s t 锄w i t hp o s i t i v e 血l i t ee t r o p y t h e r ei sam e 笛u I 争t h e o r e t i c a 坶“r a t h e rb i 矿t8 1 l c ht h a tf o r 锄yp o i 【I t 丘o m t h es e t ，t 1 1 ei n 七e r s e c t i o o ft h ed o s l l 】陀o ft h es t a b l es e ta n dt h e 妇山eo ft h eu n s t a b l e8 e t o ft h ep o 砒h 嬲p o s
4、 i t i 、r eB 帆彻曲n e 珊i o l le n t r o p y 缸dl u l d e rt h ec o n t 血】1 】皿h y p o t b 簏i st h e 证t e r s e c t i o nc o n t a 诅sas c r 洳出l e ds e tw h o B 伪l ，e n 血e 璐i o ne n t r o p yi 8a ：k ；0p 0 8 i t 溉M o r e o v e r ， 五D r8 删虹d so fs p e c i f i c 碱i b l es y s t e m s ，t h e1 0 W e r b o u n
5、do fH a 璐d o r f E 曲n e s i 0 0 ft h e 8 e t si 8 t 血a t e d P 砌c I l l a r l yt h el a W e r b o u n d0 ft h eH a u s d o r f Fd i m e n s i I mo f8 u c hs e t sa p p e 缸m g i nap o s i t i v ee n t r o p yd i f f 幻m o r p h i s mo nas m 0 0 t h 弛m a m l i a nm a n 渤l di 8g i v 朗i nt 锄o f t h e m e
6、 t r i ce n t r o p y 缸do fL ) r a p 皿o v 饮p o n e n t T h ec 0 唧o n d i l l g 、，e 墙i o n0 fan o n - i I l v e r t i b l e 如缸n i c 出s y s t e mi s 虬s 0i n d u i I e d 致谢 借此论文完成之际，我要衷心感谢导师黄文副教授的悉心指 导自从2 0 0 4 年开始拓扑动力系统和遍历论的学习，黄老师在学 习和生活上均给予我极大的关怀和帮助在这三年的学习中，黄老 师渊博的知识，谦逊的为人，敏锐的洞察力和严谨的治学态度，都 给我留下了非常深刻的
7、印象，并将会始终激励着我谨向他致以崇 高的敬意和衷心的感谢! 在此，还要感谢叶向东老师，沈维孝老师，许斌老师，王毅老 师，李思敏老师几年来传授了我系统的专业知识，使我受益匪浅； 感谢张国华、张瑞丰师兄在学习以及论文完成期间给予我大量的指 导和帮助；感谢师弟张鹏飞、董攀登在学习中的讨论以及对本论文 初稿的修改；感谢所有数学系的老师特别是张韵华、黄稚新、刘晓 华、张伟以及张斯伟老师自从我到科大以来的教导和帮助；感谢多 年来一直陪伴我的同学，特别是0 5 级毕业班的同学，他们在我沮 丧时鼓励我，也一起分享彼此的快乐 最后，我要深深感谢我的父母，感谢他们多年来对我细致入微 的关怀和教育他们为我的成长付
8、出了极大的心血，没有他们无私 的爱与默默的支持，我是不能顺利完成学业的 2 0 0 8 年5 月 引言 在本论文中，我镌震( x ，z ) 表示个动力系统；是指x 是个紧致度量空间，T 是 x 到自身的连续满射，甩矗表示x 上的度量如果T 还是同胚，则称系统涔，T ) 或T 是 可逆的 定义点z 关于r 的稳定集为： w 8 ( z ，T ) = 妇x ：熙d z ，P 矽) = o ) ； 如果T 是可逆的，则可定义点霉关予T 的不稳定集为； 彬( 茹， 影gx ：桌恐d ( T n z ，T 叫1 暂) = o ) 称空间x 的点对( 髫，秽) 为L i - 1 r k e 对，如果 l
9、i m 8 u p d ( P 霉，P 掣) 一6 o 且妇蝉d ( P 霉，P 功= o 秸_ 丰 拜。 x 的子集s 称为混乱集，如果对任意的霉爹只徊，爹) 为l 稿融b 对。如果( x ，T ) 包 含有不可数混乱集，则称系统( x ，T ) 为L o Y 0 r k e 混沌的 在紧流形上的勘跏伽微分同胚下，稳定集中的点在T 的作用下渐近，在T 以的作 用下发散；丽不稳定集中点的行为捌恰好裙反2 2 年，嚣l 褪也磊砖，豫斌以及胁乇e 等 人证明了在具有正熵的霹逆系统x ，? ) 中，r 的稳定集在z “1 下是不稳定的参考【1 1 ) 。 B H R 定理设僻，嬲为动力系统，弘是x
10、，上一舍具有正熵的遍历测度。更l l 存在5 O 使得对p 一口e 鬈x ，我们能找到一个不可数集B w 5 ( z ，T ) 使得对每个掣兄有 l i mi 1 1 fd ( T n ，T n 童，) = o 且l i ms u pd ( T 一竹茹，? 一竹暑，) 艿； A 4 中霸_ + 特别地，( 霉，寥) 是T 一1 的l - 的媾e 对。 2 0 0 3 年，N s u m i 对伽维闭流形( n 2 ) 上的萨局部微分同胚，的情况，得到了进 一步的结果( 参考【3 0 】) s u m i 定理设p 为M 上任意具有正熵的，- 不变的遍历测度，则对肛一口e z M 在 两砀和面预
11、中都包含了一个不可数的混乱巢 般地，B l a n c h a r d 等人证明：任何正熵系统( x ，z ) ，都为I d 舶r l c e 混沌的( 参考f 2 】) 之后，B | 勰出疯和辍醢鼹g 在溺中弓| 入了弱混合集的概念，并证明了任何正熵系统( x ，固 l 2 中国科学技术大学硕士学位论文 中，都含有相当数量的弱混合集需要提及的是每个弱混合集中都包含一个不可数的混 乱集 自然地，我们会问：N s u 血的结果能否被推广到一般的系统即正熵( 可逆) 动力系 统中，是否在相当数量的点的稳定集( 不稳定集) 的闭包中包含了不可数混乱集或者是其 他具有更强混合性质的不可数集合对于这个问
12、题，黄文教授在文【3 】中给出了肯定的回 答他证明了在正熵系统中，存在测度意义上比较大的集合，使得这些集合中的点的稳定 集( 或不稳定集) 的闭包包含了一个弱混合集 然而，从上述结果我们只知道正熵系统中混乱集的存在性对这个混乱集的大小还 是不得而知一般而言在估计系统( x ，T ) 中集合E 的大小时，往往从下面一些角度来阐 述的： a ) E 是正测或者满测的； b ) E 有非空内部或者为x 的稠密G 6 集； c ) E 具有正的B O W 凹维数熵，岛( T I E ) ； d ) E 在度量d 下具有正的日讹s d D r ，维数 不难看出，般情形下，a ) 以及b ) 不总成立即不
13、能保证系统的混乱集或者是某点 处的稳定集的闭包是正测或者是含有非空的内部因此我们转而考虑c ) 和d ) 是否成立 本论文的目的就是要考察在有限正熵系统中，稳定集和混乱集的B o W e n 维数熵和 日叫s d D r ，维数对此我们得到了如下结果s 定理1 设( x ，T ) 是可逆动力系统，且( T ) o ，则 J 对p 一口ez X ，有 九乞( T l 砑万丽n 可旷巧墨_ 可) ，( T ) 且，壤；( T 一1I 丽芦丽n 砑歹丽) 7 ( T ) ； 幺在连续统假设下，对p - 口ez x ，存在集合& 谚丽n 面可丽，使得 & 是T ，T 一1 下的混乱集， 俐( T I
14、& ) ( T ) 且( T 一1 I 最) ( T ) 定理1 设( x ，T ) 是具有正熵的动力系统，p 是x 上的满足( T ) o 的T - 不变遍历 测度则 正嫡系统中稳定集和混乱集的维数 3 I 易( T I 丽万丽) ( T ) ， 肛n ez x ； 2 在连续统假设下有，对p - 口e 。x ，存在T 下的混乱集咒面瓦i 巧满足口l ) k ( T ) 当空间上的映射为L i p s c 眦z 连续，且由此构成的系统具有正熵时，我们得到了稳定 集和混乱集H a u s d o r f F 维数的下界估计 定理2 设( x ，T ) 是可逆动力系统，度量为d ，满足( T )
15、 1 ，即d ( T k ，T 暑，) L d ( z ，暑，) ，比，毫，x p 是 T - 不变的遍历测度且满足( T ) o ，则 I 对胛舢x ，有凰( 一研in 而丽) 镏； 2 在连续统假设下，对p 吨ez x ，存在T ，T 一1 下的混乱集最诃可再巧n 诼气i 可 使得日d ( 咒) 璺 定理2 设( x ，T ) 是动力系统，度量为d ，满足| I 卸( T ) 1 ，p 是T 一不变的遍历测度且满足( T ) o 则 I 对岬舢x ，有日d ( 而石两铅； 2 在连续统假设下，对p 吨ez x ，存在T 的混乱集最面丽，使得日d ( & ) 铅 利用熵的变分原理，从定理2 我们又可以得到： 推论设，是动力系统，用d 表示上面的度量且满足( T ) 1 则 “u 队x 凰厕) 镏； 2 在连续统假设下，s u p 凰( s ) ：s 是T 下的混乱集) 乎 如果T 是可逆的，则s u 如x 日d ( 面可两n 面可i 可) 乎；且在连续统假设下有， 8 u p 凰( s ) ：跟正T 一1 下的混乱集) 乎 4 中国科学技术大学硕士学位论文 进步，对m e m 一流形上的可微自映射，我们用测度熵和L y a p u n o v 指数给出稳定 集和混乱集的H a u s d o r f F 维数的下界估计 定理3 设，是光滑崩e
