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1、福建师范大学 硕士学位论文 某些带奇性的半线性椭圆方程的多解问题 姓名：陈阳佳 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：陈建清 20090401 福建师范大学陈阳佳硕士学位论文 中文摘要 、本文主要是考虑了半线性椭圆方程? j 一让一静u = 删u 2 * - 2 I + 地 z Q ， 【u = 0 ， a Q 的非平凡解的存在性问题其中0 Q 是珏一中有光滑边界的有界区域， 2 。= 而2 N ( 4 3 , o ，t o 假设七( z ) 皂一个正常数， 庇( z ) 扩( Q ) ，P 吣R 其悯扣南，G = ( 等掣) 孚因如f 是而的 临界点，所以我们可以说Z 是个临界的流形
2、 因此，我们可以得出另个结论 定理3 1 2 假设 是连续的泛函并且满足( 1 ) ，( 玩) t l ，：= 眦p p 是紧的，则存 在E 1 o ，p 1 o 和6 珏巳，使得对所有的H O ， z Q ， l u = 0 ，茁a Q ， 并证明了当光滑函数g ( x ) 满足一定条件时，对任意的A ( 0 ，A 1 ) ，问题存在唯一 解其中A 1 为D i r i c h l e t 边界条件下拉普拉斯算子的第一特征值 随后人们又考虑了这类方程的N e u m a n n 问题，发现与D i r i c M e t 问题有很大的 不样X u j i aW a n g 【2 4 1 考虑
3、了下列问题 f - - A u I u l 2 * - - 2 u + ，( z ，u ) ，z Q ， 2u 0 ， z Q ， 【筹+ 出) u - 0 ， 茹施， 并得出了当C a r a 6 。t h 。r y 函数f ( x ，u ) 满足一定条件且临界值口 o 有解，且解的能量泛函在。和丙Is ，N 2 之间 最近D a o m i nC a o 3 3 1 讨论了下列问题 一A U - - p 许2 七( 洲2 _ 2 u + 他，u ) ，z Q ， “ 0 ，Q ， t = 0 ， zE 讹， 设k ( x ) 为光滑函数， k ( x o ) = m a o c = e 孬
4、k ( z ) ，他分别在七( o ) k ( x o ) ( - 唧F ) 和 七( o ) k ( z 。) ( 警) 两种情况下，通过估算临界值而得到了解的一系列存在性结 果 对应的下列N e u m m m 问题 j 一u p 奔2 七( z ) 矿u + A u ，$ Q ， 【t = o ， z a Q ， P i g o n gH a i l 和Z h a o x i aL i u 【6 J 已经证明了当N 7 ，0 吣R ) 其恻垆南，G = ( 等半) 半因地f 是而的 临界点，所以我们可以说Z 是个临界的流形 因此，我们可以得出另一个结论， 定理3 1 2 假设h 是连续的
5、泛函并且满足( 1 ) ，( h s ) 伽：= s u p ph 是紧的，则存 在E 1 0 ，p 1 0 和f l R ，使得对所有的H 0 ，使得，( 让) a ，肌0 = ( i i ) 存在e 刀岛( o ) ，使得I ( e ) 0 令r 是E 中连接0 和e 的道路的集合，即 r = ，y G ( 【o ，1 】 E ) ：，y ( o ) = 0 ，y ( 1 ) = e ) 再记 c2 籍嚣蹄1 1 嘶( t ) ) ， 7 r t 【0 。 则c Q ，且若，满足( P s ) 条件，那么c 是J 的临界值 引理1 o 5 阿绕定理JE 为一个实B a n a c h 空间
6、， E=YoX ，d i m Y 0 ，使得I I o B a x 口 ( i i ) | e O B lnX ，R P ，满足当Q 三( 瓦nY ) o ，e ；0 1 ，且；i + 吉2 1 若，驴( Q ) ，夕口( Q ) ， 则，9 L 1 ( Q ) ，且 I ，( z ) 夕( z ) Id x ( I ，( z ) I p 如) 1 p ( I 夕( z ) I g 如) 1 q ，n ，n，n 基本不等式： 9 福建师范大学陈阳佳硕士学位论文 任意的口，b R ，m 1 ，有 a + b l m IaI m + IbI m d ( 1ai , “- 1 1bl + Ial l
7、bI m 一1 ) 成立 C a f f a r e l l i - K o h n N i r e n b e r g 不等式# ( L 蚓一切“ 如) 2 p Q t 6 吲- 2 4 I V 仳1 2d x R 。J R N 其中3 ，一o o p ，满足当Q 兰( 瓦nY ) o r e ；0 忌( 知) ，只须证8 t u p OJ ( 地) o u p J ( t u 。) = 丙1t 0V 谢一- I - 忌( 0 ) D p 黹) ) ”川 = 斋七( o ) 一学够( 1 一D ( 漓) 一。( 鸡) ) ( 1 + 。p 潞) + 。仁鸸) ) 0 Z 以z ) I v ,
8、 1 2 。- 1 k 训妇2 萎Z 喇“ 1 l 如 福建师范大学陈阳佳硕士学位论文 q 妻Z 克( 圳岱，。以| 2 以k I 如 ( 2 3 1 2 ) 对某个i 【1 ，2 ，七) ，由文【9 】的定理1 1 ：I 咖I G 吲一( 诈一作刁， 卜( 名) 协2 “ - - 1 M l d x 岛k ( x ) l x l 一( 2 。1 ) ( 屉网I u 。I d z ( 2 3 1 3 ) ，n，n k ( x ) l x l 一( 2 “ - 1 ) ( 疖一厕如 J n = k ( z ) l z l 一( 2 一1 ) ( 、一面一佣I u E I d z + 克( 茁)
9、I z I _ ( 2 “ - I ) ( 、万一、一巧F ：习I u E I d z J s ( o ，6 )J n 日【o 。d ) 一 = a “ 吲一( 2 L 1 ) ( 诈一厕刚如 J B ( o ，6 ) + G 七( o ) “ ( 2 “ - 1 ) ( 疖一厕l u 。I d x + D o 半) ： o ( E 鸸( 叶孚) + 譬) + o 笔辨+ 譬) + D 0 半) ：o ( 竿) - f nk ( x ) l Y , 1 2 * - - 1 I 如I 出= D 0 2 学) 同样的算法可得； k C x ) l Y , ll t , u , 1 2 + 。1 如
10、= D ( 华) ，l Z 由文【3 】， I , 1 1 札。I d z ：D G 蔫( 譬一侗) ， t ，n 对任意的Y c y ，沁A 吣酞)( 3 工? ) 舯趾卜赢 因为缸，是南的l 临界点，所以我们可以说Z 是个临界的流形 因此，我们可以得出另一个结论， 定理3 1 2 假设h 是连续的泛函并且满足( h i ) ，( h s ) 叫：= s u p ph 是紧的，则存 在g l 0 ，p 1 0 和6 珏，使得对所有的I E I 0 ，存在P o 0 ，使得对V n ，都有 丘b 舶( f v f 2 一许仳：) 如 0 时，考虑个截断函数咖C ，咖0 ，且 。( z ) ：f
11、 l ，i ，k 一之l 妾 I - 0 ，i ，I 。一巧l 6 4 且I V I i ，则有 l l 协- - 0 0 ( ( ) ，咖) = ”l i r a - ， R l V 1 2 咖a 如+ 上V ，V 矽6 ) d x 一上静咖如一上 白) t J - 9 1 如一上咖哝1 如 我们由( A ) ，( B ) ，和( D ) ，可以得到 ( i ) 厶I V f 2 6 d x 一丘咖舡， ( i i ) 丘I I p + 1 6 d x 一丘咖咖， 因为s u p p ( 咖) = 玩( ) 是有界的，则有 ( i i i ) 丘I l ( z ) l 1 9 + 1 咖如_
12、 厶锄) h C z ) l u l 升1 咖如， ( i V ) N 静记咖如一p ，咖析 2 3 福建师范大学陈阳佳硕士学位论文 进一步，当7 , 一o o 时，有 l 上豇n ( V ，V 桃) 如l M ( 上；。，I 1 2I V 九1 2 如) V 2 一M ( 上；( 即) H 2 I V 蚓2 如) V 2 ( 3 3 2 ) 由H 6 1 d e r 不等式，当6 _ 0 时， ( L 2 M 2 出) m ( k ，) V 。( 厶锄，酬如) 班 c ( 厶向，州d ) V _ 。 ( 3 鹋) 所以，由( i ) ，( i i ) ，( i i i ) ，( 3 2 5
13、) 和( 3 2 6 ) ，可以得到 02 l i m 恕( 髭( 乱n ) ，九) 2 助一吻 ( 3 3 4 ) 因为p + 1 s 如，我们可以得到= 均= 0 或者哆= 地S N 2 又因 为q4 - 1 0 ，五达到一个局部极小值 0 ，且当_ 0 时，一0 证明：由S o b o l e v 和H 6 l d e r 不等式，我们可以得到 ( t ) 去l l 让o ；2 一E 0 1 1 u lq + 。1 一C 2 U P 。+ 一1 ( g 3 6 ) 令P = r ( E ) 为函数毋( s ) 的第个零点， 砂( s ) = i s 2 一E q 8 口+ 1 一岛1 当
14、E _ 0 时，r ( E ) _ 0 我们得出如下结论 ( 口) ：j 岛 0 和C 0 0 ，使得对所有的l I u l l l ，2 o ) 当 0 时，我们有 肌纠= 南矿1 上w “如一筹厶矿1 如 ( 3 3 7 ) 这样，对 0 ，s 0 足够小，存在t o 0 ，厶有个局部极小值 t E ，则存在( 足) 的另一个正解如果是五的个局部极小值，勿1 ，2 ( R ) ， 则u = 0 是泛函 厶( “ ) = 互1 上( i v 让1 2 一静仳2 ) 如一上- ( z ，u ) 如 ( 3 3 9 ) 在勿1 ，2 ( R ) 中的一个局部极小值，其中日( z ，“ ) = J
15、 ：；，9 ( z ，s ) a s ， 夕( 。，s ) ：J 鲥 ( z ) ( ( + s ) 口一噬) + ( ( 仳c + s ) p 一哩) ，i ，s 。 ( 3 3 1 。) l0 ，t ，s 0 ，我们有 丘( 陬| 2 _ p 薄? 1 2 ) 如伽 考虑个截断函数x l ( 髫) ，x l ( $ ) 0 ， x 1 ( 茁) ： 1 ，f 叫兄 并且I V x l ( z ) l 2 令舱( z ) = 1 - X 1 ( X ) ，考虑对应的截断函数伽l 。= X l V n ， “ t 1 1 2 ，n = X 2 V a 我们可以注意到雠，n 在易1 2 ( R ) 中弱收敛到0 ，i = 1 ，2 我们可 以得到下面的式子， ( 1 ( ) ，+ 弛，n ) = D ( 1 ) ，i = 1 ，2 ( 3 3 1 1 ) 2 6 第3 章R n 中一类扰动的非线性椭圆方程的多解问题 l ( E ( ) 一罡( 叫1 。n ) ，-
